第一章 函数与极限

高等数学刘强材料科学与工程系欢迎进入绪论高等数学发展简史微积分的基本思想和方法学习方法初等数学时期

（公元前3世纪—17世纪）初等数学的主要研究对象：匀速的运动（速度不变）；匀加速运动（速度均匀变化）；直边图形（不弯曲）；圆弧形图形（均匀弯曲）；有限次四则运算。xyOy=x21xi微积分的基本思想和方法速度问题面积问题瞬时速度曲边图形的面积？？一、高等数学与初等数学的

初等数学——研究的常量与固定图形，即常量数学区别

思维.它的方法是孤立

的静止的，属形式逻辑。

高等数学——研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法是运动的联系的，辩证的，属辩证逻辑。

二、微积分历史简介：我们即将学习的高等数学，它的主要内容是微积分。——研究函数的一门学科，它产生于十六.七世纪，主要是为解决当时而创立的。4个问题求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。求曲线在一点的切线（光线穿过凸透镜的一系列问题）求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星离开太阳的最远、最近距离等）

求面积、体积、物体的重心等

这四个问题引起了当时大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。

牛顿牛顿对微积分的研究偏重物理方向。

伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。

莱布尼兹是哲学博士、外交官、法学家、历史学家、语言学家、地质学家、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学、航海学、计算机方面也做了重要工作。莱布尼兹对微积分的研究偏重于哲学方向。莱布尼兹有人说:

牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后的一步。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。

历史上曾有过牛顿―莱布尼茨学派之争达一百年之久，互相指责剽窃了对方，后经调查证实：他们两人对微积分的研究都是独立的。牛顿早一些，但他并没有把研究成果即时公布于世，以致误会。牛顿创立了许多方法，是经验的、具体的、谨慎的；

而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括Ｎ－Ｌ都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精确了。他们不能正确解释这些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多产，没有严密地向前推进。十八世纪也是糊里糊涂。

十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。 教学内容决定教学方法，因此我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。名称：高等数学总课时：4课时（6）/周；内容：一元、多元函数微分学、积分学；矢量代数、空间解析几何；无穷级数；微分方程《高等数学》（上册）

各章的知识结构和联系

极限与连续函数导数与微分导数的应用不定积分定积分及其应用常微方程目的掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。培养空间想象能力。培养分析问题和解决问题的能力。为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

学习方法

课前→课堂→课后华罗庚讲：学习数学，若不做习题，如入宝山而空返。第一章函数与极限第一节函数常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，

u，v，w，s，t等。

在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量区间和邻域几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.

N

{0,1,2,

,n,

}.N

{1,2,

,n,

}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.

Z

{

,

n,

,

2,

1,0,1,2,

,n,

}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.有限区间:设a<b,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b),即(a,b)

{x|a<x<b}.类似地有[a,b]{x|a

x

b}称为闭区间,[a,b){x|a

x<b}、(a,b]{x|a<x

b}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b

a称为区间的长度.

无限区间:[a,)

{x|a

x},(,b]{x|x<b},(,

)

{x||x|<}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设

>0，则称区间(a-

,a+

)为点a的

邻域，记作U(a,

)，即U(a,

)={x|a-

<x<a+

}={x||x-a|<

}。其中点a称为邻域的中心,

称为邻域的半径。xOa-da+d去心邻域:(a,

)={x|0<|x-a|<

}。xOa-da+da：All，任意一个，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。函数举例例1.圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+

)内的任意值。例2.圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，

。pn设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数x

D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。§1.1.1.函数的定义值域：Vf=f(X)={y|y=f(x)，x

D}。定义域：

在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0

D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。函数概念

应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),x

D”或“y=f(x),x

D”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.函数符号:函数y

f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“

”等.此时函数就记作y

(x),y

F(x).函数的两要素函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f.

如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.

