2021年新高考数学模拟试卷35

2021年新高考数学模拟试卷(35)

选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.(5分)己知集合4=(x\y=lg(x+2)},B={y\y=Vx124-1},则AG(CRB)=()

A.0B.[1,+8)C.(-2,1]D.(-2,1)

z-i

2.(5分)已知i是虚数单位，复数z满足二元=1一t,则5=()

A.l+5zB.-1-5/C.1-5iD.-l+5z

3.(5分)某车间生产A,B,C三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k：3,为检验产

品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的

产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为()

A.12B.24C.36D.60

53

4.(5分)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为二和二，两个零件是否

64

加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()

1151

A•—B.-C.—D.一

23126

TT

t—->->\a—bI

5.(5分)已知向量a=(m,2),b=(2,-2),且a_Lb,则t『t等于()

a(a+b)

11

A.-4B.-C.0D.1

22

6.(5分)已知。=32,b=log?遮,c=log3V2,则mb,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

7.(5分)函数/(x)=/+加的图象只可能是()

xy

8.(5分)已知双曲线"一言=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为Q,&,过F2且斜

24TTT

率为彳的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)-F1A=0,则此双曲线的

标准方程可能为()

A.x2-^=lB.--^=1

1234

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

169916

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=/E(X)、D(X)分别为随机变

量X均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.D(X)=；

10.(5分)下列选项中说法正确的是()

A.若非零向量；，1满足。％X),则2与W的夹角为锐角

B.若命题存在使得亚一配+1V0,则「p：对任意x€R,都有j-x+1

>0

C.已知y=/(x)是R上的可导函数，则”/(出)=0”是“xo是函数y=f(x)的极

值点”的必要不充分条件

D.在△ABC中，“若si">sin8,则A>B”的逆否命题是真命题

11.(5分)在正三棱锥A-BC。中，侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱A8,CD

的中点，则下列命题正确的是()

3

A.Eb与AD所成角的正切值为二

2

2

B.所与所成角的正切值为§

7A/2

C.AB与面4CQ所成角的余弦值为一7

12

7

D.A8与面AC。所成角的余弦值为二

9

7T

12.(5分)将函数f(x)=sin2r的图象向右平移1个单位后得到函数g(x)的图象，则函

数g(x)具有性质()

A.在（0,今上单调递增，为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线乂=-岑对称

C.在（-相，分上单调递增，为奇函数

D.周期为m图象关于点（苧，0）对称

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知函数次-bx图象上一点（2,.八2））处的切线方程为y--3x+2ln2+2,

贝（Ja+b=.

14.（5分）设x>-l,则当、=》+占取最小值时，x的值为.

15.（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，斜率为1的直线/与C的交点为A,B,与

x轴的交点为P,若筋=3而，则|A/q+|B/q=,|AB|=.

16.（5分）在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2y[3,BA=BC=V3,ZABC=WQ，若与

底面ABC所成的角为60°,则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）在△ABC中，A、B、C的对边分别是〃、b、c,且4、B、C成等差数列.△

ABC的面积为彳.

2

（1）求：“c的值；

（2）若6=百，求：a,c的值.

18.（12分）已知公差不为零的等差数列｛斯｝的前〃项和为％,若$5=30,且可，④，«4

成等比数列.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）若bn=.-I）'+1）,求数列仍"｝的前"项和丁心

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面南£>_L底面ABC。，△P4O是等边三角形，

底面4BCD为直角梯形，其中8C〃AZ）,ABLAD,AB=BC=E为CO中点.

（1）求证：平面以8J_平面力。；

（2）求二面角P-AE-B的余弦值.

x2jy/2

20.(12分)已知椭圆C：—+y=1(a>1)的离心率是三.

(I)求椭圆C的方程;

(II)已知Q,&分别是椭圆C的左、右焦点，过&作斜率为％的直线/，交椭圆C于

A,8两点，直线QA,Q8分别交)，轴于不同的两点M,N.如果NMQN为锐角，求上

的取值范围.

21.(12分)已知函数/Xx)=p望X_1+以

(1)判断f(x)极值点的个数；

(2)若x>0时，/>/(%)恒成立，求实数”的取值范围

22.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测

试，根据测试成绩评定“合格”"不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”

记5分，“不合格”记。分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直

方图如图：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,[80,

80)100]

频数6a24b

(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；

(2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取

1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80

分的概率；

(3)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行

座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为3，求S的数学期望E鳍).

2021年新高考数学模拟试卷(35)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

I.(5分)已知集合力=(x\y=lg[x+2)},B={y\y=Vxz+1),则AA(CRB)=()

A.0B.[1,+8)C.(-2,1]D.(-2,1)

【解答】解：集合A={x|y=/g(x+2)}=(-2,+8),B={y\y^\}=[\,+°°),

CRB=(-°°,1);

则AC(CRB)=(-2,1),

故选：D.

