新教材2023-2024学年高中数学第6章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念课件新人教B版必修第二册

第六章6.1.1向量的概念基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解向量的有关概念及向量的表示方法.2.理解共线向量、相等向量的概念.3.正确区分向量平行与直线平行.基础落实·必备知识全过关知识点1

向量的概念及表示1.向量概念既有

又有

的量称为向量(也称为矢量)

表示用

来直观地表示向量,其中有向线段的

表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的

.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为

,此时向量的大小用

表示

代数表示在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如

等来表示向量大小

方向有向线段长度终点2.标量只有

的量称为标量,长度、面积等都是标量.

名师点睛1.向量与标量的区别:向量有方向,而标量没有方向;标量与标量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.2.我们学的向量是自由向量,是可以自由平移的,始点的位置可以改变,只考虑向量的大小和方向.大小

过关自诊1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个C解析

②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.2.[北师大版教材习题]在平面直角坐标系xOy中有三点A(1,0),B(-1,2),C(-2,2).请用有向线段分别表示从A到B,从B到C,从C到A的位移.解

如图,知识点2

与向量有关的概念

名称定义记法向量的模(或长度)向量的

称为向量的模(或长度)

|a|零向量

和

相同的向量称为零向量

0

注意书写时不要漏掉“→”

单位向量

的向量称为单位向量

—大小

始点终点模等于1名称定义记法相等向量

的向量称为相等的向量

a=b向量共线或平行如果两个非零向量的方向

,则称这两个向量平行,两个向量平行也称两个向量共线

规定:零向量与任意向量

a∥b0∥a大小相等、方向相同相同或者相反平行名师点睛1.对0、单位向量的理解(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合,其本质是一个点.零向量的方向不确定,不能说零向量没有方向.(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时

表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.(3)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.2.对向量平行的理解(1)向量平行(共线)时,表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义.共线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.(3)任一向量a都与它本身平行.过关自诊1.若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示

若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.2.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.(

)(2)任意两个单位向量都相等.(

)(3)若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.(

)×××3.设O是正方形ABCD的中心,则向量

是(

)A.相等的向量

B.平行的向量C.有相同起点的向量 D.模相等的向量D重难探究·能力素养全提升探究点一向量的有关概念【例1】

有下列说法:①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;②若向量

满足;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.规律方法

1.判断两个向量相等应从两个方面入手(1)是否大小相等;(2)是否方向相同.2.零向量和单位向量(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同.变式训练1给出下列说法:①两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;③在菱形ABCD中,一定有④若a=b,b=c,则a=c.其中所有正确说法的序号为

.

②③④

解析

两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故①不正确.单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确.③④显然正确.故所有正确说法的序号为②③④.探究点二向量的表示及应用【例2】

(1)[人教A版教材习题]指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5)(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:解

①由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又

,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量

如图所示.②由于点B在点A正东方向,且

=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量

如图所示.规律方法

向量的两种表示方法(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,如变式训练2一架飞机从点A向西北方向飞行200km

到达点B,再从点B向正东方向飞行100km到达点C,再从点C向正东方向飞行100km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移.探究点三相等向量与共线向量【例3】

如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与

共线及相等的非零向量.规律方法

1.寻找相等向量要把握住向量的两要素:大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相同.2.对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的模大小无关,故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行或重合.变式训练3设点O为正八边形ABCDEFGH的中心,如图,以图中字母为始点或终点,分别写出:成果验收·课堂达标检测12341.下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|,则a=bB.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量B解析

|a|=|b|仅表示a与b的大小相等,但是方向不确定,故a=b未必成立,所以A错误;根据零向量的定义可判断B正确;长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.故选B.12342.下列结论正确的是(

)A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个