注意确定值域：根据定义域和对应法则确定定义域：1.有实际意义的：根据实际问题有意义来确定2.无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值例如:y=arcsin(X2+2)例：下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．，，(A)(B)(C)(D)题型一：判断函数的等价性解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是两个函数。例：若函数的定义域是[0，1]，则函数的定义域是( )．题型二：求函数的定义域解题方法：（1）对于一般函数…..，（2）对于复杂函数…...，（3）直接代入…………，（4）对于复合函数f[ψ(x)]，可用已知的y=f(x)的定义域，令t=ψ(x)，解出x的变化范围即可。例题：设，，且求定义域。题型三：求函数f(x)的表达式解题方法：利用变量代换法和变量无关性。例题：设f（x）满足方程其中a、b、c为常数，且求f（x）。

函数的定义域为D=(-

,+

)。函数的值域为W=[0,+

)。yxOy=|x|x,x

0-x,x<0y=|x|=称为绝对值函数。例3.函数函数的定义域为D=(-

,+

)。函数的值域为W={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y

=sgnx

=称为符号函数。

例5.函数y=[x]称为取整函数。

函数的定义域为D=(-

,+

)，函数的值域为W

=Z-5-4-3-2-1O12345

xy54321-1-2-3-4-5y=[x]函数的定义域为D=[0,1]

(0,+

)=[0,+

)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x在自变量的不同变化范围，对应法则用不同的式子来表示的函数，成为分段函数。§1.1.2.函数的几种特性图形特点：

y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函数的有界性设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一x

X，有f(x)

K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使对任一x

X，有f(x)

K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方y=K2y=f(x)Oxy有界函数的图形特点：函数y=

f(x)的图形在直线y=

-M和y=

M的之间。如果存在数M＞0，使对任一x

X，有|f(x)|

M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在x1

X，使|f(x)|>M。Oxyy=f(x)y=-My=M函数的有界性举例：例1.f(x)=sinx在(-

,+

)上是有界的：

即|sinx|

1。-11yxO-2p-pp2py=sinx例2.Oxy12y=1/x函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数举例：函数f(x)=1/x在(0,1)内有下界，无上界。这是因为，任取M>1，总有0<x1=(2M)-1<1，使f(x1)=2M>M，所以函数无上界。但此函数在(1,2)内是有界的。注意：若函数f(x)在区间I上有界函数f(x)在区间I上既有上界，又有下界题型：函数的有界性解题思路定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。利用极限（后面章节讲）利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲）利用导数（后面章节讲）例如：判断在定义域(-∞,+∞)内的有界性2.函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)设函数y=

f(x)在区间I上有定义。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，(???)则称函数f(x)在区间I上是单调增加(???)的。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。f(x1)>f(x2)，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。函数单调性举例函数y=x2………….题型：判别函数的单调性利用定义利用导数法（后面章节讲述）设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于任意的x

D，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。3.函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例：y=x2，y=cosx都是偶函数偶函数的图形关于y轴对称。奇偶函数举例：

y=x3，

y=sinx都是奇函数。101x-22y如果对于任意的x

D，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。函数奇偶性的判别利用定义利用奇偶函数的运算性质：1.奇函数的代数和……，2.偶函数的代数和……..；3.偶函数之积…….；4.奇函数和偶函数之积……；5.f(x)+f(-x)…;f(x)-f(-x)…;f(x)+f(-x)=0时，f(x)是…函数。函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否则……例如设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数l，使得对于任一x

D有(x

l)

D，且f(x+l)=

f(x)，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。周期函数的图形特点：

yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函数的周期性§1.1.3.反函数与复合函数对于任一数值y

V，D上至少可以确定一个数值x与y对应，这个数值x适合关系f(x)=y。如果把y看作自变量，x看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)=

j(y)。1.反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为V。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1,y0)(x2,y0)WOxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y单调函数的反函数是单值函数什么样的函数存在单值的反函数？Oxy-xxy=x2yy=x2的反函数是多值函数：x=

。把x限制在区间[0,)，则y=x2的反函数是单值的，即x=。它称为函数y=x2的反函数的一个单值分支。反函数的单值分支：另一个单值分支为x=-

。在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y表示。按此习惯，我们把函数y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数写为y=。反函数的图形：反函数的图形与直接函数的图形关于直线y=x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：{例:设函数y=f（x），求其反函数y=f-1（x）

