信号与系统(第4版)随机信号通过线性系统分析

随机信号通过线性系统分析9.0引言9.1

随机信号的概念9.2

连续随机信号的统计特征9.3

离散随机信号的统计特征9.4

线性连续系统分析9.5

线性离散系统分析9.6

白噪声通过线性系统分析9.7小结

9.0引言

线性系统分析的中心问题是:给定输入信号和系统函数,求输出信号(或响应)。前几章系统分析的输入和输出信号都是确定性信号,通常可以显式表达。本章所要讨论的问题是:当输入信号是随机信号时,如何求解线性系统的输出。

由于系统输入是随机信号,所以输出也是随机信号,一般不能用显式表示。随机信号常常采用统计特性描述,因此,随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。

对于连续系统,分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性(均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数)和系统的特性(冲激响应h(t)、系统函数H(s)和频率特性H(jω)),求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征(互相关函数和互谱密度)。对于离散系统,情况也类似,只是h(t)、H(s)、H(jω)分别用h(k)、H(z)、H(ejω)代替。

由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号,因此,相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析,此时输入是平稳的,系统特性是确定的和稳定的,经过一段过渡时期后,输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my,方差Dy,自相关函数Ryy(τ),功率密度谱Sy(jω),以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ),互谱密度Sxy(jω)等。

9.1

随机信号的概

9.1.1

随机过程和随机信号的概念

在概率论中介绍过随机变量的概念,设X是一个随机变量,则X的取值是随机的,通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变,即表示为X(t),这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。

设有一个随机信号产生器,若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果,甲观察到的实验输出波形为x1(t),乙观察得到的实验输出波形为x2(t),x1(t)≠x2(t),如图9.1-1所示。同理,设有N个同学分别去做实验,得到实验结果就分别为x1(t),x2(t),…,xN(t)。也就是说,随机信号产生器产生的随机信号X(t),在同一时刻t(例如t=t0)可能输出不同的值,若实验观察,事先是不知道X的取值,即时间t给定时X(t)是一个随机变量。图9.1-1-随机信号X(t)

显然,随机信号X(t)有如下两个特点:

(1)在定义的观察区间内,X(t)是以时间t为参变量的随机函数;

(2)给定t,它是一个随机变量,即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。

现实生活中随机信号的例子很多,如噪声电压信号,某区域海浪高度的变化,某一区域风向的变化,某一河流的流量变化,交易市场指数的变化,等等,它们都是随机信号。

9.1.2

随机信号的分布函数和概率密度

定义9.1-1

随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时刻的取值小于x的概率,即

定义9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为

为了描述随机信号在不同时刻t1,t2,…,tn的内在联系,同理,可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数:

从理论上说,随机信号的统计特性可以用概率密度函数(包括n维联合概率密度函数)给出完整的描述。但在实际中,确定概率密度是很困难的。因此,人们常通过计算随机信号的一些参数———统计特征或数字特征,来描述随机信号的统计平均规律或分布规律。下一节我们将介绍一些随机信号的常用统计特征(或数字特征)

9.2

连续随机信号的统计特征

9.2.1

均值

均值或称数学期望,是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。

定义9.2-1

当随机信号X(t)为(严格)平稳随机过程时,满足如下条件:

这种随机信号X(t)称为平稳随机信号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号。

显然,对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=f(x),mx(t)=mx。即平稳随机信号的均值是一个常数。

定义9.2-2

随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为

同理,平稳随机信号X(t)的均方值E[X2(t)]也是一个与时间t无关的常数。

9.2.2

方差

方差是随机信号在均值上下波动程度的一种统计特征,是用来说明随机信号各可能值相对于均值的偏离程度。

定义9.2-3-随机信号X(t)的方差定义为

对平稳随机信号X(t)而言,方差是一个与时间t无关的常数:

方差又称为二阶中心矩。方差的数值越大,表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大,各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根σx称为标准差。

下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。

对于平稳随机信号X(t)而言,有

即方差σ2x等于随机信号平方的均值E[X2(t)]减去随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1Ω电阻上的噪声电流或电压,则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率(由交流和直流两部分组成)的统计平均值,均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率;方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。

9.2.3

自相关函数和自协方差函数

上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2-时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联程度如何,这种关联称为自关联。同样,下一小节还要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度,这种关联性称为X与Y之间的互关联。

1.自相关函数

自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1、t2取值之间的相关程度。

定义9.2-4-实随机信号X(t)的自相关函数定义为

由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关,设t2-=t1-+τ,则有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)。所以,平稳随机信号的自相关函数是时间间隔τ的函数,记为Rxx(τ)。

2.自协方差函数

自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1、t2取值之间的二阶混合中心矩,它用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对于均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

定义9.2-5

实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

当mx(t1)=mx(t2)=0时,有Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)。

显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

对于平稳随机信号,自协方差函数是时间间隔τ的函数,记为Cxx(τ),且有

当均值mx=0时,有Cxx(τ)=Rxx(τ)。

当随机过程X(t)的均值为常数时,相关函数只与时间间隔τ=t2-t1-有关,且均方值为有限值时,则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

