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文档简介

专题11一次函数

【思维导图】

在二个文化过程生数但发生文化®筮

变量与常量常量:在一个变化过我中数值始终不变的量

如何区分交■与常■看变化过程中谈■的值是否发生交化

概名:一段的,在一个变化过程中,如果有两个交Itx和y,并且对fx的每个■定的值,y都有唯一■定的他与其对应,那么我们就把x称为自变

fl.Wy称为因受y用X的南数•如果当x-a时y-b,那么b叫像与自知的值为谢的何数值

变量与函数关系式为整式时♦雨数自曳量取值祭HI为为全体实效

关系式含有分式时,分式的分唯不等于零

现定函数日交融的取值范圉(关系式含有次程式时,被开方数大于等于零

一关系式中含在指败为辱的式子时,底敷不等于零

实际问题中,函数自受量取俵莅困还要和实怀情况相符合.使之有意义

将点的坐标代入到解析式中,加解析式西边廉立,则点在悠侬上,辰之士渔

函数图象上点的坐标与解析式之间的关系

两个函效图像交点的坐标就是这两个制析式所姐成的方程蛆的“

优:准确反映整个变化过程中自变■与函数的关系

解析法

怏:求对座值时要经过比较妹的计算,而且实总旧题中有的函*俶不一定修用丽式表示

优:自交■和与它对应的函效值数据一目了然,使用方便

蝮期鲤星一处法

筑:所列对应数值个数有限.不再易看出fl变H与的数值的对应关系.有局限性

优:形象的把自交量和函堂值的关系表示出来

用像法

第卜九章一次函数除:图像中只能得到近似的数量关系.

正比例函数定义:一般地,形如ykx(k为常数.k+0)的雨效,叫做正比例函效,k叫做比例系数

一次函数定义:如果厂匕,b(k.b是常数,kWO)的函数,叫做一次函敷

班岫概先先设出的数解析式,在根据条件■定解析式中未知的系数,从而得出解析式的方法叫做待定系数法

特定系效法设函数解析式

特定系数法求函数解析式的一般步L二3二入到解析式中

解万胃(SI)

将求出的敷©代入到解析式中

,随X增大而增大,0过一、三象隈

JftbM时的数的图象经过一、、三象限

k〉0

且b<ON函敷的图象经过、三、四象限

且b=0时函数的图象经过一、三象取

函*®做数图像特征

C1CTOi*,1»工增大而减小,好过二、四象眼

且b>0时南数的图象经过一、2四象限

次函数的图像b性质且M0时内数的图象经过二、三,四象限

且归)时函鬼的图象&过二、ntm

当bX)时将y2=kx用象向上方千移的单位,羹得黑必三卫他的图像

Bb<Qtt一接建出曲姓IT方诩二处单炭一堂期到了窗如土b的图像

y=kx(k#0)是受过点(0,。)和(1,k)的一条J![线

y=kx♦b(k*0)是经过点(0.b)和(-j,0)的一条直线

当-;<0.则*。同号H占空交与鱼•L

列断交点位■.当_:=0,则°=03过原坦

当一:>0,则Ab异号一亶缓与通1站正至也一

k,b符号与直线y-kx+b(k/。)的关系(考点)

K相月,b也相同时西一次函数图像■(合

在苒个一次由H袤达式中:k相同,b不相同时两次由效图像平行

与产的位■关系不相同,不相同时

am%:y1=klx♦bliUSa?:yk?x+b?kb再一次函覆酬I相交

k不相同,b相同时两次函效图像交于y*上的网一点(0,b)

特殊位・关系:两直或平行kl=k2且blWb2

Mh]:yi=kiX+M与&ta?:力=3+gHXfcas-1

直线广kx卷与坐标原点构成的三角形面铁为S=5-|-;||61

【常识要点】

常识点一变量与函数

变量:在一个转变过程中数值产生转变的量。

常量:在一个转变过程中数值始终不变的量。

【注重】

1、变量是可以转变的,而常量是已知数,且它是不会产生转变的。

2、区分常量和变量就是在某个转变过程中该量的值是否产生转变。

函数的定义:一样的,在一个转变过程中,参加有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的

值,y都有独一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函

数。参加当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】

1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值转变而转变。

3、对于自变量每一个确定的值,函数有且只有•个值与之对应。

函数定义域:一样的,一个函数的自变量x许可取值的范畴,叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方式:(自变量取值范畴)

(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时一底数不等于零;

(5)现实问题中,函数定义域还要和现实情况相吻合,使之有意义。

函数值概念:参加在自变量取值范畴内给定一个值a,函数对应的值为b,那么b叫做当自变量取值

为a时的函数值。

函数解析式:用来示意函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范畴:使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范畴。