对于任一x

[-1，1]，先计算u=1-x2，然后再计算y=，这就是说函数y=的对应法则是由函数u=1-x2和y=所决定的，我们称函数y=是由函数u=1-x2和y=复合而成的复合函数，变量u称为中间变量．例

函数y=表示y是x的函数，它的定义域为

[-1，1]．设u=1-x2，则函数y=的值可以按如下方法计算：2．复合函数D1D2u=j(x)y

=f(u)y

=f[j(x)]复合函数：一般地，设函数y

=f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果{u|u=j(x)，x

D2}D1则对于任一x

D2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数y

=f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y

=f[j(x)]

，其中定义域为D2(????)，u称为中间变量．复合而成的．其中u，v

都是中间变量．函数y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函数y=，u=cotv，v=经复合可得函数问：函数y=arcsinu与u=2+x2能构成复合函数吗？y=

例

函数y=arctan(x)2可看作是由y=arctanu和u=x2复合而成的．§1.1.4.初等函数1.幂函数函数y=xm（m是常数）叫做幂函数．幂函数的定义域：与常数m有关，但函数在（0，+）内总有定义．最常见的幂函数：xyO11y=x2y=xy

=xxyO11y=x-1y=x31a>1y=()x1ay=axxyO常用的指数函数为y=ex.2．指数函数函数y=ax(a是常数，且a>0，a1)叫做指数函数．指数函数的定义域：D=（-，+）．单调性：若a>1，则指数函数单调增加；若0<a<1，则指数函数单调减少．1a>1y=axxyOy=logax3．对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，a1)．对数函数的定义域是区间(0，+)．自然对数函数：y=lnx=logex.常用的三角函数有：正弦函数：

y=sinx1-1y=cosx余弦函数：

y=cosx1-1y=sinxyxOxyO4．三角函数正切函数：

y=tanx

余切函数：

y=cotxxyO-pp

p2

p2xyO-pp

p2

p2y=tanxy=cotx正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0,)正割函数：p2余割函数：内是无界函数．

y=secx=----。1cosx1sinxy=cscx=----。反正弦函数的主值：

y=arcsinx，x∈[，].反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数.

p2p2反正弦函数：

y=Arcsinx，定义域为[-1，1].反余弦函数：

y=Arccosx．定义域为[-1，1]．反余弦函数的主值：

y=arccosx，x∈(0，p)-11yxO

p2p2y=Arcsinxy=arcsinxyxOp-11y=Arccosxy=arccosx5．反三角函数反正切函数的主值：

y=arctanx，反正切函数：

y=Arctanx,定义域为(-，).Oxy

p2p2y=arctanx

p2p2其值域规定为(，)．反余切函数的主值：

y=arccotx，其值域规定为(0，p)反余切函数：

y=Arccotx，定义域为(-，+).y=arccotxOxyp6．基本初等函数与初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数．由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．都是初等函数．例如，，7．双曲函数（实际上是初等函数）应用上常遇到的双曲函数是：双曲正弦：shx=(ex-e-x)12双曲余弦：chx=(ex+e-x)12双曲正切：thx==shxchxy=chxy=shx1xyOy=e-x12y=ex121-1Oxyy=thx双曲函数的性质：sh(x

y)=shxchy

chxshy，比较sin(x

y)=sinxcosy

cosxsiny;ch(x

y)=chxchy

shxshy;比较cos(x

y)=cosxcosysinxsiny;-+ch2x-sh2x=1;sh2x=2shxchx;ch2x=ch2

x+sh2

x.7．反双曲函数双曲函数y=shx，y=chx，y=thx的反函数依次记为

反双曲正弦：

y=arshx，

反双曲余弦：

y=archx，

反双曲正切：

y=arthx．可以证明arshx=

ln(x+)12+xarchx=

ln(x+)12-xarthx=xx-+11ln21arshx=ln(x+)的证明：x=(ey-e-y)，12u=x+，12+xy=arshx是x=shy的反函数，因此满足令u=ey，由上式得

u2-2xu-1=0，解方程得两边取对数得即ey=x+，12+xy=ln(x+)12+x第一节总结

重点、难点及基本要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念第二节

极限

主要内容极限的概念：数列极限；函数极限。极限的性质与运算（无穷小概念及比较）一、数列的概念二、数列的极限三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质数列、数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系§1.2.1数列的极限一、数列极限的概念如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：．．．．．．

