2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷1

2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷1

一.选择题（共10小题）

1.（2015秋•来宾期中）下列函数中属于二次函数的是（）

A.y=x(x+l)B.7y=l

C.y=2?-2(Al)D-y=d3x2+1

2.（2020•红花岗区一模）如图，一次函数与二次函数交于A（-1,1）

和8（2,4）两点，则当时x的取值范围是（）

C.-l<x<2D.x<-1或x>2

3.（2020秋•乳山市期末）二次函数y=（x-1）2-3的顶点坐标是（）

A.（1,-3）B.（-1,-3）C.（1,3）D.（-1,3）

4.（2019•红花岗区校级一模）已知?=£=旦=2，则a-3c+2e=（）

bdf22b-6d+4f

A.AB.Ac.AD.工

2345

5.（2018秋•新吴区期末）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅

设计图的比例尺是（）

A.200：1B.2000：1C.1：2000D.1：200

6.（2012•通辽）美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一

种美感.已知某女士身高160cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到好的效

果，她应穿的高跟鞋的高度约为（）

A.6cmB.10cmC.4cmD.Scm

7.（2020•博兴县一模）如图，XABC中，COJ_A8,BELAC,至=2,则sin4的值为（）

BC5

DR

A.2B.返1C.叵D.2

5525

8.若0°<ZA<45°,那么siM-cosA的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

9.（2018秋•宝丰县期末）如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到

的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（）

③从上面看

几何体①从正面看②□从左面看

图1图2

A.①②B.①③C.②③D.③

10.（2014•抚顺）如图放置的几何体的左视图是（）

二.填空题（共5小题）

11.（2020•凉山州一模）若丫=（济+，"）/'2-2,"-1-x+3是关于x的二次函数，则机=.

12.（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y=a/+bx+c（a#0）的图象时，列出

了如下表格:

X・・・1234・・・

・・・…

y=0-103

a^+bx+c

那么该二次函数在x=0时，y=.

13.（2020秋•济阳区期末）已知曳则且0=

345a

14.（2020•太和县模拟）在△ABC中，ZC=90°,sinA=2,8C=4,则A8值是.

5

15.如图，是一个四棱锥及它的三视图，其中，图是它的主视图，图是它的左视

图，图____是它的俯视图.

三.解答题（共10小题）

16.（2015•夏津县校级自主招生）已知函数旷=（m2-tn）/+（m-1）x+m+\.

（1）若这个函数是一次函数，求，〃的值；

（2）若这个函数是二次函数，则机的值应怎样？

17.（2020秋•浦北县期中）已知二次函数y=-7+4x.

（1）写出二次函数y=-，+4x图象的对称轴；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）;

（3）根据图象，写出当y<0时，x的取值范围.

18.（2020秋•茶陵县期末）已知：二次函数为-x+,77,

（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；

（2）机为何值时，顶点在x轴上方；

（3）若抛物线与y轴交于A,过A作AB〃x轴交抛物线于另一点B,当S“OB=4时，

求此二次函数的解析式.

19.（2013秋•红安县期末）己知：上工三（x、y、z均不为零），求左电-的值.

6433y-2z

20.如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA=50，〃，CB=60m,/ACB=145°,用1

厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形.量出A8的长（精确到1毫

米），再换算出A、8间的实际距离.

AB

C

21.（2013•莆田）定义：如图1,点C在线段A8上，若满足AC2=BC・A8,则称点C为线

段A8的黄金分割点.

如图2,△ABC中，AB=AC=2,N4=36°,8。平分N4BC交AC于点。.

（1）求证：点。是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段4）的长.

22.（2020秋•桂林期末）如图，在RtzXABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,求sinA・cosA

的值.

23.（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6,y）,

且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是名，求角a的正弦值.

3

24.（2020春•楚雄州期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面

看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请

在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状

25.（2021•淮南模拟）如图是一个几何体的三视图.

（1）写出这个几何体的名称;

（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积.

2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷1

参考答案与试题解析

选择题(共10小题)

1.(2015秋•来宾期中)下列函数中属于二次函数的是()

A.y=x(x+1)B.j?y=l

C.y=2?-2(?+l)D.y=73x2+1

【考点】二次函数的定义.

