2021年新疆高考数学第三次诊断性试卷（文科）附答案解析

2021年新疆高考数学第三次诊断性试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知4=[x\y=yfx}9B—{y\y-sinx,x6R],则4nB=（）

A.[-1,1]B.[04]C.[0,+oo）D.[L+8）

2.复数'-在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

“户>1”日“俨+y>2020”

(y>2019'X[xy>2019的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.已知平面a,直线a.则在a内一定存在直线b,使a与/）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

5.对某校高中学生做专项调查，该校高一年级320人，高二年级280人，高三年级360人，若采用

比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，则从高二年级学生中抽取的人数为

()

A.35B.40C.25D.45

6.若对数式log（a_2）9=2,则a=（）

A.-1B.5C.v4D.-1或5

7.等差数列的前n项和为Sn,且56=39,a1=4,则公差d等于（）

A.1B.|C.3D.—2

8.已知函数f(x)=ax2+bcosx,g(x)=csinx,且abc+0,若/(2)+g(2)=3,/(-2)+g(-2)=

1.则f(2)=()

A.-1B.4C.3D.2

9.sinmcos：的值为()

A.iB.亚C.在D.V2

224

10.在正四棱柱480—4/16。]中，AB=1,异面直线与CG所成角为30。，则该正四棱柱外

接球的半径R=（）

A-TBTC-TD.手

11.已知点隼是双曲线马-5=:场吃净％愚黜唠和圆/优/=/导斛的一个交点，虑禹是双曲

“描一

线的两个焦点，Z巡蠲二监瑞玛，则双曲线的离心率为

A.曲门C.2

若称%+a；.+a”为几个正数，%,。…，品的“均倒数”，数列｛｝的各项均为正，但其前项

12.2ann

的“均倒数”为三;，则数列8"的通项公式为（）

A.2.H—1B.4九—3C.4九—1D.4n—5

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在△4BC中，AB=3,AC=4,。是BC的中点，则而•（四一前）=

14.已知平面区域0=•

不同的交点，直线曾与曲线线围成的平面区域为勰8,向区域0内随机投一点4点4落在区域豳

内的概率为裁解线，若叠鳏间［理二三口］|,则实数肱的取值范围是。

15.双曲线亡一生=1的一条准线与抛物线y2=2px（p>0）的准线重合，则口=____.

88

16.命题“比&R,x2=2/'的否定是,该命题的否定是命题（填“真”或"假”）.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，8（-花,0）、C（V5,0）.AB.AC边上的中线长CN与8M之和为9.

（1）设动点6为448。的重心，求证：|G8|+|GC|为定值，并求该动点G的轨迹方程;

（11）设。为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos/BPC的最小值.

18.为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂

家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20〜60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据

的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：

年龄[20,28)[28,36)[36,44)[44,52)[52,60)

接受的人数146152817

(1)求频率分布直方图第二组中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位被调查者年龄的中位

数g

(2)由以上统计数据填2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以m

岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

m岁以下m岁及m岁以上总计

接受

不接受

总计

Pg>k。)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

生

19.如图，在四棱柱ZBCD-AiBiGDi中，底面4BC0是等腰梯形，AB=2CD=2,/.DAB=60°,

M为AB的中点，C%_L平面4BCD,且CD1=8.

(I)求证：C1M〃平面44DD1；

(n)求平面G5M与平面&D1M所成角的正弦值；

(IH)若N为CG的中点，求直线D1M与平面&D1N所成角的正弦值.

a

20.设椭圆C：m+[=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&、尸2,点P在椭圆上且在x轴上方，|P0|=7,

\PF2\=5,COS4F1F2P=:

(1)求椭圆C的方程；

(2)抛物线D：y2=47nMm>0)过点p,连结PF2并延长与抛物线。交于点Q，M是抛物线。上一动点

(且M在P与Q之间运动)，求AMPQ面积的最大值.