1r四边形a2r八边形a3r十六边形1.数列一个实际问题数列：

如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn

，则得到一列有次序的数

x1，x2，x3，…，xn

，…这一列有次序的数就叫做数列，记为{xn}，其中第n项xn

叫做数列的一般项．数列举例：数列举例：2，4，8，…，2n，…；一般项为2n一般项为1

2n

1，-1，1，…，(-1)n+1，…

；一般项为(-1)n+1一般项为数列的几何意义：x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn

，…．

通常，在数列{Xn}中Xn的数值随下标n的不同而不同，所以数列{Xn}可以理解为一个变量．但是，由于数列的项的下标是按正整数顺序排列的，所以它又不同于一般的变量，这种变量叫做整序变量.

数列{Xn}既然可以理解成随下标n而变的整序变量，也就可以把它理解为一个函数，它的自变量是n，因变量是Xn

，定义域是全体正整数，因此数列又叫整标函数．数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：

xn=f(n)，它的定义域是全体正整数．数列与函数：x1=f(1)，x2=f(2)，x3=f(3)，x4=f(4)，．．．，xn=f(n)例如如果数列没有极限，就说数列是发散的．xn=a．而{2n}，{(-1)n+1}，是发散的．数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}，如果当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛a．记为对无限接近的刻划：“当n无限增大时，xn无限接近于a”等价于：当n无限增大时，|xn-a|无限接近于0；或者说，要|xn-a|有多小，只要n足够大，|xn-a|就能有多小．

极限的精确定义：定义如果数列{xn}与常a有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xn-a|<e都成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为或xn

a(n

)．如果数列没有极限，就说数列是发散的．数列极限的几何意义：对于任意给定的正数e，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xn-a|<e都成立．从几何上说，就是任意给定a的e邻域(a-e,a+e)，总存在正整数N，使得当n>N时，所有的点xn都落在区间(a-e,a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a-e,a+e)以外.xOaa-ea+e()x1x

NxN+1xN+2xN+3xN+5xN+4x2对于任意给定的正数e>0，.1)1()1(1)1(|1|111nnnnnnnxnnnn=-=--+=--+=----要使,1|1|e<=-nxn,1e>n只需故取4、用定义证明极限举例分析：.1=eN[]证明：因为对于任意给定的e>0，存在N=[1/e]，使当n>N时，有所以,1|1|e<=-nxn.1)1(lim1=-+-nnnn→∞对于任意给定的e>0，要使只需故取分析：所以，证明：因为对任意给定的正数e>0，存在使当n>N时，有,)1(10)1()1(|0|22e<+=-+-=-nnxnn

例3

设|q|<1，证明等比数列1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．对于任意给定的正数e>0，分析：要使使当n>N时，有|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e，所以.1lim1=-nn

q1.定理1(极限的唯一性)数列{xn}不能收敛于两个不同的极限．存在正整数N2，这是不可能的．这矛盾证明了本定理的断言．二、收敛数列的性质数列的有界性：对于数列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式|xn|

M，则称数列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的．数列xn=2n(n=1，2，…)是无界的．2.定理2(收敛数列的有界性)

如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．证明：设数列{xn}收敛，且收敛于a．根据数列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于n>N时的一切xn，不等式|xn-a|<e=1

都成立．于是，当n>N时，|xn|=|(xn-a)+a||xn-a|+|a|<1+|a|．取M=max{|x1|，|x2|，…,|xN|，1+|a|}，那么数列{xn}中的一切

xn都满足不等式|xn|

M．这就证明了数列{xn}是有界的．3.定理3(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a．子数列：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列．例如，数列{xn}：1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…