【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答.

【解答】解：A、y=x1+x,是二次函数；

B、y=—,不是二次函数；

-2

x

C、y=-2,不是二次函数；

。、不是整式，不是二次函数；

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的定义.

2.(2020•红花岗区一模)如图，一次函数)1=区+》与二次函数交于A(-1,1)

和8(2,4)两点，则当)口＜”时x的取值范围是()

C.-1<x<2D.x<-1或x>2

【考点】一次函数的图象；二次函数的图象.

【专题】几何直观；模型思想.

【分析】解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置,

时，力的图象在”的下面，再判断自变量的取值范围.

【解答】解：•••一次函数力=自+8与二次函数”=加交于A(-1,1)和8(2,4)两

点，

从图象上看出,

当x>2时，yi的图象在”的图象的下方，即

当xv-1时，），i的图象在”的图象的下方，即yi<”.

...当-1或x>2时，y\<y2.

故选：D.

【点评】本题考查了利用图象求解的能力.

3.（2020秋•乳山市期末）二次函数丫=（x-1）2-3的顶点坐标是（）

A.（1,-3）B.（-1,-3）C.（1,3）D.（-1,3）

【考点】二次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质.

【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出

答案.

【解答】解：二次函数丫=（X-1）2-3的顶点坐标是（I,-3）,

故选：A.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y

—a（x-〃）2+Z中，顶点坐标为（力，k）,对称轴为*=九

4.（2019•红花岗区校级一模）已知旦=£=旦=工，则a-3c+2e=（）

bdf22b-6d+4f

A.AB.Ac.AD.A

2345

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】根据已知包=£=旦=工，得b=2a,d=2c,f=2e,将其代入即可求得结果.

bdf2

【解答】解：•..且=£=旦=工，

bdf2

・♦b==2a,dz=2c,/=2e,

把匕=2a,d=2c,/=2e代入a-3c+2e=a-3c+2e=a-3c+2e=工，

2b~6d+4f4a-12c+8e4（a~3c+2e）4

故选：C.

【点评】考查了用一个字母代替另一个字母的能力以及数学上的一个重要思想“整体思

想”.

5.（2018秋•新吴区期末）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅

设计图的比例尺是（）

A.200：1B.2000：1C.I：2000D.1：200

【考点】比例线段.

【专题】三角形.

【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=臭"驳■”即可求得这幅设计图

实际距黑

的比例尺.

【解答】解：因为2毫米=0.2厘米，

则40厘米:0.2厘米=200：1；

所以这幅设计图的比例尺为200：1；

故选：A.

【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算.

6.（2012•通辽）美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一

种美感.已知某女士身高160”?,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到好的效

果，她应穿的高跟鞋的高度约为（）

A.60nB.10anC.4cmD.icm

【考点】黄金分割.

【专题】计算题.

【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解.

【解答】解：根据已知条件得下半身长是160X0.6=96。”，

设需要穿的高跟鞋是“粗，则根据黄金分割的定义得：空匕=0.618,

160+y

解得：y^Scm.

故选：D.

【点评】本题主要考查了黄金分割的应用.关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难

度适中.

7.（2020•博兴县一模）如图，△ABC中，CDLAB,BE1AC,则sinA的值为（）

BC5

DR

A.2B.叵C.叵D.2

5525

【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【专题】计算题；几何直观.

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解.

【解答】解：：C£）J_A8,8E_LAC则易证△4BEs/\AC£>,

.AD=AC

,•而AB，

XVZA=ZA,

/.△AED^AABC,

.AD_DE_2

••,一■■■，f

ACBC5

设AQ=2a,则AC=5a,

根据勾股定理得到CD=421a,

因而sinA=2l=丫■红.

AC5

故选：B.

【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到

△AED^AABC是解决本题的关键.

8.若0°<ZA<45°,那么sin/1-cosA的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【考点】锐角三角函数的增减性.

【分析】cosA=sin（90°-A）,再根据余弦函数随角增大而减小进行分析.

【解答】解：：cosA=sin（90°-A）,余弦函数随角增大而减小，

.♦.当0°<ZA<45°时，sinA<cosA,即sinA-cosA<0.