21.已知函数/(x)=axlnx+bx(a*0)在(1,/(1))处的切线与x轴平行，

(1)试讨论/Q)在(0,+8)上的单调性；

(2)若存在a6(e,+8),对任意的久1/2e[|e,3e]都有|/(刈)-/(x2)|<(m+eln3)a+3e成立，求

实数小的取值范围.(e=2.71828...)

|,益=兽带—^―iS1

22.在直角坐标系中，参数方程为I”柄参数)的直线F，被以原点为极点，阳轴的正

朋=/

半轴为极轴，极坐标方程为孵=痴醉镇的曲线您1所截，求截得的弦长.

23.已知函数/(久)=|x—2可+|x|,aeR,

(1)若不等式/(%)>M对vx6R恒成立，求实数Q的取值范围.

(2)设实数?n为(1)中Q的最大值，若实数％,y,z满足4%+2y+z=2m,求(％+y)?+y2+z?的最

小值.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查正弦函数的值域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

解：4={x\x>0},B={y\-1<y<1},

：.AOB=[0,1].

故选：B.

2.答案：4

解析：试题分析：利用复数的除法法则，计算旦=嘤二展=坦，对应的点让“3在第一象限.

考点：复数的运算复数的几何意义

3.答案：A

解析：解：

则根据同向不等式的可加性，x+y>2020,

根据同向不等式的可乘性，xy>2019,

故前者能推出后者，

反之，不成立，比如x=0.1,y=30000,

x+y>2020,盯>2019,但推不出前者，

故前者是后者的充分不必要条件，

故选：A.

则根据同向不等式的可加性，x+y>2020,根据同向不等式的可乘性，xy>2019,故前者能推出

后者，反之不成立，得出结论.

本题考查四个条件的判断，考查不等式的性质，基础题.

4.答案：D

解析：解：当直线a与平面a相交时，

平面a内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故4错.

当直线a与平面a平行时，

平面a内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故8错.

当直线a在平面a内时，

平面a内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错.

不管直线a与平面a的位置关系相交、平行，还是在平面内，

都可以在平面a内找到一条直线与直线b垂直，

因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故。正确.

故选：D.

本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直

线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比

较可知：每种情况都有可能垂直.

本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间

想象能力和思维能力.

5.答案：A

解析：解：根据题意，得；

・•・从高二学生中应抽取的人数为280x：=35.

O

故选：A.

先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高二学生中应抽取的人是多少.

本题考查了比例分配的分层随机抽样方法的应用问题，是容易题目.

6.答案：B

解析：解：若log(a-2)9=2,贝！］(a-2)2=9,故a-2=±3,解得a=-l或5,

又因为a-2>0且a—241,故a=5.

故选：B.

利用对数式与指数式的互化，得到关于a的等式，求解即可.

本题考查了对数式与指数式的互化，易错点是忽略底数应该满足的条件，属于基础题.

7.答案：A

解析：解：由等差数列前n项和公式知，

S6=6al+xd=39,=4,

即15d=15,

解得，d=1,

故选：A.

由等差数列前n项和公式S6=6%+等xd=39,从而利用方程求得.

本题考查了等差数列的前n项和公式，同时考查了方程思想的应用.

8.答案：D

解析：解：；函数/(%)=ax2+bcosx,g(x)=csinx,

/(-x)=a(-x)2+bcos(—x')=f(x),g(-x)=csin(-x)=-csinx,

・•・/(*)是偶函数，g(x)是奇函数，

•••f(2)+g(2)=3,f(—2)+g(—2)=l,即f(2)-g(2)=l

•••2/(2)=4,

/(2)=2.

故选：D.

确定f(%)是偶函数，g(x)是奇函数，利用/(2)+g(2)=3,/X—2)+g(—2)=l,即可求出f(2).

本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，确定/'(久)是偶函数，g(x)是奇函数是关键.

9.答案:A

解析：解：sin^cos^=^sin(2x=^sin^=

故选：A.

利用二倍角公式可得sin;cos?=|sin(2x力=1sin^.