的一子数列为{x2n}：-1，-1，-1，…，(-1)2n+1，…．证明：设数列是数列{xn}的任一子数列．由于

，故对于任意给定的正数e，存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<e．取K=N，

则当k>K时，nk>nK=nN

N．

于是

．

这就证明了

．证毕．e,<-||axkn2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?3．数列的子数列如果发散，原数列是否发散?数列的两个子数列收敛，但其极限不同，原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4．如何判断数列1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…是发散的？讨论：§1.2.2函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限极限的通俗定义、极限的几何意义、极限的局部保号性、极限的精确定义、左右极限极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线一、函数极限的概念二、函数极限的性质函数极限的通俗定义：

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．当x

x0时，f(x)以A为极限记为一、函数极限的概念1.自变量趋于有限值时函数的极限自变量的变化趋势：x

x0，x

x0-0，x

x0+0，x

，x

-

，x

+

．f(x)=A或f(x)

A(当x

x0)．f(x)=A或f(x)

A(当x

x0)．f(x)=A

e>0,

d>0,

x:0<|x-x0|<d，有|f(x)-A|<e．函数极限的精确定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等式0<|x-x0|<d的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e，那么常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限，记为函数极限的几何意义：x0-dx0+dA-eA+ey=f(x)Ax0O

yxA-eA+ex0-dx0+dA-eA+ex0-dx0+d则e>0，

d>0，使当0<|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e的几何意义：若f(x)=A，因此对于任意给定的正数e，任意取一正数d，当0<|x-x0|<d时，|f(x)-A|=|c-c|=0<e成立，所以举例：证明:这里|f(x)-A|=|c-c|=0，都有成立．|f(x)-A|=|x-x0|<e当0<|x-x0|<d=e时,的正数e,总可取d=e,因此对于任意给定能使不等式所以证明：这里|f(x)-A|=|x-x0|，|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e

，使当0<|x-1|<d时，有只要|x-1|<，即取d=．证明：因为e>0，d=>0，

所以分析：|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，为了使|f(x)-A|<e

，证明：因为

e>0，d=e>0，所以只需|x-1|<d，即取d=e．|f(x)-2|=|x-1|<e

，使当0<|x-1|<d，有|f(x)-2|=|-2|=|x+1-2|=|x-1|，要使|f(x)-2|<e，分析：注意函数在x=1是没有定义的．但这与函数在该点是否有极限并无关系．左右极限：x

x0-0表示x仅从x0的左侧趋于x0，而x

x0+0表示x仅从x0的右侧趋于x0．若当x

x0-0时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的左极限，记为若当x

x0+0时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的右极限，记为讨论：左极限的e--d

定义：

若e>0，

d>0，

x：x0-

d

<x<x0，有|f(x)-A|<e,则称常数A为函数f(x)当x

x0时的左极限．左右极限的e--d定义如何叙述?yy=x-1-11y=x+1xO例6

函数当x

0时f(x)的极限不存在．因为f(x)的左极限右极限所以极限不存在．A叫做函数f(x)当x

时的极限，若当x

时，f(x)无限接近于某常数A，2.自变量趋于无穷大时函数的极限类似地有和记为则常数讨论：极限的通俗定义：叙述？三者之间的关系如何？

e>0,

X>0,

x:|x|>X,有|f(x)-A|<e，设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数e，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e，则常数A叫做函数f(x)当x

时的极限．极限的精确定义：y=f(x)O

xy-XXA-eA+eA解不等式得，所以．证明：故取X=．不等式成立．当|x|>X时，要证存在正数X，

分析：设e是任意给定的正数．因为对

e>0，

X=，使当|x|>X时，有水平渐近线：直线y=0是函数y=的图形的水平渐近线．已知．xyO11如果，Oxy

p2p2y=arctanx例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：则直线y=c是函数y=f(x)的图形的水平渐近线．一般地，和．§1.2.3极限的运算法则一、无穷小与无穷大二、函数极限的性质与极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小与无穷大

