数学第七版上册第七版第三章 三角函数

第三章

三角函数3.1角的概念的推广3.2任意角的三角比3.3三角比的诱导公式3.4三角函数的图像与性质3.5正弦型函数1.了解任意角的概念,会表示终边相同的角.2.了解弧度制,会进行弧度与角度的互化.3．1

角的概念的推广教学目标演示法

讲授法教学方法教学重点1.任意角的概念.2.终边相同的角的表示.3.弧度制的概念及弧度与角度的换算.教学难点1.弧度制的概念.2.用集合来表示终边相同的角.点击图例，查看动画演示知识回顾3．1

角的概念的推广1.角的定义及组成一条射线绕着端点O从一位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形称为角，如图(图3—1).这条射线的端点O称为角的顶点,射线在旋转的初始位置OA称为角的始边,射线在旋转的终止位置OB称为角的终边

.角常用小写希腊字母α,β,γ,…来表示.2.现实生活中角的应用有哪些?体操运动中的转体2周或3周，汽车方向盘的左右旋转等.图3—13．1

角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角称为正角．按顺时针方向旋转形成的角称为负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们也认为它形成了一个角，称为零角．零角的始边与终边重合，若α是零角，则α=0°.按上述规定,我们就把角的概念推广到了任意角

.角的概念的推广3．1

角的概念的推广例题解析例求下列角的度数，并画图表示（1）经过2个小时，手表的时针旋转的度数.（2）将时钟的分针例拨1小时40分钟.

角的概念的推广3．1

角的概念的推广角的概念的推广知识巩固13．1

角的概念的推广象限角以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点,让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，如90°角与180°角不属于任何一个象限。象限角与终边相同的角提示：今后,除特别说明外,我们在平面直角坐标系里研究角的时候,均按此设定角的顶点和始边.(1)要判断角是第几象限角,只要确定角的终边在第几象限.(2)关于一个角是第几象限角,有时我们也说这个角属于第几象限.例1

在平面直角坐标系中作出45°角、-240°角、585°角和300°角，并判定属于第几象限.解:图3—3点击图例，查看动画演示3．1

角的概念的推广例题解析象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广例2在0°~360°范围内,表示各象限角的范围.例题解析解:说明0°~360°范围是指0°≤α＜360°象限角与终边相同的角图3—4

点击图例，查看动画演示3．1

角的概念的推广例题解析象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广

例题解析象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广终边相同的角的表示:一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为β=α+k·360°，k∈z用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈z}思考：第一象限的角的集合如何表示？{α|k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈z

}象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广例题解析象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广例题解析象限角与终边相同的角3．1

角的概念的推广知识巩固2象限角与终边相同的角

3．1

角的概念的推广弧度制

3．1

角的概念的推广角度与弧度的换算例题解析弧度制

3．1

角的概念的推广

例题解析弧度制3．1

角的概念的推广例题解析例2把下列各角用角度制表示：，

.

弧度制

3．1

角的概念的推广例题解析题按键顺序显示60°60SHIFTDRG1=1.047197551100°16′100。，，，16。，，，SHIFTDRG1=1.749983463-200°(-)200SHIFTDRG1=-3.490658504

弧度制例4

用计算器把下列各角由弧度化为角度：（保留4位有效数字）6,,-2.5.分析在计算前，首先按MODEMODE1，把计算器的显示状态设定为D.3．1

角的概念的推广例题解析题按键顺序显示66SHIFTDRG2=343.7746771（SHIFTπ÷7）SHIFTDRG2=25.71428571-2.5（-）2.5SHIFTDRG2=-143.2394488

