第二章 图像信号的分析与变换

第二章

图像分析与正交变换中国矿业大学信电学院主要内容2.1图像信号的数字化2.2离散傅立叶变换DFT2.3离散余弦变换DCT2.6图像的统计特性2.1图像信号的数字化数字图像处理的前提：连续图像离散化

数字图像。图像的数字化的过程：①采样；②量化。所谓图象的数字化指将代表图像的连续模拟信号转变为离散数字信号的变换过程。包括图像像素空间坐标(x,y)的网格化(即离散化采样)和光强度(即灰度)I的量化。采样：即取样或抽样，对连续变化的图像在空间坐标上作离散化的过程，选取的采样点为像素；在采样点上的函数值(或亮度值)为采样值或样值。采样为图像信号的定义域离散化。量化：原图像经采样后离散化为像素阵形,但每个像素的亮度值仍为连续量，将这些连续的无穷多个像素值离散化为有限个整数值(常用2n表示)的近似表示的操作称为量化。量化为图像信号的值域离散化。

注意：由于f(i,j)代表该点图像的光强度，而光是能量的一种形式，故f(i,j)必须大于零，且为有限值，即：0＜f(i,j)＜∞。数字化采样一般是按正方形点阵取样的，除此之外还有三角形点阵、正六角形点阵取样。正方形网格正六边形网格2.1.1图像的扫描与采样图像在空间上的离散化称为采样。图像是一种二维分布的信息，采样是在x轴(垂直方向)和y轴（水平方向）两个方向上进行。采样过程：先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序地沿水平方向直线扫描，取出各水平线上灰度值的一维扫描。而后再对一维扫描线信号按一定间隔采样得到离散信号，即先沿垂直方向采样，再沿水平方向采样这两个步骤完成采样操作。采样点间隔的选取：依据原图像中包含的细微浓淡变化来决定。一般,图像中细节越多,采样间隔应越小。对一幅图像采样时，若每行（即横向）像素为M个，每列（即纵向）像素为N个，则图像大小为M×N个像素。采样间隔2.1.2二维取样定理图像的空间采样间隔为图像频谱截止频率为图像的采样频率为

二维采样定理为（Nyguist

准则）选择适当,使大于或等于原图像覆盖频率间隔两倍时，则采样不出现重叠现象。图像满足二维采样定理则采样不会出现重叠现象。

亚取样和混叠效应亚采样：混叠效应：指取样图像频谱的各次谐波发生重叠亚采样易造成图像信号的频谱的混叠效应。采样时的注意点：采样间隔的选取。采样间隔取得不合适除了画面出现马赛克之外，还会发生频率的混叠现象。采样间隔效果示意图取样图像的数学表示：设fi(x,y)为原图像信号，fp(x,y)为采样图像信号，二维图像信号用冲激函数阵列采样则有采样图像信号为

构造一个理想的低通滤波器为低通滤波器的冲激响应为问题：如何从取样图像恢复原图像？则从取样图像恢复原图像恢复图象应该等于取样图象和低通滤波器h(x,y)的卷积.2.1.3图像的量化采样后所得各像素的连续灰度值的离散化称为量化。量化误差：若连续浓淡（灰度）值用z表示，则对于满足zi≤z≤zi+1的z值都量化为整数值qi。qi称为像素的灰度值。而z与qi的差称为量化误差。

以有限个离散值近似表示无穷多个连续量，一定会产生量化误差。由此产生量化失真。1.（等间隔量化）均匀量化设原图像灰度变化范围从r0到rk,r0最暗,rk最亮。把这灰度动态范围均匀分为k等份,每一层赋予一个固定码字:q0到qk-1。量化过程就是把图像像素样本灰度值与各层灰度判决值相比较,凡落在相邻两层之间像素赋予该层的值。等间隔量化：采样值灰度范围等间隔分割非等间隔量化：采样值灰度范围不等间隔分割一幅图像及其直方图等间隔量化效果示意图2.非等间隔量化依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度函数，对于像素灰度值频繁出现的灰度值范围，量化间隔小一些。而对像素灰度值极少出现的灰度范围，则量化间隔大一些。讨论：a．对亮度值急剧变化部分粗量化，对亮度值变化平缓部分细量化。b．估计所有可能亮度值出现概率大的亮度值细量化，概率小的量度值粗量化。c．采样点固定，自适应改变采样密度。

非等间隔量化效果示意图充分考虑到人眼的识别能力之后，目前非特殊用途的图像均为8bit量化，即用0～255描述“黑～白”。低bit量化的伪轮廓现象示意图在3bit以下的量化，会出现伪轮廓现象。

图像信号的正交变换

主要有DFT、DCT、DWT、

DHT等。

图像信号正交变换的优点：

图像数据量大，如果直接在空间域处理，则计算量大，且随着图像样点数目增加而计算量急剧增加，难以实时处理。采用图像信号正交变换，将输入图像信号从空间域转换到频率域，可以把空间域中卷积或相关运算简化为频率域相乘处理，大大减少计算量，提高处理速度，可改变难以实时处理局面。2.2离散傅立叶变换DFT

DFT的优势：①建立了离散时域（或空间域）与离散频域间关系。②DFT大大减少计算量，提高处理速度。提供的FFT算法，彻底改变难以实时处理的局面。时域（或空间域）卷积或相关运算

频率域相乘运算一维Fourier变换定义设为x的函数，若满足，那么，下列二式成立：

x为时域变量，u为频率变量，以上公式称为Fourier变换对。Fourier变换另一种形式令则是一个复数，称为的Fourier谱，称为相位谱。一维Fourier变换Fourier变换二维函数若满足绝对可积条件，那么二维Fourier变换对存在。Fourier谱：相位谱：二维Fourier变换2.2.1一维离散傅立叶变换设对1个连续信号f(x)等间隔采样得1个离散序列，设共采了N个样，则这个离散序列可表示为{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x为离散实变量，u为离散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义式中x,u=0,1,…,N-1通常傅立叶变换为复数形式，即式子中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。通常傅立叶变换也可为指数形式，即其中：通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，

(u)为f(x)的相位谱。2.2.2二维离散傅立叶变换定义二维离散信号{f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的离散傅立叶变换对为：式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

x,y为时域变量，u,v为频域变量。1.二维DFT的定义二维傅立叶变换的复数形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即二维傅立叶变换的相位谱，即2.二维DFT的性质①可分离性---二维离散傅立叶变换的实现：即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解成两次一维离散傅立叶变换运算：那么对于正变换式子可分成下面两个式子：在上式中，每个式子都为一个一维离散傅立叶变换，所以二维离散傅立叶变换F(u,v)可由f(x,y)先按行进行一维离散傅立叶变换，再按列进行一维离散傅立叶变换得到。用两次一维DFT计算二维DFT图示：②平移性质表明只要将f(x,y)乘以因子，再进行离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点(0,0)移动到图像中心(M/2,N/2)处。③旋转不变性表明如果时域中离散函数旋转

角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图(a)图表示原图像；(b)图表示原图像傅立叶频谱；(