故选：B.

【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.

9.（2018秋•宝丰县期末）如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到

的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（)

/?

□口

几何体①从正面看②从左面看③从上面看

图1图2

A.①②B.①③C.②③D.③

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】空间观念.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【解答】解：从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；

从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；

从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确.

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表

现在三视图中.

10.（2014•抚顺）如图放置的几何体的左视图是（）

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】常规题型.

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示.

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看

不到的线用虚线表示.

二.填空题（共5小题）

11.（2020•凉山州一模）若y=（川+“）1-x+3是关于x的二次函数，则m=3.

【考点】二次函数的定义.

【专题】常规题型.

【分析】根据二次函数的定义求解即可.

【解答】解：由题意，得

m2-2m-1=2,且n^+m^O,

解得m—3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不

等于零.

12.（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y=4+6x+c（a#0）的图象时，列出

了如下表格：

X.・・1234・・・

・・・…

y=0-103

aj^+hx+c

那么该二次函数在x=0时，v=3.

【考点】二次函数的图象.

【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利

用抛物线的对称性找到当x=0时，），的值即可.

【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,

，对称轴为x=2,

/.当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，

,当x=4时，y=3,

.,.当x=0时，y=3.

故答案是：3.

【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此

题的关键.

13.（2020秋•济阳区期末）已知曳则也=3.

345a

【考点】比例的性质.

【分析】设旦&J=A,得出a=3Z,b=4k,c=5k,再代入要求的式子进行计算即可.

345

【解答】解：设曳&

345

则a=3k,b=4k,c=5k,

b+c=4k+5k=3

a3k

故答案为：3.

【点评】此题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质，设出相应的未知数是本题

的关键.

14.（2020•太和县模拟）在△A8C中，/C=90°,sinA=Z,8c=4,则A3值是10.

5

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】函数思想.

【分析】根据正弦函数的定义得出siM=弛，即2=二，即可得出AB的值.

AB5AB

【解答】解：••《函=屁，即2=_£,

AB5AB

."8=10,

故答案为：10.

【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键.

15.如图，是一个四棱锥及它的三视图，其中，图是它的主视图，图）是它的左

冈

B

【考点】简单几何体的三视图.

【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫

做俯视图，根据三视图的概念判断即可.

【解答】解：从上面看四棱锥是一长方形加两条对角线，那么B是俯视图；由俯视图易

得从正面看四棱锥是一个底边较大的三角形，故选C；从左面看四棱锥是一个底边较小

的三角形，故选4.

【点评】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形;

注意所有看到的棱与顶点在三视图中都得表现出来.

三.解答题（共10小题）

16.（2015•夏津县校级自主招生）已知函数），=（m2-/M）/+（/«-1）x+m+\.

（1）若这个函数是一次函数，求，〃的值；

（2）若这个函数是二次函数，则，〃的值应怎样？

【考点】一次函数的定义；二次函数的定义.

【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解.

【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：m1-m=0

解得m=0或m=\

又,：m-1W0即

，当，〃=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，得：nr-

解得见#0,机2Kl

，当，小#0,机2#1时，这个函数是二次函数.

【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义.

17.（2020秋•浦北县期中）已知二次函数y=-/+4x.

（1）写出二次函数y=-，+4x图象的对称轴；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；

（3）根据图象，写出当y<0时，x的取值范围.

【考点】二次函数的图象；二次函数的性质.

【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；

（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可.

(3)根据图象从而得出y<0时，x的取值范围.

【解答】解：(1)y~~x^+4x—~(x-2)~+4,

对称轴是过点(2,4)且平行于y轴的直线x=2；

(2)列表得:

X•••-1012345・・・

y・・・-503430-5・・・

当yVO时，x的取值范围是或x>4.

【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代

数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y<0时，x的取值.

18.(2020秋•茶陵县期末)已知：二次函数为y=/-x+，〃，

(1)写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标：

(2)m为何值时，顶点在x轴上方；

(3)若抛物线与y轴交于4,过A作AB〃x轴交抛物线于另一点8,当SMOB=4时，

求此二次函数的解析式.

【考点】二次函数的性质.

