十三、客观性问题(22试题简析23专项模拟)

客观性问题进才中学魏明志七宝中学李广学一、客观性试题简析和思路点拨客观性问题（填空题与选择题）是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。根据客观性问题的内容形式，可以将其划分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系等；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。近年来数学高考（上海卷）填空题稳定在12个小题左右，选择题稳定在4个小题左右，总计64分，占全卷总分的42.700。由于客观性试题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，或选择支，因此，解答客观性试题时准确、迅速是赢得时间获取高分的必要条件。也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算。在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规。（1）客观性试题注重考查基础知识（2003年高考题上海卷）在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则ZABC= 。（结果用反三角函数值表示）解题思路：由正弦定理得a:b:c=2:3:4，不妨设a=2,b=3,c=4，再由余弦定理得cosB=，即ZABC=arccos,本题为解斜三角形的常规题目。1616（2）客观性试题注重考查基本技能（1997年高考题上海卷）若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置。那么直线l的斜率是 （ ）（A）-1 （B）-3 （C）1 （D）333解题思路：设x'=x-3，y'=y+1，利用斜率公式得罕丄=--，选A。利用数形结合x一x3也是比较恰当的方法。如设x'=x-3，y'=y+1，我们将（x,y）作为点P的坐标，（x',y‘）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换。本题考查的实质是曲线的平移变换,主要是高中数学知识的理解程度，而不是孤立的知识点。如数学中的平移变换、伸缩变换、旋转变换、对称变换等都是高考常见的内容。（2003年高考题上海卷）设a（2003年高考题上海卷）设a1、b1、c1、a、b2、c2均为非零实数，不等式ax2+bx+c>0和a和a2x2+®x+c->0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”A）充分非必要条件；B）必要非充分条件；C）充要条件；D）既非充分又非必要条件。解题思路：当时，不妨设=kA）充分非必要条件；B）必要非充分条件；C）充要条件；D）既非充分又非必要条件。解题思路：当时，不妨设=k，则不等式ax2+bx+c>0111变形为k(ax2+bx+c)>0，当k<0时，ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0同解,222111222所以“”不是“M=N”的充分条件；当M=N=0时，不一定有成立，所以”不是“M=N”的必要条件，故选D。本题举反例更简捷些,abc当—二1二1时M丰N，如x2+x+1>0的解集为R,-x2-x-1>0的解集为0；当abc222abcM=N时没有1二1二1成立，如x2+x+1>0与x2+2x+3>0的解集均为R。abc222(3)客观性试题注重考查逻辑思维能力(2004年高考题上海卷)若函数f(x)=aIx-bI+2在［0,+Q上为增函数，则实数a、的取值范围是 。解题思路：由f(x)的图像关于直线x=b对称，所以a>0且b<0即可。由于f(b-x)=f(b+x)，所以f(x)与g(x)二a(x-b)2+2具有相同的单调性。学生在学习二次函数时，研究g(x)二a(x-b)2+2的单调性之后，与g(x)二a(x-b)2+2具有相同单调性的函数有无数个。(4)客观性试题注重考查运算能牛 )( )( )(2003年高考题上海卷)已知点A匕壬)，B匕-壬)，CU+壬,0丿,其中n为正整数。设Sn n n n表示AABC外接圆的面积，则limS二nnT8424+ +解题思路：设AABC外接圆的半径为r，r=nn——n1n2，于是S=兀•r2解题思路：设AABC外接圆的半径为r，r=nnnlimS二4兀。由于本题考查的是极限的运算，当nTa时，-T0，AC,2)B6-2)都n*n / ) n n n趋向于原点，CQ+乞,0丿趋向于(4,0)，AABC外接圆的直径的极限为4,故limS二4兀。nnnTa(5)客观性试题比较注重考查空间想象能力(2006年高考题上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 . _解题思路：含有两个顶点的线段按长度可分三类，长度为1的棱有12条，长度为的对角线有12条，长度为*3的对角线有4条，含有4个顶点的矩形可分为两类，一类正方体的6个面,一类为正方体的对角面有6个，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是6x4+6x2=36。