弧度制3．1

角的概念的推广例5求图3—8中公路弯道处弧AB的长l.（单位：米，精确到1米）

图3—8例题解析弧度制3．1

角的概念的推广例题解析解由图示可知r=48，α=60°=

.由圆心角公式|α|=，得l=|α|·r=

×48≈50（米）所以弯道处弧AB的长约为50米.提示:弧长公式l=|α|·r

α为弧度单位弧度制3．1

角的概念的推广1．把下列各角用弧度制表示：（用π表示）420°，300°，-120°.2．把下列各角用角度制表示：，

，

.3.用计算器把下列各角由度化为弧度：（保留4位有效数字）128°，310°，-618°.4．用计算器把下列各角由弧度化为度：（保留4位有效数字）3，-8，

.知识巩固3弧度制3．1

角的概念的推广5．在平面直角坐标系中：（1）终边在x轴上的角α=

.（用弧度制表示）（2）终边在y轴上的角α的集合可表示为

.（用弧度制表示）（3）已知角α=，角β与角α终边相同，且β∈［0，2π），则角β=

.知识巩固3弧度制1.理解任意角的三角比的定义.

2.掌握三角函数值在各象限中的符号,熟记特殊角的三角比的值.

3.会用计算器计算任意角的三角比的值.

4.掌握同角三角比的基本关系式，

能利用基本关系解简单问题.教学目标3．2

任意角的三角比数形结合、对比法、讨论法教学方法教学重点1.任意角的三角比的定义.

2.三角比的值的符号.

3.同角三角比的基本关系.教学难点1.用角的终边上的点的坐标来定义三角比.

2.三角比的值的符号.3．2

任意角的三角比在直角三角形中，如图所示。∠M是直角，锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有sinα=

cosα=

tanα=在直角坐标中，如图所示。实例考察

在锐角α的终边上任取一点P（原点除外），过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM，设点P的坐标为（x,y）则角α的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r，其中r=（r＞0）由此得到sinα=

cosα=

tanα=推广到任意角就有任意角的三角函数3．2

任意角的三角比实例考察节菜单如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设P的坐标为（x,y）OP=r,则r=（r＞0）图3—113．2

任意角的三角比任意角三角比

3．2

任意角的三角比任意角三角比例题解析3．2

任意角的三角比任意角三角比例2求下列各角的正弦、余弦和正切值：（1）0（2）

（3）

例题解析3．2

任意角的三角比任意角三角比=解

（1）如图4—13a所示，角0的终边在x轴的正半轴上，在终边上取一点P，使OP=1，则点P的坐标为（1，0）．因为r=OP=1，所以图3—130sin011cos010tan01yrxryx======0=1=0（2）如图3—13b所示，角

的终边在y轴的负半轴上，在终边上取一点P，使OP=1，则点P的坐标为（0，-1）．因为r=OP=1，所以例题解析3．2

任意角的三角比图3—13任意角三角比(3)如图3—13c所示，角

的终边在第四象限，在终边上取一点P，使OP=1，则点P的坐标为

．因为r=OP=1，所以例题解析3．2

任意角的三角比图3—13任意角三角比特殊角的三角函数的值.3．2

任意角的三角比α角度制0°30°45°60°90°180°270°弧度制0π

πsinα010-1cosα10-10tanα01不存在0不存在任意角三角比知识巩固13．2

任意角的三角比任意角三角比sinα和cosα的几何意义由于角α的三角函数的值与点P在角α的终边上的位置无关，因此，利用单位圆（unitcircle）求已知角α的三角函数较为方便．所谓单位圆是指以坐标原点为圆心，半径长为1的圆．如图3—14所示，取角α的终边与单位圆的交点为P，点P的坐标为（x，y），则r=OP=1．所以有3．2

任意角的三角比图3—14探究

根据任意角的三角函数的定义，我们知道，角α的终边上点P坐标值的符号决定了角α的三角函数的符号．各三角函数在各个象限的符号列表如下：记忆口诀：一正二正弦，三切四余弦.含义：第一象限全为正，第二象限除正弦为正外，其余均为负，以此类推.3．2

