第4章-第8章-相量法

1

重点:

掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。第1页/共71页21.叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。4.1叠加定理

(SuperpositionTheorem)2.定理的证明G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–1用结点法：(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1第2页/共71页3或表示为：支路电流为：G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–1第3页/共71页4结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。结论3.几点说明1.叠加定理只适用于线性电路。2.一个电源作用，其余电源为零电压源为零—短路。电流源为零—开路。三个电源共同作用R1is1R2R31is1单独作用R1is1R2us2R3us3i2i3+–+–1第4页/共71页5us2单独作用us3单独作用R1R2us2R3+–1R1R2us3R3+–13.功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。4.u,i叠加时要注意各分量的参考方向。5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。第5页/共71页64.叠加定理的应用例1求电压U.8

12V3A+–6

3

2

+－U8

3A6

3

2

+－U(2）8

12V+–6

3

2

+－U(1)12V电源单独作用，如图(a)3A电源单独作用，如图(b)解图(a)图(b)所以第6页/共71页7例2＋－10V2A＋－u2

3

3

2

求电流源的电压和发出的功率＋－10V＋－U（1）2

3

3

2

2A＋－U（2）2

3

3

2

解：10V电源单独作用，如图(a)2A电源单独作用，如图(b)图(a)图(b)第7页/共71页8例3u＋－12V2A＋－1

3A3

6

6V＋－计算电压u。1

3A3

6

＋－u（1）＋－12V2A＋－1

3

6

6V＋－u

(2）i(2)说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。解：3A电流源单独作用,如图(a)其余电源作用,如图(b)图(a)图(b)第8页/共71页9例4计算电压u电流i。u（1）＋－10V2i(1)＋－1

2

＋－i（1）u＋－10V2i＋－1

i2

＋－5Au(2)2i(2)＋－1

i(2)2

＋－5A解：10V电源单独作用，如图(a)5A电源单独作用,如图(b)图(a)图(b)所以第9页/共71页10例5无源线性网络uSi－＋iS

封装好的电路如图，已知下列实验数据：解

根据叠加定理，有：代入实验数据，得：研究激励和响应关系的实验方法第10页/共71页11例6.采用倒推法：设i'=1A。则求电流i。RL=2

R1=1

R2=1

us=51V+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+–usR2R2i'=1A解5.齐性原理（homogeneityproperty)第11页/共71页12齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。Rus1r1Rus2r2Rk1us1k1r1Rk2us2k2r2us1us2rRkus1kus2krR1.2.3.r1+

r2us1us2Rk1r1+

k2r2Rk1us1k2us2第12页/共71页132Ω+–12V+–UL20Ω2Ω2Ω20Ω20ΩILU

+-ACB图4-13解：设IL

=1A用齐性原理（单位电流法）U

K

=Us/U

UL=KILRL例：在T形电路中求UL。第13页/共71页144.2替代定理(SubstitutionTheorem)对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。ik1.替代定理支路

k

ik+–uk+–ukik+–ukR=uk/ik第14页/共71页15Aik+–uk支路

k

A+–ukikA第15页/共71页16Aik+–uk支路

k

A+–ukukukuk－＋＋－Aik+–uk

支路

k

证毕!2.定理的证明＝第16页/共71页17例求图示电路的支路电压和电流。＋－i310

5

5

110V10

i2i1＋－u解替代＋－i310

5

5

110Vi2i1＋－60V替代以后有：替代后各支路电压和电流完全不变。第17页/共71页18

替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。原因注：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。2.替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电流源节点(含广义节点)。1.5A10V5V2

5

＋－－＋2.5A1A

5V+－？？第18页/共71页19例1若要使试求Rx。3.替代定理的应用0.5

0.5

+10V3

1

RxIx–+UI0.5

＋－解用替代：=+0.5

0.5

1

–+UI0.5

0.5

0.5

1

–+U'I0.5

0.5

0.5

1

–+U''0.5

U=U'+U"=0.8Ix-0.6Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2

第19页/共71页20例2试求I1。解用替代：6

5

+–7V3

6

I1–+1

＋－2

+－6V3V4A4

2

4

4A＋－7VI1由叠加原理第20页/共71页21I1IRR8

3V4

b＋－2

+－a20V3

I例3已知:uab=0,求电阻R。C1A解用替代：用结点法：第21页/共71页22例42V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。4

4V10

3A＋－2

+－2V2

10

解0.5AII110V＋－2

+－2V2

5

1应求电流I，先化简电路。应用结点法得：第22页/共71页23例5已知:uab=0,求电阻R。解用断路替代，得：短路替代：4

42V30

0.5A＋－60

25

10

20

40

badcR1A第23页/共71页244.3戴维宁定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。第24页/共71页251.戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。AabiuiabReqUoc+-u第25页/共71页26I例Uocab+–Req5

15V-+解：(1)求开路电压Uoc，如图(a)(2)求等效电阻Req10

10

+–20V+–U0Cab+–10V1A5

2A+–U0Cab图(a)图(b)则代文宁等效电路如图(b)求代文宁等效电路第26页/共71页272.定理的证明+abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–ReqabAi+–uabA+–u'-abPi+–u''Req则替代叠加A中独立源置零第27页/共71页283.定理的应用(1)开路电压Uoc的计算