本题直观上考查空间想象能力，概念上考查两个基本原理，思想方法上考查分类讨论，对直线与平面垂直的定义为“正交线面对”是对中学生的学习能力的考查。(6)客观性试题注重考查学习能力(2006年高考题上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+1x3—5x21>ax在［1,12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围 .25解题思路：因为xe［1,12］，所以x+ +Ix2-5xI>a在［1,12］上恒成立，当x=5时x25x++Ix2-5xI取得最小值10,所以a<10即可。本题提供了三种不同的解题思路，要求学x生针对所提出的问题选择最合适的一种思路来解决问题，乙说的方法最合适，因为该方法通过降次，体现了化陌生为熟悉、化复杂为简单的化归思想，也突出对学生针对不同问题能选择不同方法的自主学习能力的考查。

（2006年高考题上海卷）如图，平面中两条直线l（2006年高考题上海卷）如图，平面中两条直线li和12相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l和l的距离，则称有序非负12lq)实数对（P，q）是点M的“距离坐标”.已知常数p>0,q>0,给出下列命题：lq)若p=q=0,贝片距离坐标”为（0,0）的点有且仅有1个；若pq=0,且p+q主0,贝『距离坐标”为（p,q）的点有且仅有2个；若pq工0,则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3.解题思路：在学习解析几何中点的坐标的概念基础之上，本题定义了“距离坐标”的概念，由于“距离坐标”与点的坐标的根本区别是对应关系的不同，进一步要求学生判断“距离坐标”和平面上点之间的对应关系，考查学生对坐标概念内涵的深入理解。本题借助直角坐标来考虑，①若Ix1=1y1=0，则以（0,0）为坐标的点有且仅有1个是正确命题；②若IxI-1y1=0，且IxI+IyIh0，则以（IxI,IyI）为坐标的点有且仅有2个是正确命题；③若IxI-1yIh0，则以（IxI,IyI）为坐标的点有且仅有4个是正确命题.因此，上述命题中，正确命题的个数是3个。考查距离坐标的实质是轨迹交点的个数，我们将平面中两条直线1和1相交于点O看作距离坐标12系，那么距离坐标系中有点M的“距离坐标”就是轨迹x=p与轨迹y=q的交点个数，显然当p=0时，轨迹x=p表示一条直线I/当ph0时，轨迹x=p表示与直线11平行的两条直线;当q=0时，轨迹y=q表示一条直线〉；当qH0时，轨迹y=q表示与直线l平行的两条直线。22本题还可以拓展，比如轨迹k-x-y=0（k>0）表示什么曲线等。客观性试题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面。一般地，解答客观性试题的策略是：①熟练掌握各种基本题型的常规解法。②结合客观性题目的结构和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特殊值、排除法、图解法等常用解法与技巧。③充分挖掘题目“个性”寻求简便解法，迅速地作出正确的解答。二、专项模拟试题一、填空题 O由曲线f(x)=1+—sinx(xw【0,2兀])、x轴、y，则AABC的面积 O由曲线f(x)=1+—sinx(xw【0,2兀])、x轴、y，则AABC的面积S的取值范围O x是 如图轴及直线x=2兀所围成图形（阴影部分）的面积等于 。设正四面体ABCD的棱长为a,p是棱AB上的任意一点,且P到面ACD,BCD的距离分别为d,d，则d+d= 。12124.设f（x）=x-sin丄,xeN*，猜想f（x）与f（x+1）的大小关系： xx2y2椭圆——+J=1的面积公式S=兀ab。如图，在一块矩形a2b2金属版中间挖去一个椭圆形，若矩形规格为5mx3m，则余下的阴影部分的面积为 m2。定义在R上的函数f（x）同时满足性质：①对任何xeR，均有f(x3)=[f(x)]3成立；②对任何x1，x2eR，当且仅当x1=x2时，有f(x1)=f(x2)。则f(-1)+f(0)+f(1)的值为二、选择题7.P(x,y)是曲线£+~4=1上的点，F(-3,0),F(3,0),则(C)5412(A)IPFI+IPFI=10 (B)IPFI+IPFI<101 2 1 2(C)IPFI+IPFI<10 (D)IPFI+IPFI>101 2 1 2sinAsinB设A、B是AABC的两内角弧度数，且A<B，贝I」 、 大小关系(C)ABsinA sinB sinA sinB sinA sinB sinA sinB(A) > (B) < (C) > (D) <AB AB AB AB将函数f(2x+4)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得图象经过怎样的变换才能得到f(x)的图象(B)(A)向左平移4个单位 (B)向右平移4个单位(C向左平移2个单位 (D向右平移2个单位若函数f(x)对任意的x,xeL-1,1丄都满足If(x)-f(x)I<4-1x-xI，则称函数121212f(x)为L-1,1」上的“淡泊”函数。