油气层渗流力学第二版第四章(张建国版中国石油大学出版社)

第四章弹性微可压缩液体的不稳定渗流第一节弹性不稳定渗流的物理过程在刚体中，力的传播→瞬间完成弹性体受力即压缩，卸载即恢复。在弹性体中，力的传播→有一传播过程（1）关闭油井时，井底压力不是瞬间恢复到静止地层压力pe，而是逐步上升至pe

的。tppepw（2）开井时，井底压力不是一下子降至某个值就稳定下来，而是逐渐下降到某个值才稳定下来。tppwpeBApepwftAB（3）A井投产引起地层压力下降，B井不会立刻感受到，而是要经过一个时间段之后，B井井底压力及产量才受到影响而发生变化。

t岩石与流体具有压缩性岩石和流体释放弹性能的结果地层压力下降流体体积膨胀

Vl孔隙体积缩小

V

从地层中排出流体：

Vl+V

弹性驱动方式——弹性驱动方式的特点：对于实际地层，在弹性方式下，渗流是一个不稳定的过程，而这种压力变化过程总是从井底开始，然后逐渐向地层外部边界传播。在油田开采初期，地层压力高于饱和压力，主要就是依靠原油和岩石的弹性能量开采的开采方式原始地层压力开井生产井筒压力下降井壁附近地层压力下降地层压力下降范围向外扩大压力波的传播非瞬时完成井筒qpe在实际的矿场生产中，油井可能采用不同的工作制度生产。井的工作制度(内边界)定产量生产定井底流压生产油层外边界封闭外边界定压外边界无穷大外边界混合外边界一、水压弹性驱动水压弹性驱动——当地层外面具有广大的含水区，能充分

地向地层补充弹性能量定压边界——在水压弹性驱动方式下，供给边界上的压力

可以保持不变1、井以定产量投产时地层压力传播及变化规律投产前，各点压力相等，压力分布曲线为水平线(AB)，对应的时间t=0。Bt=0

开井后，形成压降漏斗曲线A1H，在r1以外，没有压降，没有液体流动，渗流速度为0，压降漏斗曲线A1H与水平线AB在H点相切。ABA1Hr(t1)A2Gr(t2)A3t=0t1t2

t1时刻以后，同理，压降漏斗曲线A2G与水平线AB在G点相切。

随着时间的增加，压降漏斗曲线不断扩大和加深。

t>tB后，边界外的能量过B点补充进来，压降漏斗曲线在B点的切线与水平线AB之间有一夹角，随外补充能量的增多，夹角也增大，渗流速度增大，当外补充的液量逐渐趋于井产量时，地层中的压降漏斗曲线变化越来越小，经过无限长时间，压降漏斗曲线在AnB处稳定(稳定渗流的压降漏斗曲线)。ABA1Hr(t1)A2Gr(t2)A3A4Ant=0t1t2t>tB油井以定产量生产的流量由两部分组成：式中：q1—通过供给边界流入地层的液量q2—供给半径re以内，地层及流体弹性膨胀排除的液量。随着地层压力不断下降，靠近边界的点的压力也随之下降，因而通过边界流入地层的流量q2将越来越多，相应地q1将愈来愈小。理论上要经过无限长的时间后才能达到q=q2，即通过边界流入地层的液量等于井产量。此时，流动变成稳定流，其压力分布曲线与稳定流的压力分布曲线完全一致。（1）井产量保持不变，在井壁上各点压降漏斗的切线相互平行。（2）影响区以内的地层任意点上渗流速度逐渐增加。（3）弹性驱动方式下，井以定产量投产后，地层中将产生一个压降漏斗不断扩大、不断加深的过程。r(t1)r(t2)r(t3)x在弹性开采期，地层内压力波的传播可分为两个阶段：第一阶段：不稳定早期—压力波传播到边界之前的阶段第二阶段：不稳定晚期—压力波传到边界之后的阶段2、井以定井底压力生产时地层压力传播及变化规律井生产时，压力波的传播也分为两个阶段，压力波传到边界之前为压力波传播的第一阶段，传到边界之后为压力波传播的第二阶段。定压边界下井以定井底压力投产时地层压力分布曲线Gsre

第一阶段：压力波传到地层内任一点M时，在M点以内的地层释放弹性能，而在M点以外则没有流动，压力曲线在M点的切线是水平的。其特点是压降漏斗不断扩大，除井点外各点均加深。由于压降区域不断增加，渗流阻力也逐渐增大，在保持井底压力恒定情况下，相应地井的产量会下降。定压边界下井以定井底压力投产时地层压力分布曲线Gsre

