第十讲：中学数学教学相关问题概述

第十讲：中学数学教学相关问题概述第一节：中学数学问题解决与教学

一、数学问题解决的含义及特征1.问题的含义波利亚：《数学的发现》：所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。1988年第六届国际数学教育大会上，指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境．

2.数学问题解决的含义⑴问题解决是一种过程(2)问题解决是一种教学目的(3)问题解决是一种能力(4)问题解决是一种心理活动，也是数学活动(5)问题解决是教学形式(6)问题解决是一种基本技能综合以上各种观点，我们认为对“问题解决”的理解不应仅仅把它作为一种具体的教学形式或技能，而应把它贯穿在整个数学教育之中．“问题解决”的教学目标是很明确的，那就是要帮助学生提高解决实际问题的能力，而且“问题解决”的过程是一个创造性的活动，因而是数学教学中最重要的一种活动．3.数学问题解决的特征⑴目的的指向性⑵操作序列性⑶整合性⑷迁移性

二、数学问题解决的过程模式1.波利亚模式(1)弄清问题未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图．引入适当的符号．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？（2）拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题，这里有一个与你现在问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去．

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者两者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近．你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中所有必要的概念？

⑶实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？（4）回顾你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他问题？2.奥加涅相模式前苏联数学教育家奥加涅相把解题过程分为理解问题的条件、制订解题计划、实施解题计划和研究所得的解四个阶段．

⑴理解问题的条件①开始研究问题的条件时，你应当仔细作出直观的图形、平面图、表格或者说明问题的草图，以帮助你思考问题．将问题的条件正确地用图形表示出来，意味着你对问题的整个情境有了清晰的、明确的和具体的理解．②清晰地理解问题的情境中的各个元素．一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的；哪些是所求的，即未知的．③深入地思考问题叙述中的每一个词（每一个符号、术语）的意义；尽力找出问题的重要元素，在图上用直观的符号标出已知元素和未知元素．试试能否在图上或草图上改变问题中各个元素的位置（这样做有可能发现问题中很重要的内容）．④尽可能从整体上理解问题的条件，找出它的特点，想一想以前是否遇到过与这个问题有某些类似的问题．⑤仔细想一想问题的叙述是否可以做不同的理解，问题的条件中有没有多余的、互相矛盾的东西，是否还缺少什么条件．⑥认真研究问题提出的目标．根据所提出的目标，找出哪些理论的法则同整个问题或者它的某些元素有联系．⑦如果在解题时有可能使用你熟悉的某种一般的数学方法（列方程、作几何变换、坐标法或向量方法等），尽可能地用那种方法的语言表示问题的元素（列出方程、用坐标和向量的形式表示已知关系和所求关系等）．⑵制订解题计划①想方设法将所给的问题同你会解的某一类问题联系起来．如果连这一点都做不到，那就尽可能找出你熟悉的、最适合于已知条件的一种解题方法．②问题的目标是寻求解答的主要方向．仔细分析问题的目标是什么，试试看能不能用你熟悉的某种方法去解决问题．③将所得到的局部结果同问题的条件和目标作比较，用这种办法经常检查解题的意图是否合理．试验的次数（包括思考过的和实际做过的）不要太多．

④试一试能不能部分地改变问题，换一种方式叙述它的条件，故意简化问题的条件（也就是编一道与所给问题相似的但条件比较简单的问题，再设法解它）；试一试能不能扩大问题的条件（编一道比所给问题更一般的问题），而且将与该问题有关的概念用它的定义来代替．⑤将问题的条件分成几个部分；尽可能将这几个部分构成一个新的组合（也可能出现同一问题中不讨论的东西组合到一起的情况）．⑥试一试能不能将所给问题分成一连串辅助问题，依次解答这些辅助问题就可以构成所给问题的解；对于所给问题的情境中的各个部分编一些局部性的问题，这样做当然要服从基本问题的目标．⑦研究问题的某些部分的极限情况，看一看这样会对问题的基本目标有什么影响．⑧改变问题的某一部分，看一看这样会对问题的其他部分有什么影响；根据看到的改变问题的某些部分所出现的结果，试一试能不能就问题的目标作出一个假设．⑨如果所给的问题解不出来，你可以从课本或参考书中找一道与所给问题相似的但已经给出解答的问题．仔细研究现成的解答，再尽力从中找出对解答所给问题有益的东西．(3)实施解题计划实施解题计划包括将解题计划的所有细节付诸实现，同时，通过与已知条件和所选择的根据作对比，对计划进行修正；选择叙述解答过程的方法并且书写解答，写出结果，等等．

(4)研究所得的解研究所得的解，包括对解答的最后结果进行检查分析（估算结果并进行检验），探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况和局部情况，找出最重要的知识，将新的知识和经验加以整理，使之系统化．

