2021年浙江省高考数学试卷真题+答案解析

2021年浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.(4分)设集合A={x|x..l),5={x|-l<x<2},则4口8=()

A.{x\x>-l}B.{x|x..l)C.{x|-1<x<1}D.{x\l,,x<2}

2.（4分）已知aeH,（1+5），=3+d为虚数单位），则a=（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.（4分）已知非零向量M，b,c,则“展5=＞乙”是"日=看”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

cm）,则该几何体的体积（单位：。〃力是（)

逑

C.D.3及

F

X+1..0

5.（4分）若实数X,y满足约束条件尤—为0,则Z=的最小值是（）

2x+3y-l„0

A.-2Bc.--D.

-4210

6.（4分）如图，已知正方体,M,N分别是A。，。出的中点，则（）

A.直线A。与直线RB垂直，直线MN//平面98

B.直线4。与直线。出平行,直线MN_L平面8ZJD百

C.直线与直线。出相交,直线MN//平面ABCD

D.直线A,。与直线异面,直线MV_L平面以儿）4

7.（4分）已知函数/（彳）=*2+■1,g（x）=sinx,则图象为如图的函数可能是（

）

g(x)

C.y=/(x)g(x)D.y=

7M

8.（4分）已知a,夕，r是互不相同的锐角，则在sinacos/7,sincos/,sinycosa三个值中，大于;的

个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

9.（4分）已知a,bwR,ab>0>函数/（x）="+b（xeR）.若f（s-r）,.f（s）,/（s+f）成等比数列,

则平面上点（sj）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.（4分）已知数列｛〃,,｝满足4=1,%=T=（〃eN列.记数列伍,｝的前”项和为S“，则（）

i+A

399

A3<%<4C4<<D<<5

2-B.2-2-

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。

11.（4分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的

一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积

为s「小正方形的面积为$2,则3=—.

12.（4分）已知aeR,函数/"）=卜一一4，、＞2,若于（于（底））=3,则〃=_.

［|］一3|+。,%，2-

13.（6分）已知多项式（X-1）3+（x+l）“=d+〃2x2+。3%+。4，则4=；〃2+/+。4=•

14.（6分）在AABC中，NB=60。，AB=2,M是3C的中点，AM=2＞/5,则AC=;cosZMAC=___.

15.（6分）袋中有4个红球，加个黄球，"个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为若取出的

两个球都是红球的概率为工，一红一黄的概率为1，则，"-〃=—,E©=一.

63

16.（6分）已知椭圆=+4=13＞。＞0）,焦点片（-c,0）,E（c,0）（c＞0）.若过耳的直线和圆

ab~

（X-gc）2+y2=c2相切，与椭圆的第一象限交于点P,且尸［Lx轴，则该直线的斜率是—，椭圆的离

心率是.

17.（4分）已知平面向量d,b,式1*0）满足|。|=1,|fe|=2,ab=0,（a-b）-c=0.记平面向量［在

5方向上的投影分别为X,y,d-方在不方向上的投影为Z,则V+y2+z2的最小值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)设函数/(x)=sinx+cosx(%£H).

(I)求函数y="(x+])F的最小正周期；

(II)求函数y=f(x)/(x-()在呜]上的最大值.

19.(15分)如图，在四棱锥中，底面AB8是平行四边形，ZABC=120°,43=1,3c=4,

PA=瓦,M,N分别为BC,PC的中点，PDLDC,PM±MD.

(I)证明：ABLPM:

(II)求直线4V与平面所成角的正弦值.

g

20.(15分)已知数列｛%｝的前w项和为S“,a,且4“=3S“-9(〃eN*).

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(II)设数列｛〃,｝满足3Z?“+(n-4)an=0(neN*),记｛》"｝的前”项和为方,若〃,血对任意〃wN*恒成立,

求实数X的取值范围.

21.(15分)如图，已知下是抛物线丁=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，K|MF|=2.