【分析】(1)根据抛物线的开口方向与a有关，利用对称轴与顶点坐标公式列式计算即

可得解；

(2)根据顶点在x轴上方，顶点纵坐标大于0列出不等式求解即可；

(3)先求出点A的坐标，再根据抛物线的对称求出A8=l,然后根据三角形的面积公式

列式计算即可得解.

【解答】解：⑴Va=l>0,

.•.抛物线开口方向向上；

对称轴为直线X=-▲_=上；

2X12

_4m-l

4X14

顶点坐标为（工，组匚L）；

24

（2）顶点在x轴上方时，包二L>0,

4

解得^>1；

4

（3）令元=0,贝！］>=〃?，

所以，点A（0,团），

・・・A3〃x轴，

...点A、B关于对称轴直线》=工对称，

2

：.AB=Xx2=\,

2

**•SA4<JB=—kw|X1=4,

2

解得m=±8,

所以，二次函数解析式为y=7-x+8或y=/-x-8.

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴、顶点

坐标公式，以及二次函数的对称性.

19.（2013秋•红安县期末）已知：工工三G、y、z均不为零），求左电-的值.

6433y-2z

【考点】比例的性质.

【分析】先设三"W0）,然后用人表示x、y、z；最后将X、>、z代入左迎-

6433y-2z

消去匕从而求解.

【解答】解：设三则x=6Z,y—4k,z=3k

643

•x+3y=6k+3X4k=18k3

**3y-2z3X4k-2X3k年'

【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单.

20.如图，4、B两地隔着湖水，从C地测得CA=50w,CB=60m,N4CB=145°,用1

厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形.量出A8的长（精确到1毫

米），再换算出A、B间的实际距离.

AB

【考点】比例线段.

【专题】计算题.

【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把C4=50m,CB=60m,转化为C4=

5cm,CB=6cm,结合题意画图，再测量A8的长，最后换算出4、B间的实际距离.

【解答】解：如图，测得48长约10.5cm,换算成实际距离约为10.5X1000=10500c,w=

105/M.

即A、8间的实际距离是105m.

【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度.

21.（2013•莆田）定义：如图1,点C在线段48上，若满足AC2=8UA8,则称点C为线

段A8的黄金分割点.

如图2,△ABC中，AB=AC=2,N4=36°,8。平分乙48c交AC于点D.

（1）求证：点。是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段A。的长.

【考点】黄金分割.

［分析］（1）判断根据对应边成比例可得出答案,

（2）根据黄金比值即可求出AO的长度.

【解答】解：⑴VZA=36°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=12°,

・・・3。平分NA8C,

：.ZCBD=ZABD=36°,ZBDC=72°,

：.AD=BD,BC=BD,

：.XXBCsMBDC,

・BD一CD日11AD—CD

ABBCACAD

：.AD1=AC'CD.

.♦.点Q是线段AC的黄金分割点.

（2）I•点。是线段AC的黄金分割点，

：.AD=^~^AC,

2

'：AC=2,

：.AD=\J5-1.

【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定

义，注意掌握黄金比值.

22.（2020秋•桂林期末）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,求siM・cos4

的值.

【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想.

【分析】根据勾股定理求出8C,再根据锐角三角函数求出sinA、cosA,计算得出答案.

【解答】解：在Rtz^ABC中，/C=90°,AC=3,AB-5,

由勾股定理得，8c=加2-AC2=五2-32=4,

所以sinA=-^.=A,cosA=-^-=—,

AB5AB5

所以sinA,cosA=Ax

4525

答：sinA・cosA的值为」2.

25

【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正

确解答的关键.

23.（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6,y）,

且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是匹，求角a的正弦值.

3

【考点】同角三角函数的关系.

【专题】计算题.

【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的

纵坐标；

再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值.

【解答】解：作尸轴于C.

Vtana=A,OC=6

3

：.PC=S.

则OP=IQ.

贝！］sina=A

【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念.

24.（2020春•楚雄州期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面

看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请

图.

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】投影与视图；应用意识.

【分析】根据主视图，左视图的定义画出图形即可.

【解答】解：主视图，左视图如图所示：

【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常

考题型.

25.（2021•淮南模拟）如图是一个几何体的三视图.