第二阶段：压降曲线传到边界以后开始压力波传播的第二阶段，这时边界外的液体开始向地层内不断补充，在相当长时间后，从边界外部流入的液量等于井内排出的液量，此后渗流过程就趋于稳定，压力分布曲线和稳定渗流时的对数曲线一致。定压边界下井以定井底压力投产时地层压力分布曲线Gsreqt1、井以定产量投产时地层压力传播及变化规律同样可以分为两个阶段，压力波传到边界之前为压力波传播的第一阶段，传到边界之后为压力波传播的第二阶段。二、封闭弹性驱动

t=tBB0

t=tp第一阶段：压力波传到地层内任意一点M时，在M点以内的地层释放弹性能，而在M点以外则没有流动，压力曲线在M点的切线是水平的。其特点是压降漏斗不断扩大，除井点外各点均加深。由于压降区域不断增加，渗流阻力也逐渐增大，在保持井底压力恒定情况下，相应地井的产量会下降。B0t=tpt=tB第二阶段：压力传到B0后，边界B0处的压力不断下降，在开始时边界上压力下降的幅度比井壁及地层各点要小些，即B0B1<A0A1，B1B2<A1A2；…，随着时间的增加，从井壁到边界各点压降幅度逐渐趋于一致。即当井的产量不变，渗流阻力不变（释放能量的区域已固定）时，地层内弹性能量的释放也相对稳定下来，这种状态称为“拟稳定状态”，在该状态下，地层中任意一点压降速度为常数，直到地层内各点压力低于饱和压力时，弹性开采阶段结束。B0t=tpt=tB在封闭边界上压力梯度拟稳定流状态B0t=tpt=tB

拟稳定状态的出现，主要是因为井产量保持不变，弹性能释放也就相对的稳定不变。拟稳定状态对于油井不可能无限制地进行下去，当地层压力低于饱和压力之后，将进入溶解气驱阶段，弹性驱动的渗流规律就被破坏。

对气井来说，视稳定状态将延续至气层能量枯竭为止。常用名词激动区域（影响区）——井底压力变化的波及区域。条件影响边缘半径（影响半径）——压力降波及区域的半径，即激动区半径。压降漏斗前缘——激动区前缘。弹性驱动第一相（不稳定流动初期）——压降漏斗前缘到达地层边界以前称为弹性驱动第一相。弹性驱动第二相——压降漏斗到达地层边界以后称为弹性驱动第二相。

对于定产量生产的油井来说，弹性驱动第一相的生产特征是：压降漏斗不断扩大，加深；激动区内，任一地层点上的压力不断下降，流速逐渐增大。弹性驱动第二相的两种情况：（1）当地层边界上有液源供给时，弹性驱动第一相将由不稳定渗流逐渐转变为稳定流。（2）当地层边界上没有液源供给时，情况转为复杂。弹性驱动第二相初期或不稳定渗流晚期弹性驱动第二相晚期或拟稳定渗流期不稳定渗流早期不稳定渗流晚期拟稳定流期弹性驱动第一相弹性驱动第二相生产时间边界井底

t=tP2、井以定井底压力投产时地层压力传播及变化规律同样可以分为两个阶段，压力波传到边界之前为压力波传播的第一阶段，传到边界之后为压力波传播的第二阶段。Gsre

t=tBpw

t=

第一阶段：压力波传到地层内任意一点M时，在M点以内的地层释放弹性能，而在M点以外则没有流动，压力曲线在M点的切线是水平的。其特点是压降漏斗不断扩大，除井点外各点均加深。由于压降区域不断增加，渗流阻力也逐渐增大，在保持井底压力恒定情况下，相应地井的产量会下降。第二阶段：压力波传到边界后的第二阶段，由于边界封闭，无外来能量补充，边界B处的压力逐渐下降。由于井底压力保持不变，从第一阶段起压降漏斗的范围不断向外扩大，而井的产量也不断下降，到第二阶段后仍不断下降直到趋于零为止，这时地层内各点压力都等于井底压力。第二节弹性不稳定渗流无限大地层的典型解一、无限大地层中一口井以定产量投产1、数学模型型◆均质水平等厚无限大地层中一口井以定产量投产◆流体在地层中的流动服从达西定律。◆地层原始压力为pi◆地层厚度为h，◆地下条件下的油井产量为q。假设：rpih渗流微分方程：初始条件：不稳定渗流数学模型内边界条件：井底r=rw处的边界外边界条件：无限大地层处的边界目的：求压力（是径向距离和时间的函数）2、数学模型的求解