(I)求抛物线的方程：

(II)设过点尸的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交

于点尸，Q,R,N,且满足|RN|2=|/W|.|QN|,求直线/在x轴上截距的取值范围.

22.(15分)设a,6为实数，且a＞l,函数,f(x)=a*-Z?x+e2(xeR).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(H)若对任意匕＞2/,函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(III)当a=e时，证明：对任意人〉/,函数人幻有两个不同的零点西，匕，满足々＞等为+[.

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

2021年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（4分）设集合A={x|x..l）,B={x\-\<x<2},则4口8=（）

A.B.{x|x..1}C.{x|-l<x<1}D.{x|1„x<2}

【解答】解：因为集合A={x|x.l},B={x|-l<x<2},所以AnB=*IL,x<2}.故选O.

【点评】本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，属于基础题.

2.（4分）已知aeR,（l+ai）i=3+i（i为虚数单位），贝Ua=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解：因为（l+*i=3+i,—a+i=3+i>

由复数相等的定义可得，-。=3,即。=-3.故选：C.

【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题.

3.（4分）已知非零向量1，b,c,则是"&=b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当且则々^=6^=0,但1与5不一定相等，

故箱6=5-1不能推出d=5,则“。£=九三"是"1=5"的不充分条件；

由1=6,可得@-5=0,贝!!（&-6）•（?=（）,a-b-b-c,所以@=5可以推出无5=6,

故uac=bcn是ua=bn的必要条件.

综上所述，是"a=E”的必要不充分条件.故选：B.

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属

于基础题.

4.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：c/n）,则该几何体的体积（单位：。〃力是（）

3点

D.3及

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直四棱柱，底面四边形为等腰梯形，

其中A8//CD,由三视图可知，延长4）与8c后相交于一点，且A£）J_8C,

且45=2夜，CD=y[2,A4,=1,等腰梯形的高为｛4£＞、（任『2尸=J1_

则该几何体的体积V」x（应+2后）x正xl=?.故选：A.

222

DA

【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

X+1..0

5.（4分）若实数x,y满足约束条件卜-%0，则z=x-gy的最小值是（）

2x+3y—l,,0

A.-2

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

化目标函数z=九一;y为y=2x-2z,由图可知，当直线y=2x-2z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-1-^x1=—3.故选：B.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

6.（4分）如图，已知正方体，M,N分别是AQ，RB的中点，则（）

A.直线与直线RB垂直，直线MN//平面/WCZ）

B.直线4。与直线08平行，直线平面

C.直线4。与直线RB相交，直线MN//平面ABCD

D.直线AQ与直线RB异面，直线平面8OR及

【解答】解：连接A。，如图：

由正方体可知,A。_LAB,r.AO_L平面AB.,

:.A,DLD,B,由题意知MN为△RAB的中位线，.•.MV//AB,

又•.•/$<=平面4?C£）,MNU平面438,.•.仞%//平面438.，A对;

由正方体可知A。与平面相交于点C,RBu平面BDR,D/RB,

二.直线A。与直线RB是异面直线，C错；

-,-MN//AB,A3不与平面8。£>声垂直，；.MN不与平面垂直，二。错.故选：A.

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养，属于

中档题.

7.(4分)己知函数f(x)=x2+l，g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

A.y=/(x)+g(x)-：B.y=/(x)-g(x)-：

44

c.y=/(x)g(x)D.y=

fW

【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，

因为=为偶函数，g(x)=sinx为奇函数，

4

函数y=f(x)+g(x)-1=x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误；

4

函数y=/(x)-g(x)-1=x2-sinx为非奇非偶函数，故选项5错误；

4

函数y=/'(x)g(x)=(x2+^-)sinx,则y=2xsinx+(x2+；)cosx>0对XG(0,-^-)恒成立，

则函数y=f(x)g(x)在(0,工)上单调递增，故选项C错误.故选：D.