任意角的三角比角α属于的象限点P的坐标sinα(即

)cosα(即

)tanα(即

)xy第一象限＋＋＋＋＋第二象限－＋＋－－第三象限－－－－＋第四象限＋－－＋－三角函数值的符号例题解析3．2

任意角的三角比三角函数值的符号例1判断下列各三角函数的符号：

（1）sin495°

(2)cos(-150°)

(3)tan(3)因为-

=-4π+

是第三象限的角，所以tan＞0解

(1)因为495°=360°+135°是第二象限角，所以sin495°＞0(2)因为-150°是第三象限的角，所以cos(-150°)＜0例23．2

任意角的三角比任意角三角比知识巩固23．2

任意角的三角比三角函数值的符号3．2

任意角的三角比

利用计算器求已知角的三角函数值利用计算器求已知角的三角函数值3．2

任意角的三角比题号显示状态按键顺序显示结果（１）Dsin165=0.258819045（２）Dtin471=-2.605089065（３）Dsin((-)513)=-0.453990499（４）Rsin(5×SHIFTπ÷8)=0.923879532（５）Rcos((-)11×SHIFTπ÷7)=0.222520934（６）Rtan(17×SHIFTπ÷6)=-0.577350269（７）Rsin((-)2)=-0.909297426分析由于第（1）（2）和（3）题中已知角是用角度制表示的，因此，在用计算器求第（1）题前，首先按MODEMODE1，把计算器的显示状态设定为D；第（4）（5）（6）和（7）题中已知角是用弧度制表示的，因此，在用计算器求第（4）题前，首先按MODEMODE2，把计算器的显示状态设定为R．3．2

任意角的三角比解（1）sin165°≈0.259(2)tan471°≈-2.605(3)sin(-513°)≈-0.454(4)Sin

≈0.924(5)cos(-

)≈0.223(6)Tan

≈-0.577(7)sin(-2)≈-0.909节菜单知识巩固33．2

任意角的三角比1.用计算器计算下列各三角函数的值：（结果精确到0.001）（1）sin231°（2）cos（-175°）（3）tan（-75°）（4）sin

（5）cos（

）（6）tan3．2

任意角的三角比同角三角比的基本关系例题解析3．2

任意角的三角比例1已知sinα＝

，且α是第二象限的角，求cosα和tanα的值.

例题解析3．2

任意角的三角比例题解析3．2

任意角的三角比知识巩固43．2

任意角的三角比

教学目标3．3

三角比的诱导公式讲授法，指导自学法教学方法教学重点

教学难点灵活运用诱导公式计算任意角的三角比的值.3．3

三角比的诱导公式1.任意角三角函数的定义？设P为角α终边上一点，坐标为（x，y），

2.同角三角函数之间的基本关系有哪些？

3．3三角比的诱导公式例题解析3．3

三角比的诱导公式知识巩固13．3

三角比的诱导公式

求下列各三角函数的值：（1）sin（2）cos（3）tan1860°

3．3

三角比的诱导公式有关-α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式

证明：由图3—16可知角-α与角α的终边关于x轴对称，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设P的坐标为（x，y），则P′（x，-y）必在角-α的终边上，且OP′=1图3—16有关-α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式所以

有关-α的诱导公式

3．3

三角比的诱导公式有关-α的诱导公式例题解析3．3

三角比的诱导公式有关-α的诱导公式知识巩固23．3

三角比的诱导公式

有关-α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式

有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式证明公式四图3—17证明.将任意角α的终边按逆时针旋转π弧度，就得到π±α的终边，显然角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，在角α终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则P′（-x，-y）必在角π＋α的终边上，且OP′=1，所以有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式（公式五由学生推导）有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式例题解析有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式例题解析有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式例题解析有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式例题解析有关π±α的诱导公式3．3

三角比的诱导公式知识巩固3有关π±α的诱导公式教学目标1.掌握用“五点法”作正弦、余弦函数的图像.

