高二数学 模拟试题 教案

2019-2020高二上学期期初模拟卷一、单选题（共8题，每小题4分，共32分）1.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的图象关于直线对称，排除C、D；当时，，所以，排除B.【详解】设，因为，所以的图象关于轴对称.所以的图象关于直线对称，排除C、D；当时，，所以，排除B，故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.2.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.3.已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|xN﹣xP|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．综上可得b的取值范围应是，故选B．【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．4.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.5.在中，角ABC的对边分别为a,b,c,且则a的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得到角C，又，故A=，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由可得：,即tanC=1,故C=A=由正弦定理：可得：,∴故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）A.岁 B.岁 C.岁 D.岁【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A.30 B.45 C.90 D.186【答案】C【解析】由，，，所以．8.若，则下列代数式中值最大的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，综上可得最大，故选A.二、多选题（共4题，每小题5分，共20分）9.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）

A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（

）A. B.C.当时最小 D.时的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时的最小值为，故正确.故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（）A.平面B.该三棱柱的外接球的表面积为C.异面直线与所成角的正切值为D.二面角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】由平行线分线段成比例可知，可判断A；由题意知直三棱柱是长方体沿对角面切开的一半，故外接球为长方体外接球，球心在中点，即可判断B；，所以异面直线与所成角为，求解即可判断C；以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可判断D.【详解】在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以，不在平面内，平面，所以平面，A项正确；因为，所以，因为，所以，所以，易知是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；因为，所以异面直线与所成角为．在中，，，所以，所以C项错误；二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图则，,,,设平面的法向量，则，即，令可得，设平面的一个法向量为，则，即，令可得故二面角的余弦值为，所以D项正确．故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，异面直线所成的角，二面角的向量求法，外接球的表面积，考查了空间想象力，属于难题.12.某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数的图象是中心对称图形C.函数的值域是D.方程无实数解【答案】ACD【解析】【分析】设，，函数表示轴上点到两点的距离之和，让在轴上移动，可观察出函数的变化情况，从而判断各选项的正确性．【详解】设，，表示轴上点到两点的距离之和，设，以为焦点，为短轴上一个端点，作椭圆，轴与此椭圆相切于点，当从向右移动时，逐渐增大，即函数在区间上单调递增，A正确；当与重合时，最小，最小值为，因此的值域是，C正确；函数图象关于直线对称，不是中心对称是，B错误；当或时，，由于，因此和都无解，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是把函数转化为轴上点到两点的距离之和，这样通过点的移动直观地得出函数的性质．三、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13.现有红球个白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个．则__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样的计算规则计算可得；【详解】解：，解得．故答案为：【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.14.设a，b是非零实数，且满足，则＝_______．【答案】【解析】【分析】先把已知条件转化为．利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【详解】因为，（tanθ）∴∴．tanθ＝tan（kπ）．∴故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．15.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线方程为，此时，，所以，，，因为，，所以．所以，，正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．16.已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．【答案】4【解析】∵函数是奇函数∴函数的图象关于点对称∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.又∵∴，从而∴，即∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.画出函数的图象如图所示：∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.故答案为4.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题（共6题，共78分）17.已知函数.（1）求的振幅、最小正周期和初相位；（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的取值范围.【答案】（1）振幅为，最小正周期为，初相位为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，进而可求得函数的振幅、最小正周期和初相位；（2）利用图象变换求得，由求得取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1），因此，函数的振幅为，最小正周期为，初相位为；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则，当时，，，所以，，因此，当时，的取值范围是.【点睛】本题考查正弦型函数的振幅、最小正周期和初相位的求解，同时也考查了余弦型函数值域的求解，以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.18.已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.（2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.19.如图：在直三棱柱中，，，是棱上一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）连结，设，连结，由平面，利用线面平行的性质，可得，由是的中点，证得为的中点；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第二问的基础上，设，根据直线与平面所成的角的正弦值，求出，求出线段的长【详解】（1）连结，设，连结∵平面，平面，平面平面，∴.∵为正方形的中心，∴.∴.∵，∴.（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，设平面的法向量为，又则，令，得，设平面的法向量为，又则则，令，得，∴.∴.∴二面角的正弦值为.（3）设，其中∴∵，∴∴，.【点睛】本题考查了线面平行的性质，利用空间向量坐标运算解决二面角，线面角问题，还考查了学生空间想象能力，运算能力，属于中档题.20.某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用剩余员工创造的年总利润大于等于原来的年总利润可构造不等式求得结果；（2）根据题意得到，分离变量可知，根据对号函数单调性可求得的最小值，由此得到结果.【详解】（1）由题意得：，即，又，；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，，即恒成立，函数在上是减函数，函数的最小值为，.即的取值范围为.【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；本题中求解参数范围的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，利用对号函数性质求得函数最值，进而得到参数范围.21.在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.（1）若，求点坐标；（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出到圆心的距离为，设，解方程即得解；（2）设，若圆上存在点，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）设，可得所在直线方程：，点的轨迹为：，根据求出最大值得解.【详解】（1）若，则四边形为正方形，则到圆心的距离为，∵在直线上，设故，解得，故；（2）设，若圆上存在点，使得，过作圆的切线，，∴，∴，在直角三角形中，∵，∴，即，∴，∴，解得，∴点横坐标的取值范围为：；（3）设，则以为直径的圆的方程为化简得，与联立，可得所在直线方程：，联立，得，∴的坐标为，可得点轨迹为：，圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.由题意可知，∴.∴.∴线段的最大值为.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆中的轨迹问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；