求解步骤：①引入一个新的中间变量，使偏微分方程变为常微分方程②然后再对常微分方程采用分离变量法求通解③最后利用定解条件就可以得到其特解幂积分函数（指数积分函数）求解过程：令：引进新变量u(r,t)后，未知压力函数p可写成：p=p(u)无限大地层以定产量q投产后，距离井r处地层压力计算公式：幂积分函数的性质：x值增大，-Ei(-x)值下降→不稳定早期地层中任一点压力的计算方程1）当r一定时：时间t增大→

x值下降，→

-Ei(-x)值增大，→(pi-p)值上升。生产时间越长，点r处压力降越大。2）当t不变时：距离r增大

x值增大，-Ei(-x)值变小，(pi-p)值减少。3）在一定时刻t：当r增到一定程度时，

x已大到使Ei→0,(pi-p)→0在一定时刻只在一定的范围内形成压力降。在同一时刻，r越大，压力降越小，离井越远压力降越小。幂积分函数的级数形式：式中：γ=0.577216，欧拉常数当x≤0.01时可以只保留级数的前两项，即幂积分函数可展开成级数：当时可以只保留级数的前两项。井底压降表示为：则可表示为：井底压降的计算公式不稳定渗流早期井底压降的计算公式。这一阶段的流动称为“无限作用径向流”，在压降与时间的半对数图中表现为直线。常规试井分析的基本公式pwf(t)lnt不稳定渗流早期不稳定渗流晚期拟稳定流期弹性驱动第一相弹性驱动第二相生产时间边界井底t=tP第三节弹性不稳定渗流有界地层典型解在外边界半径为re的均质封闭地层中心有一口半径为rw的油井定产量投产。径向封闭地层中心一口井以定产量投产1、数学模型假设：不稳定渗流数学模型渗流微分方程：初始条件：内边界条件：外边界条件：可直接用分离变量法，也可直接作变量代换以后，进行拉普拉氏变换，使其象函数变为常微分方程并在相应定解条件求解，再进行拉氏反演求解。由此原理，获得地层中任一点在任意时刻的压力表达式为：2、数学模型的解上述解经简化运算得到：上式为当压力波传到封闭边界后，由于边界没有供给，边界压力开始下降，渗流进入不稳定晚期的井底压力表达式。不稳定渗流早期不稳定渗流晚期拟稳定流期弹性驱动第一相弹性驱动第二相生产时间边界井底t=tP当生产时间t很长时，井底压力的表达式：上式为渗流早已进入不稳定晚期，随着时间的增加，当地层中的压降速度为常数，即渗流进入拟稳定流动时的井底压力表达式。探边测试：求单井控制储量三、径向定压地层中心一口井以定产量投产在外边界半径为re的均质封闭地层中心有一口半径为rw的油井定产量投产。假设：1、数学模型不稳定渗流数学模型渗流微分方程：初始条件：内边界条件：外边界条件：利用与径向封闭地层渗流数学模型的求解过程类似的方法，可求得径向有界定压外边界地层中心一口井定产量投产时地层中任意一点的压力表达式：βn是方程J0(rDβ)Y1(β)-Y0(rDβ)J1(β)=0的第n个根。Jo、J1——第一类零阶、一阶贝塞尔函数；Yo、Y1——第二类零阶、一阶贝塞尔函数。2、数学模型的解稳定渗流过程，地层中任意一点压力及井底压力公式：当生产时间很长，即后，流体流动表现为稳定渗流。第七节油井的不稳定试井压降叠加原则也适用于不稳定渗流问题的井间干扰分析。叠加原理是研究油气井测试理论，特别是研究不稳定渗流常用的一种方法。对于一些比较复杂的情况，如多井系统、变产量生产、压力恢复及断层系统等问题的求解，都可使用压降叠加原则。设地层中有n口井在弹性驱动方式下投产，地层中任意一点M上的压力降，应等于每口井单独投产时，在该点形成的压力降的叠加。