画函数图像的一样步骤:I、列表2、描点3、连线

函数图像上点的坐标与解析式之间的关系:

1、将点的坐标代入到解析式中,如解析式两边成立,则点在解析式上,反之,不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种示意法及其优瑕玷

1、解析法:两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式示意,这

种示意法叫做解析法。

优:正确反映整个转变过程中自变量与函数的关系。

缺:求对应值是要经由对照复杂的计算,并且现实问题中有的函数值不必然能用解析式示意。

3、列表法:把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来示意函数关系,这种示意法叫做列表

法。

优:自变量和与它对应的函数值数据一目了然,使用方便。

缺:所列对应数值个数有限,不容易看出自变量与函数值的对应关系,有局限性。

3、图像法:用图像示意函数关系的方式叫做图像法。

优:形象的把自变量和函数值的关系示意出来。

缺:图像中只能得到近似的数量关系。

常识点二一次函数的图形与性质

正比例函数定义:一样地,形如y=kx(k为常数,kWO)的函数,叫做正比例函数,k叫做比例系数。

一次函数定义:参加y=kx+b(k,b是常数,k#0)的函数,叫做一次函数,k叫比例系数。

注重:当b=0时,一次函数丫=1«+6变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法:先设出函数解析式,在根据前提确定解析式中未知的系数,从而得出解析式的方式叫做

待定系数法。

待定系数法求函数解析式的一样步骤:

1、设函数解析式2、将已知前提带入到解析式中

2、解方程(组)4、将求出的数值代入到解析式中

正比例函数图像与一次函数图像特点

b>0b<0b=0

k>0

图象从左到右上升,y随x的增大而增大

经由第一、二、四象限经由第二、三、四象限经由第二、四象限

图象从左到右下降,y随x的增大而减小

总结如下:

k>0时,y随x增大而增大,必过一、三象限。

k>0,b>0时,函数的图象经由一、二、三象限;(诙函数)

k>0,b<0时,函数的图象经由一、三、四象限;(一次函数)

k>0,b=0时,函数的图象经由一、三象限。(正比例函数)

k<0时,y随x增大而减小,必过二、四象限。

k<0,b>0时,函数的图象经由一、二、四象限:(一次函数)

k<0,b<0时,函数的图象经由二、三、四象限;(一次函数)

k<0,b=0时,函数的图象经由二、四象限。(正比例函数)

直线y,=kx+b与y2=kx图象的位置关系:

1、当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y产kx+b的图象.

2、当b<0时,将y?=kx图象向x轴下方平移一b个单位,就得到了y2=kx+b的图象.

k,b符号与直线y=kx+b(k#0)的关系

正比例函数的图像:y=kx(kWO)是经由点(0,0)和(1,k)的一条直线。

一次函数的图象:y=kx+b(kWO)是经由点(0,b)和(一/0)的一条直线。

1、当一±<0,则k,b异号,直线与x轴交与正半轴

k

2、当一±=0,则b=0,直线过原点

k

3、当一e>0,则k,b同号,直线与X轴交与负半轴

k

在两个一次函数表达式中:直线li:y产kix+b与L:y2=k?x+b2的位置关系

k一样,b也一样时:两一次函数图像量合;

k一样,b不一样时,两一次函数图像平行;

k不一样,b不一样时,两一次函数图像订交;

k不一样,b一样时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。

特殊位置关系:直线li:yi=kix+bi与h:y2=k2x+b2

两直线平行,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等。即:左=匕且b产8

两直线垂直,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)。即:左•左,=T

直线h与坐标原点构成的三角形面积为s=;.|—外•闻

常识点三一次函数与方程(组)、不等式

一次函数与一元一次方程的关系:因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=O

(kWO)的形式.求方程kx+b=O(kWO)的解,就是求函数y=kx+b(k¥O)函数值为0时,自变

量x的值.

一次函数与二元一次方程组的关系:一样因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以

写成y=kx+b(kWO,k,b为常数)的形式。所以每个如许的方程都对应一个一次函数,即对应

一条直线。直线上每个点的坐标(x,y),都是这个二元一次方程的解。

由上可知,含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组,都对应两个一次

函数,于是也对应两条直线。从“数”的角度看,解如许的方程组,相当于求自变量为何值时相

应的两个函数值相等,以及这个函数值是几。从“形”的角度看,解如许的方程组,相当于确

定两条直线的交点坐标。是以可以通过画一次函数图像的方式得到方程组的解

一次函数与一元一次不等式的关系:因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为

ax+b〉O或ax+b<0(a#0)的形式。求不等式的解,就是求不等式函数值大于或小于0

时,自变量x的取值范畴。

【考查题型】

・正比例函数的定义

正比例困数的邕像与性质

・一次函数的圈像

•;一次的数的性质

_______________)_______________・;求一次西散的第析式

专题11一次函数考查题型

•]—次的数与一元一次方程I

-P一次融数与一元一次不萼式

\\-.|一次函数与二元一次方程(组)