4

【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值

的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档

题.

8.(4分)已知a,B,r是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sincosy,sinycosc三个值中，大于(的

个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由基本不等式可得：sinacos以,8s%,sin/cos人,城户广什,

.sin2/+cos2a

sinycosa,,-----------------,

三式相加，可得：sinacos/?+sin/7cosy+sin/cosa„—,

很明显sinacos/,sin4cosy,sin/cosa不可能均大于;.

取a=30。，p=60°,7=45。，则sincrcos/?="<；,sin/?cosy=>；,sinycosa=,

则三式中大于1的个数的最大值为2,故选：C.

2

【点评】本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于

难题.

9.(4分)已知a,heR,ab>0,函数/(幻=0)?+〃(xeR).若/'(s-f),f(s),f(s+f)成等比数列，

则平面上点(s,r)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【解答】解：函数y(x)=加+%,因为/(s-r),f(s),y(s+f)成等比数列,

则f2(s)=f(s-1)f(s+1),即(as2+b)2=[a(j-1)2+b][a(s+1)2+b],

即a2s4+2abs2+b2=«2[(5-r)2(^+02]+ab(s-1)2+ab｛s+1)2+b2,

整理可得a¥-2a2??2+2abf=0,

因为“0,故m-2加q+2次2=0,即为°r_2g2+»)=0,

所以r=0或a--2as2+26=0,

当，=0时，点(s,f)的轨迹是直线；

2、

当i-20?+3=0,即竺-丝=1,因为而>0,故点(取)的轨迹是双曲线.

b2b

综上所述，平面上点(s/)的轨迹是直线或双曲线.

故选：C.

【点评】本题考查了等比中项的应用，动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定

义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题.

10.(4分)已知数列｛〃“｝满足4=1,j=T=(nwN*).记数列伍“｝的前〃项和为S,,则()

i+M

39

3<%<4<

2-B.2-

【解答】解：因为4=1,4+[=——，所以>0,%=—,所以S]0G>q+劣=—,

1+也22

111+/111111

忘〈忑+3'故7TE2…词一在.

由累加法可得当儿.2时,

111/八1।H-1〃+14

——<—(n-1)=><1+------=------=>a>----

瓜222n(“+1)2

44

又因为当〃=1时，a=---------也成立，所以见…-------7alwN"),

n5+1)5+1)

〃+1

所以。向n+3a"

.•.也=”1,故2,…，生=2,

a„〃+3q_|n+2an_2M+144

由累乘法可得当”..2时，a"="='-xTx仁2x…x3x2=——-——=6(—-------—),

a}n+2n+\n54(n+2)(n+l)n+\n+2

所以Woo=1+6(3_4+^一1+1一不+.+—-------)<l+6(---—)<l+2=3

1011023102

故选：A.

【点评】本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，属于难题.

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。

II.（4分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的

一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积

为S一小正方形的面积为S2,则—=25.

$2

【解答】解：•.•直角三角形直角边的长分别为3,4,.•.直角三角形斜边的长为^^^=5,

即大正方形的边长为5,.9=52=25,则小正方形的面积尾=£-5阴影=25-4*4x3x4=1,

q

」=25.故答案为：25.

S2

【点评】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题.

X2—4x>2l

12.(4分)已知aeR,函数〃x)=''若/(/(6))=3,则。=2.

|X—312•

x—,x>2,所以,（向=（向2_4=2,

【解答】解：因为函数/(X)h

\x-3\+a,x,,2

则/(/(几))=/(2)=|2-3|+a=3,解得。=2.故答案为：2.

【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使

用哪一段解析式求解，属于基础题.

13.(6分)已知多项式(X-1)、+(x+l)4=x，+4/2+%犬+4，则a=5；a2+a3+a4=.

【解答】解：q即为展开式中Y的系数，所以q=《(—1)°+C：=5；

令x=l,则有］+q+/+6+%=（1-1）3+（1+1）4=16,

所以4+4+4=16-5-1=10.故答案为：5；10.