如果函数f(x)当x

x0(或x

)时的极限为零，那么函数f(x)叫做x

x0(或x

)时的无穷小．

讨论：

无穷小的精确定义如何叙述？1.无穷小的通俗定义：所以函数x-1当x1时为无穷小．例如因为，设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)．如果

e>0，

d>0(或X>0)，

x：0<|x-x0|<d(或|x|>X)，有|f(x)|<e，那么称函数f(x)当x

x0(或x

)时为无穷小．记作无穷小的精确定义：应注意的问题:当x

x0(或x

)时为无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．讨论：

无穷大的精确定义如何叙述？2.无穷大定义：

如果当x

x0(或x

)时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，就说函数f(x)当x

x0(或x

)时为无穷大，记为铅直渐近线:

正无穷大与负无穷大:

则直线x

=x

0是函数y=f(x)的图形的铅直渐近线．xyO

x

=1是函数11-=xy的图形的铅直渐近线．

无穷小与无穷大的关系：

定理2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，)(1xf则为无穷大．

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小．3.无穷小的性质:

从而证明考虑两个无穷小的和．设a及b是当x

x0时的两个无穷小，而g

=a+b．则

e>0，取d

min{d1，d2}，则

x:0<|x

x0|<d

，同时有这就证时了g也是当x

x0时的无穷小．$d1>0，"x:0<|x-x0|<d1，有|a|<

；2e$d2>0，"x:0<|x-x0|<d2，有|b|<．2e

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论1常数与无穷小的乘积是无穷小．推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小．例如，因为，而．所以．定理1在自变量的同一变化过程x

x0(或x

)中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．无穷小与极限的关系：证明：反之，设f(x)=A+a，其中A是常数，a是x

x0时的无穷小，于是|f(x)-A|=|a|．因为a是x

x0时的无穷小，所以对于任意给定的正数e，存在着正数d，使当0<|x-x0|<d，有|a|<e或|f(x)-A|<e，这就证明了A是f(x)当

x

x0时的极限．则对于任意给定的正数e，存在着正数d，使当0<|x-x

0|<d时，有|f(x)-A|<e．令a=f(x)-A，则a是x

x0时的无穷小，且f(x)=A+a．这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小a之和．二、函数值与极限值的关系函数极限值的唯一性局部有限性极限值与函数值的同号性（保号性）取0<e<AAy=f(x)x0O

yxA-eA+ex0+dx0-dx0+dx0-d

定理1

如果，而且A>0(或A<0)，那么就存在着点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，有f(x)>0(或f(x)<0)．极限的局部保号性：证明：设A>0，取正数e

A，根据极限的定义，对于这个取定的正数e，必存在着一个正数d，当0<|x-x0|<d时，不等式|f(x)-A|<e,或A-e<f(x)<A+e成立．因A-e0，

故f(x)>0．

定理2如果在x0的某一去心邻域内f(x)

0(或f(x)

0)，而且极限的局部保号性：证明：设f(x)0．假设上述论断不成立，即设A<0，那由定理1就有x0的某一去心邻域，在该邻域内f(x)<0，这与f(x)0的假定矛盾．所以A

0．三、极限的四则运算法则

定理3如果limf(x)=A，limg(x)=B，则（1）lim[f(x)

g(x)]存在，且lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．（2）limf(x)·g(x)存在，且limf(x)·g(x)=A·B=limf(x)·limg(x)．

定理3(1)的证明：因为limf(x)=A，limg(x)=B，由无穷小与极限f(x)=A+a，g(x)=B+b，其中a及b为无穷小．于是f(x)

g(x)=(A+a)

(B+b)=(A

B)+(a

b)由本节定理1，a

b是无穷小．于是lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．关系可得

定理3可推广到有限个函数的情形，例如，如果limf(x)，limg(x)，limh(x)都存在，则由定理3有lim[f(x)+g(x)-h(x)]=lim{f(x)+[g(x)-h(x)]}=limf(x)+lim[g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)．定理3(1)的推广：推论1