2.(5分)已知i是虚数单位，复数z满足f-=1一i,则斤=()

3+2i

A.l+5zB.-I-5JC.1-5iD.-1+5/

z-t

【解答】解：因为一-=1-i,所以z・i=(l-i*3+2i)=5-i,所以z=—1-5i,z-1+

5i,

故选：D.

3.(5分)某车间生产4,B,C三种不同型号的产品，产量之比分别为5：&：3,为检验产

品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的

产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为()

A.12B.24C.36D.60

【解答】解：由题意可得二=丁工，求得％=2.

1205+/C+3

则C种型号的产品抽取的件数为120X引为=36,

故选：C.

53

4.(5分)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为二和二，两个零件是否

64

加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()

1151

A.-B.-C.—D.一

23126

【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，

所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品.

53531

・”=黑一》+(1—涓=1，

故选：B.

TT

TTTT\a—bI

5.(5分)已知向量Q=(m,2),6=(2,-2),且a_Lb,则_t等于()

Q(Q+b)

11

A.-4B.-C.0D.1

22

【解答】解：向量Q=(m,2),b=(2,—2),旦Q1b,

所以=2m-4=0,

解得加=2；

所以Q=(2,2),

所以0-h)2=a2-2a'b+於=8-0+8=16,

所以而-b\=4,

所以Q・(Q+6)=a2+a-6=8+0=8,

所以山

41

-

a(a+b)82

故选：B.

6.(5分)已知〃=32,b=log2yc=log3y/2,则4,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【解答】解：•.•32>3°=1,­<log2yj3<log22=1,log3V2<log3y/3=

故选：A.

7.(5分)函数/(x)=x?+e园的图象只可能是()

c.D.

【解答】解：因为对于任意的x€R,f(K)=/+别>0恒成立，所以排除A,B,

由于/'(())=。2+33=1,则排除。，

故选：C.

%2y2

8.(5分)已知双曲线=一片二l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，&,过&且斜

a2b2

24TTT

率为亍的直线与双曲线在第一象限的交点为4,若(尸2尸1+尸24>招4=0,则此双曲线的

标准方程可能为()

y2x2y2

A.X2-f5=lB.---=1

1234

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

169916

【解答】解：若(F；%+点)・点=0,即为若(F>i+点)・(一产；"+点)=0,

可得242=点『，即有|4&1=旧2尸11=2。，

由双曲线的定义可得|AFi|=2a+2c,

在等腰三角形AQ&中，tan/A&Q=一竿，

八一74c2+4c2-(2a+2c)2

COSZAF2FI=-25=-----声五-----，

化为3c=5m

nn3.4

即a=5c,b=5c,

可得a：b=3：4,a1：Z?2=9：16.

故选：D.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=/,E(X)、D(X)分别为随机变

量X均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.O(X)=；

【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中p(x=0)=号，

2

:.P(X=l)

172

E(X)=0x^+1x@=w，

2912922

D(X)=(0—3)~x3+(1—可)〜xw=g,

在A中，P(X=l)=E(X),故A正确；

在8中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x^+2=4,故3正确；

在C中，。(3X+2)=9D(X)=9X3=2,故C错误；

在。中，O(X)=*故。错误.

故选：AB.

10.(5分)下列选项中说法正确的是()

A.若非零向量；，力满足三工R),则之与6的夹角为锐角

B.若命题〉存在x()6R,使得就-Xo+lVO,则「P：对任意xCR,都有j-x+i

>0

C.已知y=/(x)是R上的可导函数，则'了，(xo)=0”是“冲是函数y=/(x)的极

值点”的必要不充分条件

D.在△ABC中，“若siivl>sinB,则A>B”的逆否命题是真命题

【解答】解：对于4a,7同向时，之与力的夹角为0,不是锐角，故不正确；

对于8,根据命题的否定可知"：对任意xeR,都有/-x+i》o,可知不正确；

对于C,已知y=f(x)是R上的可导函数，则“/(冲)=0"函数不一定有极值，”出

是函数y=/(x)的极值点”必要不充分条件，正确；

对于£),,.,sinA>sin8.由正弦定理可得a>b,由于大边对大角，...A>B即原命题正确，

逆否命题是真命题，故正确，

故选：CD.

II.(5分)在正三棱锥4-BC。中，侧棱长为3,底面边长为2,E,尸分别为棱4B,CD

的中点，则下列命题正确的是()

3

A.E尸与AD所成角的正切值为5

B.£尸与A。所成角的正切值为!