【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查了运算能力，属于基础

题.

14.(6分)在AABC中，ZB=60°,43=2,M是的中点，AM=273.则AC=_2，i5_；

cosZMAC=.

【解答】解：在中：AM2+2BA-BMcos60°):.(2y/i)2=22+BM2-2x2-BM--,

2

:.BM2-2BM-S=0,解得：3M=4或-2(舍去).

♦.•点〃是8C中点，，MC=4,BC=8,在AABC中：AC2=22+82-2x2x8cos600=52,AC=2y/\3；

（2石）2+（2万）2—422回

在AAMC中:cosZMAC=

2x273x271313

故答案为：2万;独1.

13

【点评】本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题.

15.(6分)袋中有4个红球，“个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为若取出的

两个球都是红球的概率为1,一红一黄的概率为1,则机-〃=_!_,E©)=_.

63

【解答】解：由题意，P^=2)=-^-=-=—,又一红一黄的概率为孳】=』=乜，

Q+.+4636c二M336

所以C；+〃+4=36,C：〃=3,解得相=3，〃=2,故加一九=1；

由题意，4的可能取值为0,1,2,所以p(g=o)=

C；3618

匕八C\C\2010c、13匚G、Is、八5,10、38

P(J=1)=—————,P(5——2)=—=—,所"以Eg)=0x--F1x—-+2x—=—

G；3618'618'1818189

8

故答案为：1:9-

【点评】本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量

期望，考查了运算能力，属于基础题.

22

16.(6分)已知椭圆与+]=l(a>A>0),焦点片(-c,0),/^(c,0)(c>0).若过耳的直线和圆

a3

(x-1c)2+y2=c2相切，与椭圆的第一象限交于点尸，且轴，则该直线的斜率是一半椭圆

的离心率是.

【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；

由直线过片，设直线的方程为y=A(x+c),

•.•直线和圆(x-gc)2+y2=02相切，.•.圆心(gc,0)到直线的距离与半径相等，

\k-^--Q+kc\2X/5x2v2

A2

2_c4用得笈一7°)1与x-「彳1入”+y-1可得P点坐标为

a+i5'a’廿a

b2

222

t“ckPF,~,2^5a-c2V51-c2V5出

tanZPFf；=——-=—=/:=,..------=,/.-=---,.e-——.

12FIK2c52ac52e55

55

【点评】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，是中

档题.

17.(4分)已知平面向量1,h,c(c工0)满足I,|=1,|〃|=2,ah=0,(4一日)C=0.记平面向量％在M,

5方向上的投影分别为x,y,在0方向上的投影为z,则V+V+z?的最小值是_|

【解答】解：令]=(1,0),5=(0,2)1=(犯”)，

因为(。一心)・5=0,故(1,-2)•(机,孔)=0,:.m—2n=0f令^=(2%n),

平面向量2在5,5方向上的投影分别为x,y,设，=(x,y),

则：J-a=(x-l,y),(d-a)-c=2n(x-V)+ny,Ic|=>/5|n|,

从而：z="2力工=生智3,故2x+y士6z=2,

方法一：由柯西不等式可得2x+y-亚z=2,,42?+f+(-6产-yjx2+y2+z2,

化简得f+V+z?…巴=2,当且仅当2=1=*,即x=2,y=_L,z=-走时取等号，

105XyZ555

故V+y2+z2的最小值为2.

方法二：则Y+V+z?表示空间中坐标原点到平面2x+y土石z-2=0上的点的距离的平方,

由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得:

,222、,2X0+1X0±\/5X0-2.24244g田2

'+/+%,,=(一万E-)2=1r于故答案为

5

【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量的坐标运算，平面向量的投影，类比

推理的应用等知识，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)设函数/(x)=sinx+cosx(x£R).

