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文档简介

第三章综合训练一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知点在抛物线的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A. B. C. D.2.已知椭圆经过点,则上一点到两焦点的距离之和为()A.2 B. C.4 D.3.已知双曲线的一条渐近线的方程为,则双曲线的焦距为()A. B.10 C. D.4.已知,分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,且垂直于轴,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.25.设是双曲线上的点,,是焦点,双曲线的离心率是,且,的面积是7,则()A. B. C.10 D.166.已知直线与抛物线相交于,两点,为的焦点,若,则等于()A. B. C. D.7.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中,),如图所示,其中点,,是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形,则,的值分别为()A.,1 B.,1 C.5,3 D.5,48.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于,两点.若恰好将线段三等分,则()A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.当时,方程表示的轨迹可以是()A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线10.已知双曲线的左、右焦点分别为,,则能使双曲线的方程为的是()A.离心率为 B.双曲线过点C.渐近线方程为 D.实轴长为411.[2023湖北武汉期末]已知抛物线的焦点为,直线,过焦点分别交抛物线于点,,,,其中,位于轴上方,且直线经过点,,记,的斜率分别为,,则下列结论正确的有()A. B. C. D.12.[2023湖南长沙月考]如图是由半圆和半椭圆组成,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点,椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点,与半椭圆交于点,则下列结论正确的是()A.椭圆的离心率是B.点关于直线的对称点在半圆上C.面积的最大值是D.线段长度的取值范围是三、填空题:本题共4小题.13.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则.14.已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点使得是钝角,则满足条件的取值范围是.15.如图,过抛物线的焦点作直线,与抛物线及其准线分别交于,,三点,若,则直线的方程为,.16.摆线是一类重要的曲线,许多机器零件的轮廓线都是摆线,摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时,动圆上点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线,产生了摆线族的大家庭,当基线是圆且动圆内切于定圆做无滑动的滚动时,切点运动的轨迹就是内摆线.已知基线圆的方程为,半径为1的动圆内切于定圆做无滑动的滚动,切点的初始位置为.若,则的最小值为;若,且已知线段的中点的轨迹为椭圆,则该椭圆的方程为.四、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,分别是双曲线两条渐近线上的动点,且,为坐标原点,动点满足,求动点的轨迹方程.18.已知椭圆的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,若,求直线的方程.19.已知,分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程.20.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且点的横坐标为4,.(1)求抛物线的方程;(2)设为过点的任意一条直线,若交抛物线于,两点,求证:以为直径的圆必过坐标原点.21.从椭圆上一点向轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,且它的长轴的一个端点与短轴的一个端点的连线平行于.(1)求椭圆的离心率;(2)设是椭圆上任一点,是椭圆的右焦点,求的取值范围.22.给定椭圆,则称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.若椭圆的离心率为,点在上.(1)求椭圆的方程和其“卫星圆”方程;(2)点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点,过点作直线,,使得,,与椭圆都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点,,证明:弦长为定值.第三章综合训练一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C[解析]因为点在抛物线的准线上,所以,所以,则该抛物线的焦点坐标是.故选.2.D[解析]由椭圆经过点可得,即椭圆的方程为,则,由椭圆的定义可知上一点到两焦点的距离之和为.3.C[解析]由题意得,,则双曲线的焦距为.4.A[解析]轴,,.由,可得,可得,,.又,解得.故选.5.A[解析]由题意,不妨设点是双曲线右支上的一点,,,则,...故选.6.B[解析]设,,易知,,,.由得,所以.①根据抛物线的定义得,,.因为,所以,②由①②得(舍去),所以,代入得.7.A[解析],,,,得,即,.8.C[解析]由题意,知,因此椭圆方程为,双曲线的一条渐近线方程为,联立方程消去,得,所以直线截椭圆的弦长,解得,.二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.ACD[解析]当时,,,可得方程表示的曲线可以是椭圆,也可以是双曲线,也可以是两条直线.故选.10.ABC[解析]由双曲线的左、右焦点分别为,,可得.如果离心率为,可得,则,所以双曲线的方程为,故正确;如果双曲线过点,可得解得所以双曲线的方程为,故正确;如果渐近线方程为,可得,,解得,,所以双曲线的方程为,故正确;如果实轴长为4,可得,,双曲线的方程为,故错误.故选.11.ACD[解析]由抛物线可得,抛物线的焦点,,设直线的方程为,联立整理可得,所以,故正确;同理可得,由直线经过点,设,则,而,,所以,则,整理可得,也即,因为,所以,又,,所以,故正确;,故错误;因为,同理,则,故正确.故选.12.ACD[解析]由题意得半圆的方程为,设椭圆的方程为,则,,,椭圆的方程为.对于,椭圆的离心率是,故正确;对于,设关于直线的对称点为,,可得且,解得,,即对称点为,又半圆的方程为,对称点,不在半圆上,故错误;对于,由题得的面积,设,,,设,,,,,当且仅当时,等号成立,故正确;对于,当时,;当时,.线段长度的取值范围是,故正确.故选.三、填空题:本题共4小题.13.2[解析]依题意,设抛物线的焦点为,点的横坐标是,则的最小值是,则.14.[解析]如图,当点位于短轴端点处时,最大,因为椭圆上存在点使得是钝角,所以在中,,所以直角三角形中,,所以,即,所以,即,所以.又,所以.15.;[解析]抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设,,,,则,,即,此时,得,即,则,则的斜率,则直线的方程为,代入得,设,,则,即.16.2;[解析]当时,又内切小圆半径,小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线,如图1,图1的最小值为.当时,又内切小圆半径,小圆上的切点的轨迹为大圆的内摆线,为线段,如图2,图2又线段的中点的轨迹为椭圆,由图可知,椭圆的长半轴长,椭圆的短半轴长,且椭圆的长轴在轴上,短轴在轴上,中心为原点,该椭圆的方程为.四、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解设,,,动点满足,,.,分别是双曲线的两条渐近线上的动点,,,,,,化简可得的轨迹方程为.18.(1)解由题意得,设左焦点为,则,,,,.故椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,代入椭圆方程得,设,,恒成立,由根与系数的关系可得,①,②由得,③由①②③可得.故直线的方程为.19.(1)解因为双曲线的渐近线方程为,则点到渐近线距离为(其中是双曲线的半焦距),所以由题意知.又因为,解得,故所求双曲线的渐近线方程是.(2)因为,由余弦定理得,,即.①又由双曲线的定义得,平方得,②由①②式相减得.根据三角形的面积公式得,得.再由(1)得,故所求双曲线方程是.20.(1)解抛物线的焦点为,,准线方程为,由抛物线的定义可得,,解得,即抛物线的方程为.(2)证明设直线,,,代入抛物线方程,可得,恒成立,,,,即有,则,则以为直径的圆必过坐标原点.21.(1)解依题意知点的坐标为,设点的坐标为.若点的坐标为,则点的坐标为,则直线的斜率当点坐标为,点坐标为时,同样有.则有,.①又点在椭圆上,.②由①②得,,即椭圆的离心率为.(2)①当点与椭圆长轴的端点重合时,.②当点与椭圆长轴的端点不重合时,设,,,则,.在中,,当且仅当时,等号成立,故当点与椭圆长轴的端点不重合时,.又,.综上,的取值范围是.22.(1)解由条件可得解得,.所以椭圆的方程为,“卫星圆”的方程为.(2)证明①当,中有一条斜率不存在时,不妨设的斜率不存在,因为与椭

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