7V2

C.AB与面ACD所成角的余弦值为二77

12

7

D.A8与面AC。所成角的余弦值为二

9

【解答】解：取8。中点M,BC中点N,连结EM,FM,AN,DN,

:在正三棱锥A-8CQ中，侧棱长为3,底面边长为2,E,尸分别为棱A8,CQ的中点,

：.ANLBC,DNLBC,又ANCDN=N,：.BCmADN,

平面ADN,：.ADLBC,

1

EM//AD,KEM=^AD=EF//BC,EF=^BC=1,

EMIMF,EF与AD所成角为NFEM,

；.EF与A。所成角的正切值为tanNFEM=^=/=,,故A错误，B正确;

2

连结8F,AF,则AF_LC£>,BF_LCD,^AF（^BF=F,CD_L平面ABF,

过点8作2P_LAF,交AF于尸，则2P_LCZ）,

'：CDQAF=F,：.BPL^^ACD,

：.NBAF是AB与面ACD所成角，

；A3=3,AF=V9^1=2V2,BF=V4^1=V3,

222

..n,„AB+AF-BF9+8-37V2

..C°S/BAF=2XABXAF=

7V2

・・・AB与面ACD所成角的余弦值为一7,故。正确，O错误.

12

故选：BC.

7T

12.(5分)将函数f(x)=sin2r的图象向右平移1个单位后得到函数g(x)的图象，则函

数g(X)具有性质()

A.在(0,9上单调递增，为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线彳=-¥对称

C.在(-舞，价上单调递增，为奇函数

D.周期为m图象关于点(当，0)对称

71

【解答】解：将函数f(x)=sin2x的图象向右平移二个单位后得到函数g(x)的图象，

4

贝(Jg(x)=sin2(x—=sin(2x—=-cos2x,

则函数g(x)为偶函数，当0<xV押，0<2xV号此时g(x)为增函数，故A正确，

函数的最大值为1,当x=-当时，g(x)=-cos(-3n)=-COS7T=1,为最大值，则

函数图象关于直线x=一当对称，故8正确，

函数为偶函数，故C错误，

r\37r37r37rQ

函数的周期T=*=7r,g(7)=-cos(—x2)=-cos—=0,即图象关于点(*,0)对称,

故D正确

故正确的是AB。，

故选：ABD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)己知函数Rx)=alnx-bx图象上一点(2,火2))处的切线方程为y=-3x+2/〃2+2,

贝！1a+b—3.

【解答】解：将x=2代入切线得/(2)=2历2-4.

所以2/〃2-4=出〃2-4〃①，

又f，(x)=^-2bx,

(2)=尹4b=-3②，

联立①②解得a=2,b=l.

所以4+8=3.

故答案为：3.

14.（5分）设x>-l,则当y=x+$取最小值时，x的值为1.

【解答】解：-1,...x+lX）,

44

则y=x+m'=x+l+弟T>3,

当且仅当x+l=磊即x=I时取等号，

故答案为：1

15.（5分）已知抛物线C：『=4x的焦点为凡斜率为1的直线/与C的交点为A,B,与

x轴的交点为P,若小=3而，则IAfl+IBFI=12,\AB\=8V2.

【解答】解：设A（xi，yi）,B（如>2），斜率为1的直线/的方程为x=y+，"，则PCm,

0）,

MW得六4厂4〃7=。，.•俨+'2=4,

（*=4x'J'（丫,2=-4m

•：AP=3PB,.，.yi=-3y2，

又yi+y2=4,，yi=6,y2=-2,从而为=9,M=1,

故|AQ+出用=刁+尤2+2=12.

由A（9,6）,B（1,-2）,得依阴=8&.

故答案为：12；8V2.

16.（5分）在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2炳,BA=BC=V3,NABC=90°，若山与

底面ABC所成的角为60°,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积157T.

【解答】解：因为以=PC=2g,BA=BC=V3,所以P在底面的投影在/ABC的角平

分线上，设为£

再由若雨与底面ABC所成的角为60°可得AE=Rl・cos60°=2B々=遮，可得E,B

重合，PB=B4・sin60°=2V3-=3,

即面ABC,由/ABC=90°可得，将三棱锥尸-ABC放在长方体中，

由长方体的对角线为外接球的直径2R可得：4/?2=32+（V3）2+（V3）2=15,

所以外接球的表面积S=4TTR2=15m

故答案为：15n.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）在△ABC中，4、B、C的对边分别是“、b、c,且A、B、C成等差数列.△

V3

ABC的面积为77.

2

（1）求：ac的值；

（2）若6=遮，求：a,c的值.

【解答】解：（1）B、C成等差数列

：.2B=A+C

：.B=J,

..1.V3

・Sc=2acsinDB=区

:・ac=2

（2）VZ?2=6724-C2-laccQsB,

18.（12分）已知公差不为零的等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,/i$5=30,且a],“2，。4

成等比数列.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若历尸（即—l）Xn+iy求数列｛儿｝的前"项和刀”

【解答】解：（1）设等差数列｛斯｝的公差为d,4#0.