3.平稳随机信号自相关函数的性质

设X(t)为平稳随机过程,其自相关函数为Rxx(τ),自协方差函数Cxx(τ),则它们有如下性质:

(1)τ=0时的自相关函数等于均方差,自协方差函数等于方差,即

(2)当平稳随机信号是实函数时,其相关函数是偶函数,即

(3)τ=0时的自相关函数、自协方差函数取最大值,即

(4)若X(t)=X(t+T),则其自相关函数也是周期为T的周期函数,即

(5)若均值mx=0,当τ→∞时,X(t)与X(t+τ)相互独立,有

即对于零均值的平稳随机信号,当时间间隔τ很大时,X(t)与X(t+τ)相互独立,互不相关。

9.2.4

互相关函数和互协方差函数

类似上面的思路,可以定义两个随机信号X(t)和Y(t)之间的相关性的测度:互相关函数和互协方差函数。

定义9.2-6-随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数定义为

定义9.2-7随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数定义为

如果Cxy(t1,t2)=0,则称随机信号X(t)与Y(t)之间互不相关。

对于两个平稳随机信号而言,其互相关函数和互协方差函数只与时间间隔τ=t2-t1-有关,分别表示如下:

平稳随机信号

X(t)、Y(t)的互相关函数为

平稳随机信号

X(t)、Y(t)的互协方差函数为

9.2.5

功率密度谱Sx(jω)和互谱密度Sxy(jω)

1.功率密度谱Sx(jω)

设X(t)为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号,其平均功率可以定义为

依据帕塞瓦尔定理,设XT(jω)表示xT(t)=x(t)·g2T(t)的傅里叶变换,则上式可表示为

式中,p(jω)称为样本功率密度或样本功率谱。

由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以,必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。

定义9.2-8平稳的连续随机信号X(t)的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即

维纳欣钦(Wiener-Khinchine)定理:

若X(t)为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数Rxx(τ)和功率密度谱Sx(jω)为一傅里叶变换对:Rxx(τ)↔Sx(jω)。其中:

2.互谱密度Sxy(jω)

同理,在频域描述两个随机信号X(t)和Y(t)相互关联程度的数字特征时,可以定义互谱功率密度,简称互谱密度Sxy(jω)。而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对:Rxy(τ)↔Sxy(jω)。其中:

例9.2-1

已知随机信号X(t)=Asin(ω0t+θ),其中A和ω0为常数,θ为随机变量,在区间[0,2π]上服从均匀分布,求随机信号X(t)的功率密度谱和平均功率。

解按定义分别求出随机信号X(t)的均值和相关函数:

由于均值为常数,自相关函数只与时间间隔τ有关,所以X(t)为宽平稳随机信号。

利用维纳欣钦定理可求得X(t)的功率密度谱为

X(t)的平均功率为

当对连续随机信号X(t)进行时间采样后,即只在离散时刻取值,就形成离散随机信号。离散随机信号表示为:X(t1),X(t2),…,X(tk),…;它是由一串离散随机变量构成的序列,所以常称为随机序列,可简单地用X(k)或{X(1),X(2),…,X(k),…}表示。

随机序列X(k)的统计特性描述(分布函数和概率密度函数)类似于X(t),只不过时间变量k取值限定为整数。

9.3

离散随机信号的统计特征

9.3.1

均值、均方值和方差

随机序列X(k)的均值为(由式(9.2-1))

随机序列X(k)的均方值为(由式(9.2-3))

随机序列X(k)的方差为(由式(9.2-4))

三者的相互关系为(由式(9.2-6))

对于平稳离散随机信号(或称平稳离散序列)而言,均值、方差和均方值都是与取样时间k无关的常数,即可分别表示为mx、σ2x和E[X2(k)]=m2x+σ2x

9.3.2

相关函数和协方差函数

1.自相关函数

自相关函数是描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1、k2-的取值X(k1)和X(k2)之间的相关程度。由定义9.2-4-得出

定义9.3-1

若离散随机信号X(k)的均值为一常数,自相关函数只与取样时间差n=k2-k1有关,即可表示为Rxx(n),且它的均方值为有限值,即满足

则称随机序列X(k)为(广义)平稳离散时间随机信号。

2.自协方差函数

同理,自协方差函数描述随机信号

X(k)在任意两个不同时刻k1、k2-的取值起伏变化之间的相关程度。由定义9.2-5-得出自协方差函数为

对于平稳离散时间随机信号,自协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1-有关,即可表示为

3.互相关函数

类似于连续随机信号的情况,两个随机序列X(k)、Y(k)之间的相关程度由互相关函数和互协方差函数描述。

两个随机序列的互相关函数为(由定义9.2-6)

对于平稳离散随机信号,互相关函数只与取样时间间隔n=k2-k1-有关,即可表示为Rxy(n)。

4.互协方差函数

同理,两个随机序列X(k)、Y(k)之间的互协方差函数为(由式(9.2-7)定义)