2.理解正弦、余弦、正切函数一个周期内的性质.

3.理解周期函数的意义.

4.渗透数形结合的思想.3．4

三角函数的图像与性质多媒体、启发式、讲练结合法教学方法教学重点1.用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.

2.正弦、余弦函数的性质.教学难点正弦、余弦函数性质的理解与应用.

3．4

三角函数的图像与性质知识回顾3．4

三角函数的图像与性质x0y00.50.8710.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.50

正弦函数

3．4

三角函数的图像与性质正弦函数点击图例，查看动画演示

3．4

三角函数的图像与性质正弦函数例题解析例1用五点法画出函数y＝sinx+1在［0，2π］上的简图.分析比较函数y＝sinx+1和函数y＝sinx可以看出，对同一个x值，函数y＝sinx+1的值比函数y＝sinx的值大1.所以，函数y＝sinx+1的图像与函数y＝sinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同.解列表：3．4

三角函数的图像与性质x0π2πsinx010-10sinx+112101正弦函数描点，连线得到所要画的图像，如图3-21所示．图3-21点击图例，查看动画演示例题解析3．4

三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数y=sinx的性质（1）定义域

R（2）值域

[-1，1]x=

+2kπ(k∈z)ymax=1

x=

+2kπ(k∈z)ymin=-1（3）周期性

T=2π最小正周期（4）奇偶性

奇函数（5）单调性

在区间[2kπ-，2kπ+

]内单调递增，区间

[2kπ+，2kπ+

]内单调递减（6）与x轴主点

x=kπk∈z3．4

三角函数的图像与性质正弦函数3．4

三角函数的图像与性质x0π2πy0-2020例题解析正弦函数3．4

三角函数的图像与性质例题解析

3—23正弦函数3．4

三角函数的图像与性质例题解析

正弦函数3．4

三角函数的图像与性质例题解析正弦函数知识巩固13．4

三角函数的图像与性质正弦函数

3．4

三角函数的图像与性质x0y10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.520.871余弦函数

点击图例，查看动画演示3．4

三角函数的图像与性质余弦函数3．4

三角函数的图像与性质

余弦函数

3．4

三角函数的图像与性质例题解析x0π2πy=2cosx20-202余弦函数3．4

三角函数的图像与性质例题解析描点并连线（图3—27）图3—27余弦函数点击图例，查看动画演示3．4

三角函数的图像与性质例题解析

余弦函数3．4

三角函数的图像与性质知识巩固2余弦函数3．4

三角函数的图像与性质

x…

-

-

-0……-1.73-1-0.5800.5811.73…x…πππππππ……-1.73-1-0.5800.5811.73…正切函数3．4

三角函数的图像与性质正切函数

点击图例，查看动画演示3．4

三角函数的图像与性质

正切函数例1比较tan与tan

值的大小．3．4

三角函数的图像与性质例题解析解因为－

＜

＜

＜

而y＝tanx在区间（－

，

）上是增函数，所以

tan＞tan正切函数3．4

三角函数的图像与性质例题解析例2求函数y=tan（3x+）的定义域．解因为y=tant的定义域为{t｜t≠kπ+，k∈Z}所以y=tan（3x+）的定义域为{x｜3x+≠kπ+，k∈Z}即{x｜x≠

kπ+，k∈Z}正切函数3．4

三角函数的图像与性质知识巩固3正切函数

教学目标

3．5

正弦型函数观察法、引导法教学方法教学重点正弦型函数的图像的画法和主要性质.

教学难点正弦型函数主要性质.

实例考察3．5

正弦型函数

3．5

正弦型函数

例题解析

0π2πx

030-303．5

正弦型函数的基本知识例题解析

这个函数的性质是：（1）定义域是R．（2）值域是［-3，3］．

（3）是周期函数，它的周期T=π．点击图例，查看动画演示3．5

正弦型函数例题解析

例2本节“实例考察”中给出了交流电i(单位