由$5=30,得30=5ai+10d,…①

'：ax,a2,。4成等比数列，

22

a2=at-a4,则（％+d）=a1（%+3d）,…②

由①②解得：［2,

数列｛斯｝的通项公式为诙=2+2(/?-1)=2〃；

(2)由bn=@_1)而+1)'得加=(2n-l)(2n+l)=2(2^1-2n+l^'

1

11111

-+---n

•••数列伯”｝的前〃项和〃=必+历+…+与=*(1335L=

1+2n+l'

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面以£>_!_底面A8CD,△以。是等边三角形,

底面4BC。为直角梯形，其中8C〃A£>,ABLAD,AB=BC=^AD,E为CD中点、.

(1)求证：平面以B_L平面以。；

(2)求二面角P-AE-B的余弦值.

p

【解答】(1)证明：'：AB±AD,侧面以。_L底面ABC。，侧面以。A底面A8CD=A£),

，A8_L侧面PAD,

又ABu平面ABCD,

平面以81.平面PAD.

(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系.不妨设AB=1.

r-13

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,1,遮)，E(-,0),

22

T-13

AP=(0,1,V3)>AE=(—,—,0),

22

设平面以E的法向量为蔡=G,y,z),则/力3=盛•易•=(),

r-13

>'+V3z=0,-x+^y—O,

取1=(3V3,-V3,1).

取平面ABE的法向量为薪=(0,0,1).

i_vn

cos<m,n>7H=k

由图可得：二面角P-4E-8的平面角为钝角，可得余弦值为一照.

Xy/2

20.（12分）已知椭圆C：—4-y9=1（。＞1）的离心率是——.

az2

（I）求椭圆c的方程；

（II）已知F1，乃分别是椭圆c的左、右焦点，过危作斜率为4的直线/，交椭圆c于

A,8两点，直线F|A,QB分别交y轴于不同的两点M,N.如果/MQN为锐角，求k

的取值范围.

【解答】解：（I）由题意，［3-1,解得J=2.

I=1

L2=b2+c2

2

工椭圆C的方程为yx+y2=1；

（II）由已知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为y=k（x-1）,

直线/与椭圆C的交点A（X）,y\）,B（M，＞2），

（y=k（x-1）

联立1x2,，得（2d+1）X-4铲x+2&2-2=o.

匕+y-

A.k2"乙一?…

由己知，△＞（）恒成立，且%1+%2=-2-'X1X2=-2-,①

2F+12k'+l

直线QA的方程为、=（x+1）,令x=0,得M（0,x

同理可得N（0,孚一）.

X2+l

7

：.F^M•FJV=1+为、2_i,卜（巧―1）02-1）

（々+1）（久2+1）—（巧+1）（上+1）

_（1+必）巧久2+（1—必）（巧+尢2）+1+必

x/2+%1+%2+1

将①代入并化简得：F；M,F；N=野二,

8k-1

TT7"2一1

依题意，NMQN为锐角，则&M-EN=S＞」＞0,

8k—1

解得：记乂或武号

综上，直线/的斜率的取值范围为(-8,一，)U(一4，0)U(0,—)u(―,+

7447

8).

21.(12分)已知函数/'(X)=竺尹+a.

(1)判断/(x)极值点的个数；

(2)若x>0时，/>/(x)恒成立，求实数a的取值范围

【解答】解：(1)由/co=丝3+小得f(x)=［七?:+i.%ro；

设g(x)=(x-1)e"+l,则g'(x)=xex,

当(-8,0)时，g'(x)<0,所以g(x)在(-8,0)上是减函数，

当在(0,+8)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函数，

所以g(x)2g(0)=0,所以/(x)>0,

所以/(x)在定义域上是增函数，f(x)极值点个数为0.

(2)ex>f(x)(x>0),可化为(1-x)ex+ax-1<0.

令人(x)=(1-x)e'+ax-1,(x>0),则问题等价于当x>0时，h(x)<0.

li(x)=-xe'+a,

令加(x)=-xei+a,则机(x)在(0,+°°)上是减函数.

①当“W0时，m(x)(0)=aWO.

所以/?'(x)<0,h(x)在(0,+8)上是减函数.

所以6(x)<h(0)=0.

②当a>0时，，w(0)=a>0,

m(a)--ae°+a=a(1-e")<0,

所以存在即6(0,a),使〃？(xo)=0.

当(0,3)时，m(x)>0,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上是增函数.

因为九(0)=0,所以当xe(0,演))时，h(x)>0,不满足题意.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,0J.

22.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测

试，根据测试成绩评定“合格””不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”

记5分，“不合格”记