对于两个平稳离散随机信号,互协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1-有关,即可表示为

9.3.3

功率密度谱和互谱密度

1.功率密度谱

根据维纳欣钦定理,零均值平稳离散时间随机信号的自相关函数与其功率密度谱是一离散傅里叶变换对。

设X(k)是一个零均值的平稳离散时间随机信号,其自相关函数为

当Rxx(n)满足绝对可和时,即则定义功率密度谱Sx(jω)为序列Rxx(n)的离散时间傅里叶变换(DFT),即

或

式中,T为采样间隔。

这时序列的功率密度谱Sx(jΩ)在频域是以

为周期的周期性连续函数。其离散傅里叶逆变换(IDFT)为

若令n=0,则有

为了分析方便,式(9.3-14)可以写成Z变换形式,即

Z的逆变换为

2.互谱密度Sxy(jΩ)

同理,两个零均值平稳离散时间随机信号的互相关函数与其互谱密度也是一对离散傅里叶变换对:Rxy(n)↔Sxy(jΩ),其中:

9.4

线性连续系统分析

9.4.1

时域分析设h(t)为一LTI连续系统的冲激响应,系统的输入为平稳随机信号X(t),则系统输出零状态响应Y(t)为

1.Y(t)的均值

当输入X(t)为平稳随机信号时,其均值为常数,即mx(t)=mx;故输出随机信号的均值为

2.Y(t)的自相关函数和方差

若X(t)为平稳随机信号,则Rxx(t-u,t+τ-v)=Rxx(τ+u-v),故上式可写为

显然,输出Y(t)的自相关函数与时间起点无关,因此,当LTI系统输入宽平稳随机信号时,其输出也是宽平稳随机信号。

输出随机信号Y(t)的方差为

3.输入与输出的互相关函数

当X(t)为平稳随机信号时,则Rxx(t,t+τ)=Rxx(τ),故上式可写为

同理可得

例9.4-1

已知LTI系统的冲激响应为h(t)=e-atε(t),a>0;系统输入为零均值平稳随机信号,其自相关函数为Rxx(τ)=bδ(τ),b>0。试求:

(1)输出随机信号Y(t)的自相关函数;

(2)输出平均功率;

(3)输入与输出的互相关函数。

解(1)由(9.4-5)式,得

(2)平均功率:

(3)利用(9.4-8)式可得

9.4.2

频域分析

1.系统在频域的传输函数H(jω)

因为由(9.4-2)式,输出的均值为

2.系统输出的自功率密度谱Sx(jω)

在9.3节给出,输入、输出的自相关函数分别与输入、输出功率密度谱构成一傅里叶变换对,根据式(9.4-4),对平稳随机信号有

对上式两边取傅里叶变换,得

即系统输出的自功率密度谱等于输入的自功率密度谱乘以系统传输函数模的平方。

3.系统输入、输出的互功率密度谱Sxy(jω)

由(9.4-8)式,有

对上式两边取傅里叶变换,得

利用上式还可以求解系统的传输函数H(jω):

9.5

线性离散系统分析

9.5.1

时域分析设h(k)是LTI离散系统的单位脉冲响应,X(k)是输入随机序列,则输出随机序列为h(k)与X(k)的卷积和,即

1.输出Y(k)的均值

按均值的定义,有

当X(k)为平稳随机序列时,均值为常数,即

mx

=mx(k)=mx(k-i),因此

2.输出Y(k)的自相关函数

按自相关函数的定义,有

当X(k)为平稳随机序列时,有

即输出Y(k)也为平稳随机序列。当n=0时,由(9.3-4)式,可得输出随机序列的平均功率为

3.输入与输出之间的互相关函数

依互相关函数的定义,有

当X(k)为平稳随机序列时,输出也为平稳随机序列,有

同理可求得Ryx(n)为

9.5.2

Z域分析和频域分析

由于离散系统的Z域分析比较简便,所以,随机序列通过离散系统的变换域分析,可先进行Z变换域分析。如果Z域分析结果的收敛域在Z平面的单位圆之内,只要将z=ejωT=ejΩ代入Z域分析结果,就得到频域的分析结果。

设LTI离散系统的Z域系统函数为

当输入为平稳随机序列X(k),其均值为mx时,则输出随机序列Y(k)的均值为

根据维纳欣钦定理,平稳离散随机序列的相关函数与Z域的功率密度谱构成Z变换对。即有

当X(k)为平稳随机序列时,输出Y(k)也为平稳随机序列。根据(9.5-5)式有

上式两边取Z变换,有

同理,对式(9.5-8)、式(9.5-9)分别进行Z变换,可得

若以上三式的Z变换结果的收敛域在Z平面的单位圆之内,只要将z=ejωT=ejΩ

代入Z域分析结果,就可分别得到输出功率密度谱和互功率密度谱。即有

或者

例9.5-1

已知一线性时不变离散系统的单位脉冲响应为:h(k)=akε(k),0<a<1。输入为平稳随机序列X(k),其自相关函数为Rxx(n)=N2δ(n)。试求系统输出的自相关函数Ryy(n),平均功率Sy

和自功率密度谱。

解由(9.5-5)式得

输出平均功率为

输