・利用一次函数解决实际问题

・「一程冕一次函数的定义求爹数

考查题型一正比例函数的定义

【解题思路】正比例函数的定义

典例1.(2021•天津中考模拟)已知函数丫=(m-1)x+m2-l是正比例函数,则m=.

【答案解析】-1

【详解】

解:由正比例函数的定义可得:m2-1=0,且m-1加,

解得:m=-1,

故答案为:-1.

变式1-1.(2021•吉林中考模拟)若y=(m-l)x间是正比例函数,则m的值为.

【答案解析】-1

【详解】

由题意得:m-l/0,|m|=l,

解得:m=-l.

故答案为:-1.

变式1-2.(2021•柳州市龙城中学中考模拟)若一次函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数,则m的值

为.

【答案解析】m=-3

【试题解答】

Vy=(m-3)x+m2-9是正比例函数,

m2-9=0

m—3^0

解得m=-3.

故答案是:-3.

考查题型二正比例函数的图像与性质

【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键.

2

典例2.(2021.陕西模拟)下列四个点,在正比例函数y=1x的图象上的点是()

A.(2,5)B.(5,2)C.(2,-5)D.(5,-2)

【答案解析】B

【考点解析】

分别把各点坐标代入正比例函数的解析式进行一一验证即可.

【详解】

242

A.:当x=2时,y=]X2=1W5,.•.此点不在正比例函数图象上,故本选项错误;

22

B.1,当户5时,X5=2,此点在正比例函数产gx图象上,故本选项正确;

242

C...•当产2时,y=-X2=y^-5,...此点不在正比例函数产图象上,故本选项错误;

2?

D.二•当x=5时,y=-X5=2^-2,.•.此点不在正比例函数产图象上,故本选项错误.

故选B.

变式2-1.(2021•陕西模拟)若一个正比例函数的图象经由A(3,m-1),B(4,2m-1)两点,则

m的值为()

A.-0.5B.0.5C.2D.-2

【答案解析】A

【考点解析】设正比例函数的解析式为y^kx(AW0),操纵一次函数图象上点的坐标特点可得出

关于k,〃,的二元一次方程组,解之即可得出结论.

【详解】解:设正比例函数的解析式为y=kx(20),

•••该正比例函数的图象经由A(3,w-1),8(4,2m-1)两点,

m-l=3km=-0.5

解得:.故选:A.

2m—l-4kk=—0.5

变式2-2.(2021•西安市模拟)若正比例函数y=gx经由两点(1,弘)和(2,y2),则为和为

的大小关系为()

A.x<y2B.必>>2C.%=%D.无法确定

【答案解析】A

【考点解析】分别把点(1,%),点(2,y2)代入函数y=3》,求出点弘,%的值,并对

照出其大小即可.

【详解】:点(1,%),点(2,y2)是函数y=gx图象上的点,

1,

•••y=5,%=i,

v1<i,

2

X<必•

故选:A.

变式23(2021・湖南株洲市一模)如图,在同一向角坐标系中,正比例函数片幻,y=k2xy

y=k3xfy=A/的图象分别为4,h,AL,则下列关系中对的是()

A.<k2<k3<k4B.k2<k1<k4<k3

C.k1<k2<k4<%D.k2<k[<k3<&4

【答案解析】B

【考点解析】起首根据直线经由的象限判断k的符号,再进一步根据直线的陡峭趋势(直线越陡网越

大)判断k的绝对值的大小,末了判断四个数的大小.

【详解】解:根据直线经由的象限,知&2<°,勺<°,&>°,&>°,根据直线越陡闷越大,

知网>|4|,同<|勾,所以丁<匕<]<&.故选B.

【点睛】

此题主要考查了正比例函数图象的性质,直线越陡河越大,谙练掌握正比例函数的性质是解题关

键.

考查题型三根据一次函数的定义求参数

【解题思路】谙练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解答的关键.

典例3(2021•海口市模拟)一次函数y=(k-l)x+3的图象经由点(-2,1),则k的值是

()

A.-1B.2C.1D.0

【答案解析】B

【考点解析】函数经由点(-2,1),把点的坐标代入解析式,即可求得幺的值.

【详解】解:根据题意得:+3=1,

解得:k=2.

