第四十四讲 空间几何体的表面积与体积

第四十四讲空间几何体的表面积与体积回归课本1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和,表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积S圆柱侧=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圆锥侧=πrl,S锥=πr(r+l);S圆台侧=π(r′+r)l,S台=π(r′2+r2+r′l+rl).4.柱、锥、台体的体积V长方体=abc,V正方体=a3,V柱=Sh,V锥= ,V台=

(S′+S+ )h.这是柱体､锥体､台体统一计算公式,特别的圆柱､圆锥､圆台还可以分别写成:V圆柱=πr2h,V圆锥=πr2h,V圆台=πh(r′2+r′r+r2).5.球的体积及球的表面积设球的半径为R,V球=πR3,S球=4πR2.考点陪练答案:D2.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是()答案:D3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为()答案:B4.(2010·广州一模)如果一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是()A.(80+16)cm2

B.96cm2C.(96+16)cm2

D.112cm2解析:将几何体还原,如图:该几何体是由边长为4的正方体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中,可得四棱锥的表面积为S1=4××4×正方体除去一个面的表面积为S2=5×42=80,所以此几何体的表面积答案:A5.(2010·山东临沂二模)有一个正三棱柱,其三视图如图,则其体积等于()解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角形高为2,三棱柱的高为 故体积为答案:D类型一 棱柱､棱锥､棱台的表面积､体积解题准备:求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图形的性质找到其特征几何图形,从而体现出高、斜高、边长等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等.1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为2.解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法:(1)几何体的“分割”依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几何体,进而求解.(2)几何体的“补形”有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.【典例1】如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E､F分别为AB､AC的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1､V2的两部分,那么V1：V2=________.[解析]设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.∵E､F分别为AB､AC的中点,

[答案]7：5.类型二 圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键.2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.【典例2】已知底面半径为,母线长为的圆柱,挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的表面积和体积.

[解]如图,圆柱一个底面的面积为S底=πr2=π•( )2=3π(cm3).圆柱侧面面积为:S柱侧=2π×π(cm2).所挖圆锥的母线长为 =3(cm).类型三 球的表面积、体积解题准备:球的表面积与体积都只与半径R有关,是以R为自变量的函数,一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定,反过来,给定一个球的表面积或体积,这个球的半径也就确定了.【典例3】如图,正三棱锥的高为1,底面边长为内有一个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的全面积;(2)内切球的表面积与体积.

(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连接OP､OA､OB､OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC类型四由几何体的三视图求几何体的表面积与体积解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积､体积是高考考查的热点,对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下两个方面的应用:一是数据的给出,通过三视图的长､宽､高对应出空间几何体的相关长､宽､高,从而求表面积和体积,但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征.包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.