(I)求函数y="(x+])『的最小正周期；

(II)求函数y=/(xV(x-7)在[0,§上的最大值.

【解答】解：函数/(x)=sinx+cosx=>/5sin(x+工)，

4

(I)函数y="(工+$产=[&sin(x+5+7)]2=2COS2(X+?)

=1+cos[2(x+—)]=1+cos(2x+—)=1-sin2x,则最小正周期为T=—=兀；

(II)函数y=/(x)f(x--)=41sin(x+-)-42sin(x--+—)

4444

=(V2(sinx+cosx)sinx=\f2(sin2x+sinxcosx)=V2(--+—sin2x)=sin(2x--)d———,

2242

因为xe[0,刍，所以包"所以当2厂工=巳，即*=至时，/«_=1+—.

244442822

【点评】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基

础题.

19.(15分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD是平行四边形，ZABC=120°,AB^\,BC=4,

PA=屈,M,N分别为BC,PC的中点，PDA.DC,PMYMD.

(I)证明：AB±PM；

(II)求直线4V与平面所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：在平行四边形ABCD中，由已知可得，CD=AB=1,

CM=-BC=2,ZDCM=60°,

2

由余弦定理可得，DM2=CD1+CM2-2CDxCMxcos60°=1+4-2XIX2X」=3,

2

贝IJCO2+£)A/2=I+3=4=CA/2,即,又PD1DC,尸£>("|切=£>,r.C£)_L平面PDA/,而PWu

平面PDM,:.CDYPM,-.•CD//AB,:.AB±PM；

(II)解：由(I)知，C£)_L平面POW,又CE>u平面498,平面4?CD_L平面PZW,

且平面ABCOn平面PDW=QM，-.-PMA.MD,且RWu平面PDW,.•./W_L平面AfiCZ),

连接A",则PMA.MA,

在中，AB=l,BM=2,ZABM=\20°,可得AM?=1+4-2x1x2x(-：)=7,

又PA=/,在RtAPMA中，求得PM=4PA2—M4?=2a,

取AD中点E,连接ME,则用E7/CD,可得ME、MD、朋尸两两互相垂直，

以M为坐标原点，分别以岫、ME、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则4(-6,2,0),P(0,0,2>/2),C(G,-l,0),

又N为尸C的中点，：.N(3,-L&)，A]V=(—,--,V2),

2222

平面尸DM的一个法向量为为=(0,1,0),

设直线AN与平面PDM所成角为0,

5

则sin0=|cos<AN,ii>|=利

l^l-lnl,2725„,-6

——+——+2x1

44

故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为叵.

6

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求

直线与平面所成的角，是中档题.

Q

20.(15分)已知数列｛4｝的前〃项和为S〃，a=--,且4SN=3S“—9(〃£N*).

4

(I)求数列｛〃“｝的通项公式;

(II)设数列｛〃,｝满足3b“+(〃-4)a“=0(〃GN*)，记｛包｝的前〃项和为Tn,若Tn„Abn对任意nwN*恒成立,

求实数4的取值范围.

【解答】解：(I)由4S,用=3S,-9可得4s“=3S,2),

两式作差，可得：4a向=34,••.纵=3,很明显，&=3,

an444

所以数列仅“｝是以-'为首项，;为公比的等比数列，

其通项公式为：4,=(一*xgyi=-3x(；)".

(n)由3b"+(n-4)an=0,得"=-一％=(〃一4)(；)",

Z=-3x1—2x(；)2—1x《)3_|—5)(1)”」+(〃-4)•(1)〃,

44444

333333

—T'n=_3x(—)2-2x(-)3-1x(—)4H—+(n-5)-(—)/z+(/?-4)-(—)n,1,

444444

两式作差可得：

；1=-3X?+弓)2+(1)3+(，+…弓)”—-4)•(?)”“=，+—~~|~--(«-4)(1)，，+1

1----

4

=_44)"‘_5_4)•(?)1=_〃♦(j"“，则(=T”•弓)向•

据此可得T〃•(?)"”,,2(”-4)弓)"恒成立，即〃“-4)+3〃..0恒成立.