（1）写出这个几何体的名称；

（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积.

【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体.

【专题】几何图形.

【分析】根据三视图得到几何体为圆锥，圆锥的母线长为6,圆锥底面圆的半径为2,然

后计算侧面积和底面积的和即可.

【解答】解：（1）由三视图得几何体为圆锥，

（2）圆锥的表面积=71・22+2・2上6・2=16a

2

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.

考点卡片

1.一次函数的定义

（1）一次函数的定义：

一般地，形如>=依+〃（Jtwo,k、b是常数）的函数，叫做一次函数.

（2）注意：

①又一次函数的定义可知：函数为一次函数=其解析式为丫=履+匕（kWO,k、〃是常数）的

形式.

②一次函数解析式的结构特征：ZW0；自变量的次数为1；常数项6可以为任意实数.

③一般情况下自变量的取值范围是任意实数.

④若k=0,贝ijy=/;"为常数），此时它不是一次函数.

2.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-A,0）或（1,k+h）作直线y="+〃.

k

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所

选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行

的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如y

=6分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线）=日+6,可以看做由直线>=近平移四个单位而

得到.

当力>0时，向上平移；6<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

3.二次函数的定义

（1）二次函数的定义：一般地，形如yuo?+bx+c（4、氏C是常数，4#0）的函数，叫做

二次函数.其中X、y是变量，。、6、C是常量，。是二次项系数，6是一次项系数，C是常

数项.>=a^+bx+c（a、b、c是常数，a¥0）也叫做二次函数的一般形式.

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将

其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

(2)二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实

际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.

4.二次函数的图象

(1)二次函数y=o?(a#0)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶

点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用

平滑的曲线连接起来.画抛物线＞=/(aWO)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描

点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数(。#0)的图象

二次函数y=/+法+c(aWO)的图象看作由二次函数＞=小的图象向右或向左平移|上|个

2a

单位，再向上或向下平移性型个单位得到的.

4a

5.二次函数的性质

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二次函数y=/+bx+c(a#0)的顶点坐标是(-旦，延工)，对称轴直线x=-互，

2a4a2a

二次函数juaf+hx+c(oWO)的图象具有如下性质：

①当。＞0时，抛物线(”/0)的开口向上，xV-a时，y随x的增大而减小；

2a

2

x＞-2时，y随X的增大而增大；x=-应时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当“＜0时，抛物线y=a?+bx+c(a#0)的开口向下，》＜一旦时，)，Hx的增大而增大;

2a

2

X＞-旦时，y随X的增大而减小；x=-且时，y取得最大值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线丫=/+法+。QW0)的图象可由抛物线y=o?的图象向右或向左平移|一巴|个单

2a

位，再向上或向下平移I坐上I个单位得到的.

4a

6.几何体的表面积

(1)几何体的表面积=侧面积+底面积(上、下底的面积和)

（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式

①圆柱体表面积：2nR2+2nR/7（R为圆柱体上下底圆半径，/?为圆柱体高）

②圆锥体表面积：irJ+mr（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，〃为圆锥侧面展

开图中扇形的圆心角）

③长方体表面积：2（ab+ah+bh）（。为长方体的长，b为长方体的宽，/?为长方体的高）

④正方体表面积：6/Q为正方体棱长）

7.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+/=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式a2+/J=c2的变形有：a=yjc2_^2,6=477^1及c=r万二

（4）由于a2+b2=J>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

8.比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，

中间的两项叫做比例的内项.

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积.若包=£,则ad=6c.

bd

②合比性质.若且=£,则三也=£也.

bdbd

③分比性质.若且=£,则3二巨=£二四.

bdbd

④合分比性质.若曳=£,则空灯=£旭.

bda-bc-d

⑤等比性质.若且=£=•••=旦（S+4+…+〃W0）,则史忆+----也=R.

bdnb+d+.......+nn

9.比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段

的比相等，如ab=cd（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比

与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与

所选取的单位无关系.

10.黄金分割

(1)黄金分割的定义：A0,8

如图所示，把线段A3分成两条线段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和8c的比例中

项(即ABAC=ACBC\叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.

其中AC=粕-1A840.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.

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(2)黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值.

黄金三角