第4章单样本决策

西南科技大学工业工程与设计系朱伏平10/24/2023110/24/20232

统计学是一门有关统计数据的科学。它提供了探索数据内在规律的一套方法，通过对数据得收集和分析，找出内在的数学规律。一般来说，包括以下几类问题：一、参数估计的基本问题(Thebasicparameterestimationproblems)未知分布函数的估计参数估计统计假设检验点估计区间估计参数估计的几类问题矩估计法最大似然估计法10/24/20233统计量是用样本构造的函数，它包含了样本中的信息，因而可以用统计量的值来推断总体参数，如均值、方差、成数等。统计量设X1,X2,···,Xn

为总体X

的一个样本,g(X1,X2,···,Xn)为一连续函数，若g中不含未知参数，为一个统计量。设x1,x2,···,xn是一组样本观察值，称g(x1,x2,···,xn)是统计量g(X1,X2,···,Xn)的一个观察值。则称g(X1,X2,···,Xn)10/24/20234点估计的概念

设

是总体X分布的未知数，是用X的样本构造的统计量，的一个观察值去估计未知参数

的真值，参数

的点估计；为

的估计量；为

的一个估计值。由于估计量是随机变量，抽取不同的样本，其取值是各不相同的。用一个特定样本对总体未知参数所作的估计，仅是所有可能估计值中的一个点，故称为点估计。

称为并称统计量10/24/2023510/24/2023610/24/20237参数的点估计(Thepointestimateparameters)常用的两种点估计方法：矩估计法和最大似然估计法。1矩估计法：基本思想：样本X1，……，Xn作为总体的一个代表，由其构成的样本一定程度上反映了总体矩，由大数定理知，样本矩依概率收敛于总体矩。因此只要总体X的K阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应的总体矩的估计量。按矩估计法，样本均值是总体均值的估计量，即：10/24/20238样本方差S2是总体方差的估计量，即：备注：矩估计法的优缺点：优点：简单、直观，并且不必知道总体的分布类型，广泛应用。缺点：首先它要求总体的k阶原点矩存在，否则无法估计；其次它不考虑总体分布类型，不利于充分利用总体分布函数所提供的信息。10/24/20239统计学中对矩的定义，所谓的k阶原点矩和k阶中心矩，对于离散情形下，是取和之后再平均；而对于连续情况，取而代之的则是积分。而原点矩和中心矩的区别就在于对数据的处理上的不同，原点矩描述的是数据在原点0处附近的特性，中心矩则描述的是数据在其平均值附近的特性，二者的关系就好比如概率论中期望与方差的关系。10/24/202310设某种元件的寿命X～N(

,

2)，其中

,

2未知，现随机测得10个元件的寿命如下(小时)1502,1453,1367,1108,16501213,1208,1480,1550,1700试估计

和

2。解：使用excel中，AVERAGE，VARP功能可得【例1】产品寿命均值和方差的估计10/24/20231110/24/20231210/24/20231310/24/20231410/24/20231510/24/2023161.无偏性为未知参数

的估计量，则称为

的无偏估计量，无偏性是对估计量的最基本要求，无偏估计将不会出现系统性的估计偏差。不难证明，对任意总体X，和样本方差S2分别是总体均值和总体方差的无偏估计。估计量的优良准则简称无偏估计。若样本均值样本比例也是总体比例的无偏估计。

10/24/20231710/24/202318有效性是衡量估计量最重要的标准。对给定的样本容量，有效估计是所有无偏估计量中估计误差最小的。是参数

的两个无偏估计，若有效；容量，是

所有无偏估计中方差最小的，是

的最小方差无偏估计，2.有效性对固定的样本若则称也称为

的有效估计。样本均值和样本比例都是总体均值和总体比例的有效估计；而对正态总体，样本方差也是总体方差的有效估计。

可以证明，对任意总体，10/24/20231910/24/202320n1n2n3n3

n2n13、一致性设是参数的估计量，对于任意给定的，当时有则称为的一致估计量。10/24/20232110/24/20232210/24/202323二、假设检验1、

参数假设检验

在总体的分布函数已知，但参数未知时，如对总体分布中的未知参数提出假设，则如何利用样本提供的信息来检验这个假设，即接受此假设还是拒绝此假设。

这类统计问题我们称之为参数的假设检验问题。参数估计和参数检验是利用样本对总体的统计特性提供的信息，建立样本的函数，即估计量或检验统计量，是从不同角度处理总体未知参数的两种统计方法。

10/24/20232410/24/202325假设检验的基本思想

设总体为，建立假设这里表示原假设，表示备择假设。假设检验问题，就是要建立一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出接受原假设（即拒绝备择假设），还是拒绝原假设（即接受备择假设）的决策。

10/24/202326判断“假设”的依据

实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。如果原假设为真，则由一次抽样计算而得的样本观测值，满足不等式此事件几乎是不会发生的。

现在在一次观测中竟然出现了满足上述不等式的样本均值，则我们有理由怀疑原来的假设的正确性，因而拒绝原假设。

若出现的观测值不满足上述不等式，此时没有足够的理由拒绝，因此只能接受原假设。

10/24/20232710/24/20232810/24/20232910/24/202330两类错误

在使用任何一个检验法(相当于确定一个拒绝域)时,由于抽样的随机性,作出的判断总可能会犯两类错误：一是假设实际上为真时,我们却作出拒绝的错误决策,称这类“弃真”的错误为第一类错误；二是当实际上不真时,我们却接受了,称这类“取伪”的错误为第二类错误。我们这里讨论的检验问题中的显著性水平控制了犯第一类错误的概率。

这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误的检验问题,称为显著性检验问题。

10/24/20233110/24/20233210/24/20233310/24/20233410/24/202335参数假设检验问题的步骤：

第一步：根据实际问题的要求,提出原假设和备择假设；第二步：给定显著性水平以及样本容量；第三步：确定检验统计量及其分布，并由原假设的内容确定拒绝域的形式（构建统计量）；第四步：

由{拒绝|为真}≤求出拒绝域；

第五步；根据样本观测值计算检验统计量的具体值；第六步；作出拒绝还是接受原假设的统计判断。

10/24/20233610/24/2023