如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[c

f(x)]=climf(x)．推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n

=[limf(x)]n．推论：解

1．=2·1

1解讨论：当x®x0时，多项式的极限解解

0，有理分式的极限观察：

设多项式P(x)

a0

xn

a1

xn

1

···

an，则

a0

x0n

a1

x0n

1

···

an

P(x0)．设Q(x)也是多项式，，当Q(x0)

0时，当P(x0)

0，Q(x0)

0时，=

先用x3去除分子及分母,然后取极限:解先用x3去除分子及分母,然后取极限:解解应用例6的结果并根据第五节定理2即得根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：讨论：其中a00、b00，m和n为非负整数．=．结论：

当a00、b00，m和n为非负整数时．a0b0，当n=m，，当n<m．比较：0，当n>m，

解当x

时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用．但这是无穷小与有界函数的乘积，所以

定理4设函数u=j(x)当x

x0时的极限存在且等于a即，但存在点的某去心邻域内在，且注：三、复合函数的极限运算法则检查下各题的解过程是否有误，错误的地方如何改正？解题评析：

§1.2.5极限存在准则与重要极限准则I：如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：1.准则I：

如果数列{xn

}、{yn}及{zn}满足下列条件：(1)yn

xn

zn(n=1，2，3，…)，

2.第一个重要极限：即sinx<x<tanx．因此于是如图，

AOB的面积<扇形AOB的面积<

AOD，证明：OCADB1)x

因为，令u=a(x)，则u

0，于是如果是无根据第一个重要极限，在极限)()(sinlimxxaa中，a(x)穷小就有1)()(sinlim=xxaa，需要注意a(x)不是无穷小，则)()(sinlimxxaa就不一1．的是,若定是应注意问题

解=1．

3.单调数列：如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

…

x

n

x

n+1

…就称数列{x

n}是单调增加的；如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

…

x

n

x

n+1

…就称数列{x

n}是单调减少的．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．

注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界．但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛．现在准则II表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛．准则II：

单调有界数列必有极限．4.第二个重要极限e

是个无理数，它的值是e=2.718281828459045···．还可证明界．根据准则II，数列{x

n}必有极限．可以证明数列{x

n}是单调增加并且有这个极限我们用e来表示．即

根据第二个重要极限，在极限)(1)](1lim[xxaa+中，a(x)应注意问题：如果第二个重要极限：

解令t=-x，则x

时，t

．于是

5.求极限小结利用等价无穷小替换求极限如,不可比.观察各极限是无穷小.无穷小的比较无穷小的比较不存在.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.0.10.01…0.20.02…0.010.0001…0.0010.000001…例考察时，趋于零的快慢可见最快，次之即时，是无穷小所以比趋于零快定义记作记作无穷小的比较是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;低阶的无穷小;同阶无穷小;等价无穷小,ba,设.0¹a且ab是比就说如高阶无穷小,同阶无穷小.因为二阶无穷小.无穷小的比较

k阶无穷小.阶的比较举例所以当x

0时

3x2是比x高阶的无穷小

即3x2=o(x)(x

0)

所以当x

3时

x2-9与x-3是同阶无穷小

例

例

例

所以当x

0时

1-cosx是关于x的二阶无穷小

所以当x

0时

sinx与x是等价无穷小

即sinx~x(x

0)

例

例

阶的比较举例无穷小的比较常用等价无穷小无穷小的比较定理证(等价无穷小替换定理)无穷小的比较

解

当x

0时

tan2x~2x

sin5x~5x

所以

解

当x

0时sinx~x

无穷小x3+3x与它本身显然是等价的

所以

例

例

例无穷小的比较例解等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替.给型未定式的极限运算带来方便.无穷小的比较例解

加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.注无穷小的比较例解解错无穷小的比较1.无穷小的比较2.等价无穷小的替换

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;同阶(等价)无穷小;无穷小的阶.无穷小的比较“无穷小比较”小结反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢,思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？无穷小的比较解答不能．都是无穷小,但例如不存在.故不能比较.

求解:无穷小的比较第二节极限

总结5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系6.掌握极限的性质及四则运算法则7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限，极限的求法

总结1.利用极限运算法则2.利用单调有界准则证明或求极限3.利用数列极限定义4.求数列n项