本题考查二倍角的正弦公式的应用，属于容易题.

10.答案：B

解析：解：正四棱柱4BCD—a/iCiA中，BBJ/CC1，

.•.乙IBBI是异面直线与CG所成的角，如图所示；

・•・Z.A1BB1=30°；

又AB=1,BB、=3

•••该正四棱柱外接球的半径为:

K---------2-------——2

故选:B.

根据题意得出乙41BB］是异面直线为B与CG所成的角，利用直角三角形的边角关系和长方体的对角

线，求出外接球的半径.

本题考查了异面直线所成的角和长方体外接球的半径计算问题，是基础题.

11.答案：A

解析:试题分析:・••双曲线方程为=2醐箱僦然触噂，

•••双曲线的焦点坐标为Fi(—c,0)、Fz(c,0),其中c=病育,

1,圆方程为/+y2=+接，即/+y2=c2

•••该半径等于C,且圆经过Fi和尸2.

•••点P是双曲线=野心颂愚加嚼与圆/+y2=a2+人2的交点,

1

•­•△P&F2中，\OP\=C=二|&61，可得4FJF2=90°,V乙PFzF]=2^PFrF2,S.APF2Fr+^PFrF2=

罢

90°,

•••NPF1F2=30。，且4「尸2尸1=60。，由此可得|Pa|=^c,\PF2\=C,

根据双曲线定义，可得2a=|PF/-|P&I=(5一De，

・••双曲线的离心率e=6杆故选A。

考点：本题主要考查双曲线的几何性质，圆的性质。

点评：中档题，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率，往往需要探究三角形的特征,

结合双曲线的定义，建立方程(组)加以解答。

12.答案:B

解析：解：数列｛〃｝的前几项的“均倒数”为三=三

4rlx4rlri

222

・•・%+g+…+Qn=2n—z^|JSn=2n—nSn_]=2(n—l)—(n—1)・•・an=Sn-Sn_t=

4n—3

而九=1时，an=Si=1

：・an=4n—3.

故选艮

根据均倒数的定义和数列{即}的各项均为正，但其前n项的“均倒数”为自，求得数列{an}的前n项

和，根据

%=£】_：=：＞2求得数列国工通项公式.

考查数列的应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，

属基础题.

13.答案：

解析：

本主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题.

由。为BC中的可知，AD=^(AB+AC),然后结合向量数量积的性质即可求解.

解：由。为BC中的可知，AD=^(AB+AC),

则4D.Q4B-AC)=；(AB+AC}•{AB-AC}=^{AB-AC)=j(9-16)=-f

故答案为-g.

14.答案：[0,1]

j：般之I®j]切.发

解析：试题分析：平面区域0q解感:,一4的面积为题，•:.哪蟀可工二可

I'll”的-司,一跳.

二.鼠板版-戛觎],当^时，结合图形可知直线斜率啾IT旗，当/小展一缕时

由岸=啥招数砌，尊=出一/可知令一交点为I―二-I，由定积分可知面积

K,乞瞰w-H-l.j

考点：数形结合法，定积分，几何概型概率等

点评：本题涉及到的知识点较多，题目有一定的难度，在求解过程中多次用到了数形结合法，这种

方法在求解函数题，几何题时应用广泛，需加以重视

15.答案：4

解析：解：根据题意，双曲线的标准方程为正-艺=1,

88

其中a=b=m=2VL则c=V8T8=4.

则其准线方程为％=±2,

即抛物线y2=2PMp>0)的准线为x=-p

若双曲线?一?=1的一条准线与抛物线y2=2px(p>0)的准线重合，

则有一々=_2,

解可得p=4；

故答案为：4.

根据题意，由双曲线的方程求出其准线方程，由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，结合题意有

一々=一2,解可得p的值，即可得答案.

本题考查双曲线、抛物线的几何性质以及标准方程，关键是求出双曲线的准线方程.