设①f(x)=5；②f(x)=4x-3；③f(x)二x2+2x；④f(x)=丄。在给定四个函数中，可称为［-1,1］上的“淡泊”函数的是(D)x+2(A［①②③；(B［①②④；(C)②③； (D)①②③④。三、解答题11.设y= ，xe(0,站2)(\：2,+只)。x+1(1)求证：x-心2与y-^2异号；(2)问x与y哪一个更接近^2。定义在R上的函数f(x)，对任意实数x、y，总有等式f(2x)+f(2y尸2f(x+y)-f(x-y)成立，且f(0)丰0。设f(x0)二，求f(0)与f(2x0)的值；(2)求证：函数f(x)为偶函数；(3)设f(x)的值域为［-m,m］，求正数m的值。(1)等比数列匕｝中，对任意n>2，neN时都有a,a,a成等差，求公比q的值；n n-1n+1n设S是等比数列ia)的前n项和，当S,S,S成等差时，是否有a,a,a一定也成等差n n 3 9 6 2 8 5数列？说明理由；设等比数列匕｝的公比为q，前n项和为S，是否存在正整数k，使S,S,S成等n n m-km+km差且a,a,a也成等差，若存在，则求出k与q满足的关系；若不存在，则说明理由。n-kn+kn对于定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a,b满足a<b，区间［a,b］匸D；②使f(x)在［a,b］上的值域为［ka,kb］(keN*)；那么我们把f(x)叫做［a,b］上的“k级矩形”函数。设函数f(x)二x3是［a,b］上的“1级矩形”函数，求常数a,b的值；是否存在常数a,b与正整数k，使函数g(x)=-^-(x>-2)是区间［a,b］上的“k级矩x+2形”函数？若存在，求出a,b与k的值；不存在，说明理由。(3)设h(x)=-2x2-x是［a,b］上的“3级矩形”函数，求常数a,b的值。6.0；CCBD答案：(0需］；2丄；呵a；4・f(x)<f(x+1)；5」56.0；CCBDIy~2\<Ix—x-:2I，即y更接近*2。f(0)=1；f(2x0)=2f2(x0)—1=$(1)q=1或q=一[；(2)一定有a,a,a成等差数列；(3)存在正整数k(k<m,k<n)2285满足题设，当k为偶数时，q=—1；当k为奇数时，qk=—2。[a=—1 fa二0 [a=—1(1)仁八或仁[或「 [;(2)不存在常数a,b与正整数k，满足题设；(3)[b=0 [b=1 [b=1如版面容许，就可用以下详解，如版面不够，就用上面略解。11.解：(1)证明：由题设知x—x：2丰0，y—2丰0，又y—=•••= (x—“2)x+1因为xe(0八：2)U(卞2,+s)所以 <0，故x一丫2与y一卞2异号；x+1__ [2一1 —(2)比较Ix-迈I与Iy—-J2I的大小。由(1)得Iy-迈I二…― Ix-迈Ix+12一1 L L由于0< <1，所以Iy—迈I<Ix-迈I，即y更接近“2。x+112.解：(1)设x=y=0得，2f(0)二2f2(0)，又f(0)丰0所以f(0)=1；设y=0得f(2x)=2f2(x)—1=。002⑵设y=—x得，f(2x)+f(—2x)=2f(0)f(2x)nf(—2x)=f(2x),由定义知函数f(x)为偶函数。(3)由(1)知f(2x)=2f2(x)—1，一m<f(x)<mn—1<f(2x)<2m2一1,[—m=一1由题意得1 nm二1。Im=2m2—113.解：(1)当n>2，neN时有a+13.解：(1)当n>2，所以q丰1，(不合题意)所以所以q丰1，(不合题意)所以q3=—2；(2)当q=1时S=na，显然3a,9a,6a不是等差数列,n1 1 1 1由S3,S/S6成等差得q3+q6=2q9nq3=所以1+q3=2q所以1+q3=2q6na+aq3=2aq6na+a=2a，111258(3)假设存在正整数k，使S,S,S成等差且a,an—kn+k285,a也成等差。m—km+km n—kn+knm—k m+k m=na，显然(m一k)a,(m+k)a,ma不是等差数列，所以q丰1，由m—k m+k m成等差得oqm—k+qm=2qm+ko1+qk=2q2k0qk=——或qk=1。当k为偶数时，q=—1，则有S=S=S且a=a=a；m—km+kmn—kn+kn当k为奇数时，qk=——；1+qk=2q2kna+aqk=2aq2kna+a=2a，2 n—k n—k n一k n—k n n+k12。综上，存在正整数k(k<m,k<n)满足题设，当k为偶数时，q=—1；当k为奇数时，qk=—14.解：(1)函数f(x)=x3在［a,b］上递增，所以值域为［f(a),f(b)］又f(x)=x3是［a,b］上的“1级矩形”函数，所以f(a)=a,f(b)=b，即a,b是方程f(x)=x的两不等实根，Ia=0Ia=—1或|b=1或|b=1。厶(