故选8.

变式3-1.(2021•安徽中考真题)已知一次函数丁=履+3的图象经由点A,且丁随工的增大而减小,

则点A的坐标可所以()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案解析】B

【考点解析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号,再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即

可.

【详解】•..一次函数丁=日+3的函数值y随x的增大而减小,

/.k<0,

A.当x=-l,y=2时,-k+3=2,解得k=l>0,此选项不吻合题意:

B.当x=1,y=-2时,k+3=-2,解得k=-5<0,此选项吻合题意;

C.当x=2,y=3时,2k+3=3,解得k=0,此选项不吻合题意;

D.当x=3,y=4时,3k+3=4,解得k=g>0,此选项不吻合题意,

故选:B.

变式3-2.(2021•浙江杭州市.中考真题)在平面直角坐标系中,已知函数y=or+a(aWO)的图象过

点PC,2),则该函数的图象大概是()

【答案解析】A

【考点解析】求得解析式即可判断.

【详解】解:函数y=ar+a(aWO)的图象过点P(1,2)

;.2=a+a,解得a—\,

;.y=x+l,

直线交y轴的正半轴,且过点(1,2)

故选:A.

考查题型四一次函数的图像

【解题思路】解答本题的关键是明白题意,操纵一次函数的性质解答.

典例4(2021.四川广安市.中考真题)一次函数y=—x—7的图象不经由的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案解析】A

【考点解析】根据一次函数的解析式和性质,可以得到该函数的图象经由哪几个象限,不经由哪个

象限,进而得到答案.

【详解】解:;》=一%一7,k=-ivo,b=-7<0,

...该函数的图象经由第二、三、四象限,不经由第一象限,

故选:A.

变式4-1.(2021•山东济南市•中考真题)若机<-2,则一次函数>=(根+1)%+1一加的图象大概是

【答案解析】D

【考点解析】由,“V-2得出”计1<0,1-进而操纵一次函数的性质解答即可.

【详解】解:>”<-2,

.*.w+l<0,1-m>0,

所以一次函数y=(m+l)x+l—m的图象经由一,二,四象限,

故选:D.

变式4-2.(2021•山东日照市•中考真题)将函数y=2x的图象向上平移3个单位,则平移后的函数解

析式是()

A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=2(x+3)D.y=2(x-3)

【答案解析】A

【考点解析】直接操纵一次函数"上加下减”的平移规律即可得出答案.

【详解】解:;将函数y=2x的图象向上平移3个单位,

.•.所得图象的函数表达式为:y=2.r+3.

故选:4.

变式4-3.(2021.辽宁沈阳市.中考真题)一次函数y="+b/工0)的图象经由点A(—3,0),点

8(0,2),那么该图象不经由的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案解析】D

【考点解析】如图(见解析),在平面直角坐标系中,先描出点A、B,再过点A、B作直线,

然后察看函数图象即可得.

【详解】在平面直角坐标系中,先描出点A、B,再过点A、B作直线,如图所示:

察看函数图象可知,一次函数丁=齿+伏女工0)的图象不经由第四象限

故选:D.

变式4-4.(2021糊南益阳市.中考真题)一次函数丫=h+6的图象如图所示,则下列结论对的是()

A.k<0B.b=~\

C.V随x的增大而减小D.当x>2时,kx+b<0

【答案解析】B

【考点解析】根据一次函数的图象与性质判断即可.

【详解】由图象知,k>0,且y随x的增大而增大,故A、C选项错误;

图象与y轴负半轴的交点坐标为(0,-1),所以b=-l,B选项正确;

当x>2时,图象位于x轴的上方,则有y>0即kx+b>0,D选项错误,

故选:B.

考查题型五一次函数的性质

【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点.

典例5(2021•湖北省直辖县级行政单位•中考真题)对于一次函数y=x+2,下列说法不对的是

A.图象经由点(1,3)B.图象与x轴交于点(—2,0)

C.图象不经由第四象限D.当x>2时,y<4

【答案解析】D

【考点解析】根据一次函数的图像与性质即可求解.

【详解】A.图象经由点(1,3),正确;

B.图象与x轴交于点(一2,0),正确

C.图象经由第一、二、三象限,故错误;

D.当x>2时,y>4,故错误;

故选D.

变式5-1.(2021.四川凉山彝族自治州.中考真题)已知一次函数y=(2加1)产s3的图像不经由第二象

限,则加的取值范畴()

A.m>B.m<3C.<m<3D.<mW3

222

【答案解析】D

【考点解析】一次函数的图象不经由第二象限,即大概经由第一,三,四象限,或第一,三象限,

所以要分两种情况.