16.答案：VxeR,x2lx假

解析：解：根据题意，命题叼xeR,/=2/'是特称命题，

其否定为：VxeR,X2*2x,

当x=0时，x2=2x,则该命题的否定是假命题；

故答案为：：7xWR,x2*2x,假.

根据题意，由特称命题和全称命题的关系，可得该命题的否定，进而判断其真假可得答案.

本题考查命题真假的判断，涉及特称命题的否定，属于基础题.

17.答案：证明：(I)设48、4C的中点分别为M,N,如图所示，

则根据题意得：\GB\+|GC|=,T3

A

g(|BM|+|CN|)=gx9=6(定值/\

即动点G到两定点B,C的距离之和

为定值6,6>|BC|=2V5,

••.G点轨迹为以B,C为焦点的椭圆,

不妨设椭圆方程库+会l(a>

b>0),

则2a=6,2c=2的，即a=3,

c=V5.

Z?2=a2—c2=9—5=4,

••.G点的轨迹方程好+上1.

解：（II）由（I）知点P在椭圆上,如图,

由椭圆定义得|PB|+|PC|=6（定值），|BC|=2通,

由余弦定理得:

\PB\2+\PC\2-\BC\2

2PC=-不开西—

(\PB\+\PC\Y-2\PB\■\PC\-20

2\PB\■\PC\

_62-20-2|P8|.|PC|_16_l

-2\PB\\PC\-2\PB\\PC\*

当山B|•|PC|取得最大值时，COSNBPC最小,

根据基本不等式得：皿8|,附|式笑吧=合3,

•••\PB\■\PC\<9,

|PB|“PC|的最大值为9,

cos/BPC的最小值为：1=1=—

解析：（I）设48、AC的中点分别为M,N,动点G到两定点B,C的距离之和为定值6,6>\BC\=24,

从而G点轨迹为以B,C为焦点的椭圆，由此能求出G点的轨迹方程.

（II）由点P在椭圆上，由椭圆定义得|PB|+|PC|=6（定值），|BC|=2遮，由余弦定理得COS4BPC=

・收武制*'=a湍m-1.当|PB|•|PC|取得最大值时，COSNBPC最小，由此能求出cos/BPC的最

小值.

本题考查点的轨迹方程的求法，考查角的余弦值的最小值的求法，考查椭圆、余弦定理等基础知识，

考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

18.答案：解：（1）由（0.0250*3+刀+0.0375）*8=1,

解得x=0.0125.

由前三个矩形的面积和为（0.0250+0.0125+0.0250）x8=0.5,

所以100位被调查者年龄的中位数为m=44；

（2）由题可得2x2联表如下:

m岁以下m岁及m岁以上总计

接受354580

不接受15520

总计5050100

计算依=*£勰翳y=625>3.841.

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的

接受程度有差异.

解析：（1）由频率和为1列方程求出光的值，利用中位数对应的频率值为0.5求出m的值;

（2）由题意填写联表，计算K2,对照附表得出结论.

本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

19.答案：证明：（I）连接2%,•••48CD—4B1C也为四棱柱,

•••CD-C^

又M为4B的中点，=1

CD//AM,CD=AM，：.AM-C^D^

AMQDi为平行四边形，4D//MG，

又MGC平面4遇。。1，mu平面4遇0。1，

〃平面

解：（口）作CP1AB于P,以C为原点，CD为x轴，CP为y轴,

CD1为z轴建立空间坐标系,

则G(-I,o,佝，D1，(0,0,73)，MM，0),

41d遍),

西=(1,0,0)，陌7=(评，-①

罚=转，。),

设平面GDiM的法向量记=(xlfylfz1)f

(n-C1D1=Xi=0

则―TTM1,V3仄，取y=2,得元=(0,2,1).

-D1M--%!+—yx-73zi-0

设平面&D1M的法向量记=(%,y,z),

m-^X=|x+yy=0

取％=V3，得沆=(V3,—1,0)，

m-DTM=g%+/y-8z=0

设平面GQM与平面4D1M所成角为。，

则c°s"繇=焉=看

sin。=，l-cos2”=平

.•・平面GDiM与平面4D1M所成角的正弦值为第.

