概率论与数理统计-绪论、第一章

叶季衡华南理工大学研究生TelQ：594143564账号：gllysltjzk@163.com，密码：zkjiayou“文件中心”-“网盘”2013年10月24日概率论与数理统计绪论概率论与数理统计有什么用？概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。

引言数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

绪论通过自学考试——以教材为基础，以考试大纲为中心，达到考试要求，通过自学考试。

课程目标实际简单应用——在现实生活中简单应用概率论与数理统计知识，学以致用，甚至研究学术问题。

第一章随机事件与概率(重点)第二章随机变量及其概率分布(重点)第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征(重点)第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计(重点)第八章假设检验(重点)第九章回归分析目录（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。（2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题(15*2=30分)、计算题

(2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大致是75分和25分.试题情况第一章随机事件与概率§1.1随机事件§1.2概率§1.3条件概率§1.4事件的独立性

1.1.1随机现象

现象按照必然性分为两类：

一类是确定性现象；

一类是随机现象。

在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。§1.1

随机事件§

1.1.2

随机试验和样本空间试验的例子E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:

掷一颗骰子，观察出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:

记录某物理量的测量误差；E6:在区间上任取一点，记录它的坐标。

上述试验的特点：1.试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；2.一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性——所有可能结果是预先可知的。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常用E表示。

1、样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为Ω.样本空间2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母ω表示.下面分别写出上述各试验所对应的样本空间§1.1.3

随机事件1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等。例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。例，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。两个特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.

既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。

1.包含关系与相等：“事件A发生必有事件B发生”

，记为A

B。A＝B

A

B且B

A.§1.1.4、事件之间的关系A

BABΩ2.和事件：“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。推广：n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作显然：1.AAB，BAB；2.若AB，则AB=B。3.积事件

:事件A与事件B同时发生，记作A

B

或AB。推广：n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An显然：1.ABA，AB

B；2.若AB，则AB=A。4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件

A发生而事件B不发生显然：1.A-BA；2.若AB，则A-B=φ。5.互不相容事件（也称互斥的事件）

即事件A与事件B不可能同时发生。AB＝。ABAB=

Ω6.对立事件

A

B＝

,且AB＝

思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别.显然有：事件的运算律1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA。2、结合律：(A

B)

C=A(BC)，

(AB)C＝A(BC)。3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(AC)(B

C)。4、对偶(DeMorgan)律：

例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C都不发生；（4）A，B，C不全发生；（5）A，B，C恰有一个发生。解例1-5

某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,

i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用

A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：本节主要讲授：1.随机现象；2.随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（重点、难点）。小结§1.2概

率1.2.1频率与概率频率的性质：试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.1.2.2古典概型理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型：1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;设事件A中所含样本点个数为r

,样本空间

中样本点总数为n,则有古典概型中的概率:例1-7

掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样本点数r=3,从而解：显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},样本点总数n=6,解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},样本点总数n=8.A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例1-8抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”,B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求P(A),P(B),P(C).则P(A)=rA／n=3／8,

P(B)=rB／n=1／8,

P(C)=rC／n=7／8.例1-9

从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试求3个数字中不含0和5的概率.解设A表示“3个数字中不含0和5”.从0,1,2,…,9中任意选3个不同的数字,共有种选法,

即基本事件总数n=.

3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9共8个数中取得,

选法有,即A包含的基本事件数,则例1-10

从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.

解

基本事件总数n=92,因为第一次取数有9中可能取法,这时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”.A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9中可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8中可能取法,r=9*8,

故P(A)=r∕n=9*8∕92=8∕9例1-11

袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。解

从8个球中任意取两个,共有种取法,即基本事件总数.记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能:

全是白球或全是黑球.

全是白球有种取法,全是黑球有种取法,由加法原理

知,A的取法共

中,

即A包含的基本事件数r=

故例1-12

一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。(2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n=1002.在这种情况下，A中包含的基本事件数r仍为97*3，故

解(1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接连两次抽取共有种取法，即基本事件总数.第一次取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法，则A中包含的基本事件数是r=97*3，故计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列性质：

(3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B).

这个性质可以推广：当A1，A2，…Am互不相容时，有其中m是正整数.当A1，A2，…Am互不相容时，有1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P(

)＝1； (3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

则称P(A)为事件A的概率。1.2.3概率的定义与性质概率的性质性质1-1性质1-2

对于任意事件A,B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地,当A与B互不相容时,P(AUB)=P(A)+P(B).性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当A1,A2,…,An互不相容时：

P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质1-3P(B-A)=P(B)-P(AB).特别地,当AB时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)P(B).性质1-4P(A)＝1－P(A).性质1-5：对任意两事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-13

已知12种产品中有2件次品,从中任意抽取4件产品,

求至少取得1件次品(记为A)的概率.解设B表示“为抽到次品”,则B=A,而由古典概型的概率

求法可得例1-14

设A,B为两个随机事件,

P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,

P(AB)=0.3,

求P(B).解由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得

P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解

由性质1-5可知，例1-15

设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-16

设A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求P(AB).解P(AB)=P()=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2

小结本节课的重点：（1）古典概型事件概率的计算；（2）概率的性质及其应用.1.3.1条件概率与乘法公式例1-17

某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？§1.3条件概率1

定义：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A).定义1-2

设A,B是两个事件,且P(B)>0,称

为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)>0时，计算条件概率有两个基本的方法：一、是用定义计算；二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.例1-18

在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.解设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”,显然B

A,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,则所求概率为

例1-19盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球7个,其中3个是新球;白色球5个,其中4个是新球.现从中任取一球是新球,求它是白球的概率.解1

设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率为解2

设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由条件概率公式可得解

设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例1-20

盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.性质2

若A与B互不相容，则性质3

条件概率的性质性质1概率的乘法公式：(1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A).(2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：(1)设P(AB)>0时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).同理还有P(AC)>0，P(BC)>0之下的乘法公式.(2)设P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).例1-21

在10个产品中,有2件次品,不放回的抽取2次产品,每次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率.解设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则故例1-22

盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为例1-23

设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B).解1.3.2

全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式定义1-3

设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件：(1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n;(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分.全概率公式

设随机试验对应的样本