一、多井系统pi-pM——n口井同时投产后，时刻t在点M形成的压力降pi——投产前，地层静止压力；qj——第j井的产量；rj——点M至j井的距离；tj——到时刻t为止，第j井的生产时间。±——生产井产量取正，注入井产量取负由上式获得任一口井的井底压降：pwfk——时刻t，第k井的井底压力；qj——第j井的产量；rjk——第j井到第k井的距离；当j=k时，rjk=rwk，表示k井的井半径。二、变产量生产油井从t0生产到t1，产量q1；在时刻t1产量突变为q2；在t2时刻产量又突变为q3；在tn-1时刻产量突变为qn。求：在tn-1时刻以后任一时间t(t>tn-1)的油井井底压力pwf(t)—t关系。每一时间的新产量(q1,q2,...，qn)都假想延续到t时刻，在t时刻上一系列产量增量(或负增量)(qi-qi-1)(i=1,2,…，n)所引起的井底压力的压力降（或压力升）的代数和即为油井在t时刻的压力降求解基本思想：在t0~t内以q1生产引起的压降在t1~t内以(q2-q1)生产引起的压降在tn-1~t内以(qn–qn-1)生产引起的压降…………在t时刻的井底压降特别地，当n=1，即恒定产量q生产时：当n=2，即两流量生产时：压力恢复问题是当一口井以恒定产量生产一段时间后关井，关井后井底压力的变化同样可由压降方程利用压降叠加原则来求得。三、压力恢复设有一口井在以恒定产量q生产tp时间后关井，关井时间用Δtb表示。(1)井A在关井后继续以恒定产量q一直生产下去，生产时间为tp+Δt；(2)在A井的位置上，有一口虚拟井B，从井A关井的时刻开始以恒定的注入量q注入（或以恒定产量-q生产）；(3)关井后的井底压降应等于A井以产量q生产到tp+Δt时间产生的压降与B井以产量-q生产Δt时间产生的压降(压力升)的代数和。求解思路：压力恢复试井的Horner方程四、断层系统在无限大地层中，应用叠加原则相对简单。对有限地层，对叠加原则需作一些变换后才能使用。有限地层问题无限大地层问题镜象反映原理无限大地层的压降公式求解叠加原则首先利用镜像反映原理(与第四章相同)，再应用压降叠加原则，则获得生产井井底压降为：当生产时间较短(即压力波未传到断层)时，上式中的第二项可忽略不计，由幂积分函数的性质，则上式变为：

当生产时间t较长(即压力波已传到断层)时，则上式中第二项不能忽略，由幂积分函数的性质，上式可写成：lntpw第三节弹性不稳定渗流有界地层典型解在外边界半径为re的均质封闭地层中心有一口半径为rw的油井定产量投产。径向封闭地层中心一口井以定产量投产1、数学模型假设：不稳定渗流数学模型渗流微分方程：可直接用分离变量法，也可直接作变量代换以后，进行拉普拉氏变换，使其象函数变为常微分方程并在相应定解条件求解，再进行拉氏反演求解。由此原理，获得地层中任一点在任意时刻的压力表达式为：2、数学模型的解上述解经简化运算得到：上式为当压力波传到封闭边界后，由于边界没有供给，边界压力开始下降，渗流进入不稳定晚期的井底压力表达式。不稳定渗流早期不稳定渗流晚期拟稳定流期弹性驱动第一相弹性驱动第二相生产时间边界井底t=tP当生产时间t很长时，井底压力的表达式：上式为渗流早已进入不稳定晚期，随着时间的增加，当地层中的压降速度为常数，即渗流进入拟稳定流动时的井底压力表达式。探边测试：求单井控制储量三、径向定压地层中心一口井以定产量投产在外边界半径为re的均质封闭地层中心有一口半径为rw的油井定产量投产。假设：1、数学模型不稳定渗流数学模型渗流微分方程：初始条件：内边界条件：外边界条件：利用与径向封闭地层渗流数学模型的求解过程类似的方法，可求得径向有界定压外边界地层中心一口井定产量投产时地层中任意一点的压力表达式：βn是方程J0(rDβ)Y1(β)-Y0(rDβ)J1(β)=0的第n个根。Jo、J1——第一类零阶、一阶贝塞尔函数；Yo、Y1——第二类零阶、一阶贝塞尔函数。2、数学模型的解稳定渗流过程，地层中任意一点压力及井底压力公式：当生产时间很长，即后，流体流动表现为稳定渗流。第七节油井的不稳定试井稳定流状态稳定、拟稳定、不稳定流动状态概念及区别pi=con压力变化为常数半径方向上压力梯度保持不变流量、井底流压不变qqqq不稳定流状态稳定、拟稳定、不稳定流动状态概念及区别无限大油藏系统中，流量有弹性膨胀引起泄油区逐渐扩大，无压降无流量系统的压力降随半径减小而增大qq1q2q拟稳定流状态稳定、拟稳定、不稳定流动状态概念及区别半径