(HI)•••N为CQ的中点，.•.N(-，0,多,

员花=(|,今一百)，瓦否=或今0)，ojv=(-1,o,-^),

设平面4D1N的法向量万=(a,b,c),

p-DXA[=|a+yd=0

则取Q=x/3,得力=(V3,—1,—1),

p-DtN=-1a-yc=0

设直线DiM与平面4DiN所成角为8,

|瓦而|_

则sin。=W_x/15

\D^M\-\p\—V4-V5-10

直线D】M与平面&DiN所成角的正弦值为萼

解析：(I)连接45,易证AMQDi为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得QM〃平面

4遇。。1；

(H)作CP1AB于P,以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，为z轴建立空间坐标系，利用向量法能

求出平面GQM与平面42M所成角的正弦值.

(m)求出名而=C-旧)和平面&D1N的法向量，利用向量法能求出直线。1M与平面为D1N所成

角的正弦值.

本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同

时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.

20.答案：解：(l)2a=|PFX|+|PF2I=7+5=12,a=6,

如图，过P点作PN_Lx轴，交》轴与点N,

1

•・•COSNFIF2P=\PF2\=5,

|OFi|=1,\PN\=V25-1=2伤，

•••\PFr\=7,\FTN\=>/49-24=5,

2c=IF/2I=1+5=6,c=3,

62=a2—c2=36—9=27,

二椭圆C的方程是三+”=1.

3627

(2)由(1)知，点P的坐标为(2,2遍)，

,•,抛物线。：y2=4mx(m>0)过点P,

・•・24=16m,解得m=3,.,•抛物线D：y2=12x.

・・・P(2,2伤)，尸2(3,0),

・••直线PF2的方程为：£=音，即y=—2遥乂+6n，

联立=丫％消去y,并整理，得2/_i3x+18=0,

[y=-2V6%+6V6

解得x=2,或x=\,

P(2,2V6).<?(；,-3V6),\PQ\=1(2--y+(2V6+3V6)2=--

N'24

设M(%,V12x),(%>0),

・・・M在P与Q之间运动，・•・0W%V0<yjx<—,

，2

则M到直线y=-2V6x+6前的距离d=12M96例

=?|2尤+夜女-6|

=g|2(女+当2—?，

・•・当依=0时，4公=净2-4)2_?=竿，

MPQ面积的最大值S=3xgx蜉=竽.

解析：(l)2a=||PF/+|PF2|=7+5=12,a=6,由COSN&F2P=『仍握|=5,得2c=因尸2|=

1+5=6,c=3,由此能求出椭圆C的方程.

(2)由(1)知，点P的坐标为(2,2遍)，抛物线。：V=4mx(m>0)过点P,故抛物线0：y2="乂由

y2-dQY

y―r万，后，得2M-13x+

{y--2V6x+6V6

18=0,解得P(2,2遍)，QG，-3灰)，先求出|PQ|,再求出“到直线y=-2乃x+6V^的最大距离，

由此能求出△MPQ面积的最大值.

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,解题时要认真审题，仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.本

题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注意运算.

21.答案：解：(1)•・•/'(%)=a。％+a+b,

・•・/'(l)=a+b=0,故/?=-a,

•••fM=ctxlnx—ax,且/'(%)=alnx9

当a>0时，x6(0,1)时，//(x)<0,%W(l,+8)时，f(x)>0,

・・・/(%)在(0,1)递减，在(L+8)递增；

aVO时,%6(0,1)时，/'(%)>0,%<(l,+8)时,f(x)<0,

・・・/(%)在(0,1)递增，在(L+8)递减；

(2),・•ae®+8),

・・・/(%)在(0,1)递减，在(1,+8)递增，

又/([e)=|ae/n1<0,/(l)=—a,/(3e)=3aeln3