3.舍费尔德模式(1)问题的分析和理解

(2)解法的设计

(3)对困难问题解法的探索(4)对解进行检验4.问题解决的一般模式我国学者高文教授整合国内外有关“问题解决”过程的各种看法，提出了问题解决的一般模式，分为问题识别与定义、问题表征、策略选择与应用、资源分配和监控与评估五个阶段．

(1)问题识别与定义这是指解题者必须意识到自己正面临着一个问题，并且还应正确地定义问题．这样才有可能着手解决问题．(2)问题表征问题的表征即问题在头脑中呈现的方式，问题的表征可运用各种变化的方式，可以是语义的、表象的、图式的、图表的，既可以在头脑中编码，也可以利用纸、笔等工具编码．其表征方式会影响问题解决的难度．

(3)策略选择与应用问题解决的策略一般分成两大类：一类是规则系统，保证某一特定问题解决的一种方法或程序；另一类是发现问题解决方案的程序，是一种为获得创造性系统阐述而作为工具运用的技术．

(4)资源分配合理地分配资源是有效解决问题的关键，资源分配不当会影响问题的有效解决，有效解决问题能力的高低在很大程度上取决于能否合理地进行资源的配置．

(5)监控与评估监控可以理解为问题解决者对问题解决全过程的把握和关注，而评估则是对问题解决进程及其结果的质量作出评定．三、数学问题解决的解题策略数学问题解决的解题策略主要有以下几种：1.整体化策略2.模式识别策略3.转化策略4.辩证思维策略5.媒介过渡策略6.正难则反策略四、数学问题解决的教学途径数学问题解决教学，是教师通过创设数学问题情境，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，从而获得解决问题经验和成功体验的过程．

1.创设数学问题情境2.从问题情境中提出数学问题

⑴从推理方式角度考虑（2）从思考问题的方式考虑(3)从操作活动过程中考虑。3.分析与解决数学问题

4.安排学生的学习活动

(1)活动的顺序学生活动通常可以这样安排：①理解问题，可由学生自己读题和理解，也可以师生一起观察和磋商；②寻找问题与已有知识的联系；③讨论和个体探究，可先个体探究后讨论，也可先讨论后个体探究，也可以个体探究和讨论一起进行；④交流结果和心得．探究活动可以通过听、看、读、思考、动笔、利用计算器和计算机等方式进行．

(2)教学形式的选择问题解决教学主要通过个体探究和群体交流两种活动来进行，与此相适应的教学组织形式有全班、个人和小组三种．①全班的教学形式．②个别的教学形式．③小组的教学形式．．

5.发挥教师的主导作用教师通常扮演的是下面三种角色：(1)作为问题解决的“模型”，将自己真实的解题过程展示给学生．(2)作为“外部监控者”，其具体行为是在学生个别或小组解决问题时进行观察、询问和指导，组织班级学生对解题方案进行讨论．(3)作为学生问题解决的“助手”，其具体行为是提出问题、设计任务，并要求学生去分析自己的活动表现，指明在解题中所用数学的特点，以及帮助学生合理地建构所用的数学知识在问题解决教学中，发挥教师的主导作用应特别注意：(1)提出的问题必须掌握一个合适的尺度，难度应处在学生思维水平的“最近发展区”．(2)把学生带入问题情境后，要给学生的探索、实践提供时间和机会，教师要“延迟判断”．(3)积极帮助学生靠自己以及小组的合作发现解决问题的策略，使不同水平的学生能在问题解决的过程中获得成功的体验．第二节：中学数学思维与教学一、数学思维及其特点1.数学思维的定义数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般的思维规律认识数学内容的内在理性活动．

2.数学思维的特点

(1)数学思维的概括性

(2)数学思维的整体性

(3)数学思维的相似性

(4)数学思维的问题性二、数学思维的基本类型

1.数学逻辑思维数学逻辑思维也称数学抽象思维，它是借助数学概念、判断、推理等思维形式，通过数学语言、符号来反映数学对象的本质和规律的一种思维．

2.数学形象思维数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维．在数学形象思维中，表象和想象是两种主要形式，其中数学表象是数学形象思维的基本元素．（1）表象表象不同于感知，它是以往感知过的事物形象在人意识中的重现；表象具有直观性和概括性的特征；数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式来表现．(2)想象①再造性想象.再造性想象是根据数学语言、符号、图形、图表等提示，经过加工改造而形成新的数学形象的思维过程．②创造性想象.创造性想象是不依靠现成的数学语言和符号的描述与提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立创造出新形象的思维过程．

3.数学直觉思维

(1)数学直觉(2)数学灵感

三、数学思维的一般方法在中学数学教学中，常用的数学思维的方法主要有观察与实验、分析与综合、比较与分类、抽象与概括、归纳与演绎、特殊化与一般化、类比与猜想等．

四、数学思维的品质1.数学思维的深刻性2.数学思维的灵活性3.数学思