【详解】当函数图象经由第一,三,四象限时,

"2,什1>0

解得:——<m<3.

m-3<02

当函数图象经由第一,三象限时,

2/n+l>0

噜3=o,解得m=3.

---<m<3.

2

故选D.

变式5-2.(2021•浙江九年级二模)设k<0,关于%的一次函数了=依+2,当时的最大值

是()

A.Z+2B.2Z+2C.2k—2D.k-2

【答案解析】A

【考点解析】操纵一次函数的性质可得当x=l时,y最大,然后可得答案.

【详解】•.•一次函数丁=丘+2中4<0,

二y随x的增大而减小,

v1<X<2,

...当x=l时,y最大=Axl+2=Z+2,

故选:A.

变式5-3.(2021•河南安阳市模拟)点A(xi,yi)、B(x2)y2)都在直线y=kx+2(kVO)上,且xi

<X2则yi、y2的大小关系是()

A.yi=y2B.yi<y2C.yi>yiD.yi>y2

【答案解析】C

【考点解析】根据直线系数k<0,可知y随x的增大而减小,xi<X2时,yi>y2.

【详解】解:•直线y=kx+b中k<0,

,函数y随x的增大而减小,

.,.当xiVx2时,yi>y2.

故选:C.

考查题型六求一次函数解析式

【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点,以及操纵待定系数法求解一次函数的解析式,掌握一

次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键.

典例6(2021・广西中考真题)直线尸H+2过点(-1,4),贝琳的值是()

A.-2B.-1C.ID.2

【答案解析】A

【考点解析】由直线),=履+2过点(-1,4),操纵一次函数图象上点的坐标特点可得出关于k的

一元一次方程,解之即可得出k值.

【详解】解:・・,直线y="+2过点(-1,4),

/.4=-k+2,

:.k=-2.

故选:A.

变式6-1.(2021•湖南邵阳市•中考真题)已知正比例函数〉=履(左。0)的图象过点(2,3),把正比例函

数>=依(左w0)的图象平移,使它过点(1,一1),则平移后的函数图象大抵是()

【答案解析】D

【考点解析】先求出正比例函数解析式,再根据平移和经由点(1,-1)求出一次函数解析式,即可求解.

【详解】解:把点(2,3)代入得2k=3

3

解得kf

3

正比例函数解析式为y=

2

3

设正比例函数平移后函数解析式为y=-x+b,

2

33

把点(1,一1)代入y=+6得1+^=-1,

.,5

..b——,

2

35

二平移后函数解析式为y=-x-一

22

故函数图象大抵

故选:D

变式6-2.(2021・四川乐山市•中考真题)直线),=丘+匕在平面直角坐标系中的位置如图所示,则不等

式依+8W2的解集是()

A.xW-2B.xWTC.x2—2D.

【答案解析】C

【考点解析】先根据图像求出直线解析式,然后根据图像可得出解集.

【详解】解:根据图像得出直线),="+〃经由(0,1),(2,0)两点,

b=l

将这两点代入y="+人得,c,解得1,

2k+b=Qk=——

II2

...直线解析式为:y=—;x+l,

将y=2代入得2=-gx+l,

解得x=-2,

...不等式"+匕<2的解集是x>-2,

故选:C.

考查题型七一次函数与一元一次方程

【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程:任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常

数,a#))的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自

变量的值.从图象上看,相当于已知直线丫=2*+1?确定它与x轴的交点的横坐标的值.

典例7(2021,山东济宁市•中考真题)数形联合是解决数学问题常用的思思方式.如图,直线y=x+5和

直线y=ax+b,订交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是()

A.x=20B.x=5C.x=25D.x=15

【答案解析】A

【考点解析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解.

【详解】解:由图可知:

直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P(20,25),

二方程x+5=ax+b的解为x=20.

故选:A.

变式7-1.(2021.陕西渭南市模拟一次函数丁=履+3(k为常数且左。0)的图像经由点(一2,

0),则关于%的方程&(%-5)+3=0的解为()

A.x——5B.x=—3C.x=3D.x—5

【答案解析】C

【考点解析】根据一次函数图象的平移即可得到答案.

【详解】解:•.•y=k(x-5)+3是由丁=丘+3的图像向右平移5个单位得到的,

•••将一次函数丁=去+3的图像上的点(一2,0)向右平移5个单位得到的点的坐标为(3,0)

.•.当y=0时,方程女(%一5)+3=0的解为x=3,

故选:C.

变式7-2.(2021•湖北襄阳市模拟)如图,直线丁="+伙上00)过点A(0,5),B(-4,0),则关

于x的方程"+6=0的解是()

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