〃=4时不等式成立；

n<4时，A,,—=-3—,由于〃=1时(-3—=1，故4,1;

n-4〃一4〃一4

n>4时，A...—型-=—3—巳-，而-3—竺-<—3,故：A...—3；

n-4n—4n—4

综上可得，｛4|-3领兑1).

【点评】本题主要考查由递推关系式求数列的通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中的恒成立问

题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

21.(15分)如图，已知产是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，例是抛物线的准线与x轴的交点，S.\MF\=2.

(I)求抛物线的方程：

(II)设过点尸的直线交抛物线于A,B两点，若斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交

于点P,Q,R,N,且满足|RN『=|PN||QN|,求直线/在x轴上截距的取值范围.

【解答】解：(I)依题意，P=2,故抛物线的方程为y2=4x；

(II)由题意得，直线钻的斜率存在且不为零，设直线48:y=Mx-I),

将直线AB方程代入抛物线方程可得,kV-QH+4)x+公=0,

4

则由韦达定理有，XA+XB=2+-^,XAXB=\,则以为=7，

设直线AM:y=K(x+l),其中尢=」_,设直线=其中&,=-^-,

xA+1xB+1

则%+公=以+%=皿/+。+%4+-=k@A_1)&+kg_1)+k@B_1此+k@B_1)=0

12

XA+\XB+\(4+1)(/+1)(4+1)*8+1)(勺+1)(4+1)

kku必先_-4_--

'2区+D&+1)1+2+4+11+公，

k2

设直线/:y=2(x-f),

y—2(x—t)-_zgk—2tn.i...k—2tk—kt、

联立，可得/=丁二，则与-fR丁二-fR丁一,

y=A(x-1)k-2k-2k-2

可得”号，则用TR笠TH笠卜

联立

同理可得，4=与早,|々一*=|4±箸|,

NZC,乙K?

、k—ki口」k、+k、t右+kj、日n/"—Z~(l+/)~

又|HN『=|PN|“QN|,=|*,艮1」()=

k-22-JI,2-他k-23公+4

(1+r)23/+43伏-2尸+12伏-2)+161612、，43丁33,八

-——卷=-----=—------------------=-----+----+3=(-----+-)+----(?*!)>

("If(4-2)2?(&-2『(Z-2)72k-2k-2244

.\4(t2+2f+l)..3(t2-2r+l),即/+1期+1..0,解得r..4月一7或r,,-7-4后(frl)；

当直线4?的斜率不存在时，则直线AB:x=l,A(l,2),8(1,-2),M(-1,O),

直线M4的方程为y=x+l,直线MB的方程为y=-x-l,

设直线/:y=2(x7),则P(l+2f,2+2f),,R(\,2-2t),N(7,0),

又|/WF=|PN||QN|,故(1_f)2+(2_2厅=J(1++(2+2rf+(—^^了，

解得t满足(-00,-7-473]U[4^-7,1)U(1,+<»).

直线/在X轴上截距的取值范围为(-8,-7-46]U[4g-7,1)U(l,e).

【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.

22.(15分)设a,人为实数，且a>l,函数/(x)="-Av+e2(xeR).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)若对任意匕>2e?,函数/(x)有两个不同的零点，求。的取值范围；

hlnh/

(III)当a=e时，证明：对任意人>6工函数/(九)有两个不同的零点不，%2,满足方>"王+".

2e“b

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

【解答】解：(I)f'(x)=axlna-b,

①当b,,0时，由于a>l,则优加3>0,故/。)>0,此时f(x)在R上单调递增；

.h.b

In——In——

②当6>0时，令广(x)>0,解得x>—令广(1)<0,解得x<—^也，

InaIna

,b,b

in——In——

此