等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算

戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。第28页/共71页2923方法更有一般性。

当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y

互换的方法计算等效电阻；1开路电压，短路电流法。3外加电源法（加压求流或加流求压）。2abPi+–uReqabPi+–uReqiSCUocab+–Req第29页/共71页30(1)外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(2)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。注：例1.计算Rx分别为1.2

、5.2

时的I；IRxab+–10V4

6

6

4

解保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：第30页/共71页31ab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求开路电压Uoc=U1+U2=-4+6=2V+Uoc_(2)求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8

(3)Rx

=1.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A第31页/共71页32求U0。3

3

6

I+–9V+–U0ab+–6I例2.Uocab+–Req3

U0-+解(1)求开路电压UocUoc=6I+3I=9II=9/9=1AUoc=6I+3I=9V+–Uoc(2)求等效电阻Req方法1：加压求流第32页/共71页33U0=6I+3I=9II=I0

6/(6+3)=(2/3)I0U0=9

(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6

3

6

I+–U0ab+–6II0方法2：开路电压、短路电流法(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6

3

6

I+–9VIscab+–6II1独立源置零独立源保留第33页/共71页34(3)等效电路abUoc+–Req3

U0-+6

9V

计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求负载RL消耗的功率。例3.100

50

+–40VRLab+–50VI14I150

5

解(1)求开路电压Uoc第34页/共71页35100

50

+–40VabI14I150

+–Uoc100

50

+–40VabI1200I150

+–Uoc–+(2)求等效电阻Req用开路电压、短路电流法Isc50

+–40VabIsc50

第35页/共71页36abUoc+–Req5

25

10V＋－50VIL第36页/共71页37任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电阻。4.诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。AababReqIsc第37页/共71页38例1求电流I

。12V2

10

+–24Vab4

I+–(1)求短路电流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解IscI1

I2(2)求等效电阻ReqReq=10//2=1.67

(3)诺顿等效电路:Req2

10

ab应用分流公式4

Iab-9.6A1.67

第38页/共71页39例2求电压U。3

6

+–24Vab1A3

+–U6

6

6

(1)求短路电流IscIsc解本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。第39页/共71页40(2)求等效电阻Req(3)诺顿等效电路:Iscab1A4

＋－U3

6

+–24Vab3

6

6

6

Req第40页/共71页414.4最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。Ai+–u负载iUoc+–u+–ReqRL应用戴维宁定理第41页/共71页42RL

P0Pmax最大功率匹配条件求P的最大值，则因当时，P获得着大值iUoc+–u+–ReqRL第42页/共71页43例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。20

+–20Vab2A+–URRL10

解：(1)求开路电压Uoc(2)求等效电阻Req(外加电源U)＋－UocI1I220

+–Iab+–UR10

UI2I1第43页/共71页44(3)由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率注

最大功率传输定理用于一端口电路给定,

负载电阻可调的情况;

一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;

计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.第44页/共71页454.5特勒根定理

(Tellegen’sTheorem)1.特勒根定理1

任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:功率守恒

表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。第45页/共71页464651234231应用KCL:123支路电压用结点电压表示定理证明：第46页/共71页471.特勒根定理2

任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:46512342314651234231拟功率定理第47页/共71页48定理证明：对电路2应用KCL:12346512342314651234231第48页/共71页49例1(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4

,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求此时的U2。解把（1）、（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=US-R1I1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A无源电阻网络

P–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2第49页/共71页50

例2.解：由特勒根定理，有P–+U1–+U2I2I1P–+–+2

已知：

U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A第50页/共71页51应用特勒根定理需注意：（1）电路中的支路电压必须满足KVL;（2）电路中的支路电流必须满足KCL;（3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）（4）定理的正确性与元件的特征全然无关。第51页/共71页524.6互易定理(ReciprocityTheorem)互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。1.互易定理

对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。第52页/共71页53

情况1i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)激励电压源电流响应cd线性电阻网络NRi1+–uS2ab(b)当uS1=

uS2

时，i2=

i1

则两个支路中电压电流有如下关系：第53页/共71页54证明:由特勒根定理：即：两式相减，得第54页/共71页55将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:即：证毕！i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)cd线性电阻网络NRi1+–uS2ab(b)第55页/共71页56

情况2u2线性电阻网络NR+–iS1abcd(a)cd线性电阻网络NRu1+–iS2ab(b)则两个支路中电压电流有如下关系：当iS1=

iS2

时，u2=

u1

激励电流源电压响应第56页/共71页57

情况3则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：当iS1=

uS2

时，i2=

u1

激励电流源电压源图b图a电流响应图b图a电压i2线性电阻网络NRiS1abcd(a)cd线性电阻网络NRu1+–uS2ab(b)+–第57页/共71页58(3)互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；(2)互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联)；(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：第58页/共71页59例1求(a)图电流I，(b)图电压U。解利用互易定理1

6

I+–12V2

(a)4

(b)1

2

4

+–U6

6AI＋－12V+－U6A第59页/共71页60例22

1

2

4

+–8V2

Iabcd求电流I。解利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2

1

2

4

+–8V2

IabcdI1I2I'第60页/共71页61例3测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I。解1(1)利用互易定理知c图的u1+–u2线性电阻网络NR+–2Aabcd(a)cd线性电阻网络NR2Aab(b)+–5

Icd线性电阻网络NR2Aab(c)+–+–第61页/共71页62cd线性电阻网络NRReqab(d)5

5

+–5VabI(2)结合a图，知c