博弈论视角的风格与行业轮动分析报告

仅供机构投资者使用证券研究报告|金融工程专题报告组合配置新思路——博弈论视角的风格与行业轮动2023年3月5日1博

弈

论

基

本

概

念2非

合

作

博

弈

与

纳

什

均

衡3合

作

博

弈

与

Sha

pley值4实

践

—

风

格

与

行

业

轮

动21博弈论基本概念3博弈论基本概念•

博弈论使用数学模型研究博弈参与者(或称决策者)之间的竞争与合作，博弈论可以应用于政治、经济、社会、生物等诸多领域。博弈论的研究目标是帮助参与者理性决策，以找到决策的最优解、达到收益最大化。•

每个博弈中要求至少有2个参与者，每个参与者至少有2个决策选项，参与者既可以是单个个体，也可以是单个个体形成的联盟。•

本文的研究对象不是投资者之间的博弈，因为投资者行为无法定量刻画；本文研究对象是证券之间、证券和市场之间的博弈，例如特定证券和组合希望在博弈中战胜市场。通过计算博弈参与者使用各种策略的概率，相应就得到了组合中的资产权重。•

接下来我们结合大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值4个风格轮动的具体投资问题，对博弈论基本概念做进一步说明。4博弈论概念与风格轮动博弈论基本概念基本概念解释以风格轮动投资为例合作博弈中，大盘风格、小盘风格是两个参与者，它们通过协作提升联盟的收益参与者(player)博弈的决策主体非合作博弈中，大盘风格与市场基准博弈，大盘风格希望战胜市场基准；同理小盘风格也会与市场基准进行博弈大盘风格和小盘风格各有两个策略：成长或价值，例如大盘风格可以使用大盘成长和大盘价值两种策略策略(strategy)参与者的行动规则市场基准有三个策略：牛市、熊市、震荡市参与者在博弈中的知识，特

如果市场基准知道大盘风格选择的策略，那么市场基准(有关别是有关其他参与者的

大盘风格)的信息就是{成长}或{价值}参与者从博弈中获得的收益

假设大盘风格选择成长策略，市场基准选择牛市策略，此时信息(information)支付函数(payoff)结果(outcome)或效用水平大盘风格相对市场基准的超额收益/效用/其他度量博弈参与者在某种策略组合

假设大盘风格选择成长，市场基准选择牛市，此时大盘风格下产生的结果收

益1为，市场基准的收益为-1，则(1，-1)就是一个结果均衡(equilibrium)博弈达到的稳定状态，没有参与者愿意单独改变策略具体可见下文对纳什均衡的介绍资料：华西证券研究所5博弈论中的博弈分类根据不同的分类标准，可以将博弈论研究的博弈分为以下几个类型：•

零和博弈(Zero

SumGame)

VS

非零和博弈(Non-ZeroSumGame)零和博弈是指一个参与者的收益与其他参与者的损失(负收益)相等；而在非零和博弈中，全部参与者的收益之和并不等于0。•

静态博弈(Simultaneous

Game)

VS

动态博弈(Sequential

Game)静态博弈是指各个参与者同时行动，事先不知道其他参与者的策略；动态博弈是指参与者采取的策略有先后顺序，可以事先知道其他参与者的行动。•

非合作博弈(Non-Cooperative

Game)

VS合作博弈(Cooperative

Game)非合作博弈是指参与者之间存在竞争关系，每个参与者独自决策，使得自身收益最大化，参与者相关之间没有达成协议(contract)；通常所说的博弈一般是指非合作博弈。合作博弈是指参与者结成联盟，争取联盟效用最大化，并在联盟内部进行分配。合作博弈一般是非零和博弈。6博弈分类博弈分类零和博弈非零和博弈静态博弈动态博弈按收益博弈类型按行动顺序按合作协议非合作博弈合作博弈资料：华西证券研究所7博弈论与投资组合•

之所以能用博弈论解决投资组合问题，是因为两者有相似之处：

投资者希望自己选择的证券能够战胜市场基准。在非合作博弈中，也可以将每个具体证券、市场基准看做参与者，证券希望在博弈中战胜市场基准，可将超额收益视为博弈的支付，这与相对收益投资相似。

投资者需要根据投资组合中各证券的贡献分配权重，以实现收益最大化。在合作博弈中，将多个具体证券看做参与者，证券之间结成联盟后，根据参与者贡献分配权重，以实现联盟的最大利益，这与绝对收益投资相似。

在非合作博弈的混合策略纳什均衡中，参与者选择具体策略的概率，与投资中对具体证券权重的确定也有相似性。82非合作博弈与纳什均衡9非合作博弈的核心概念——纳什均衡•

纳什均衡纳什均衡是非合作博弈中的核心概念。一个博弈中，如果在其他参与者策略确定的情况下，每一位参与者当前的策略都是最优的，参与者没有动机改变当前策略，这个策略组合就被称为纳什均衡(Nash

Equilibrium)。•

纳什均衡定义对于푛名参与者的博弈퐺，记策略空间为푆

,

푆

…

…

,

푆

，参与者푖的任一策略푠

∈

푆

，参与12ꢀꢁꢁ者푖在博弈中的收益为푢

。则在博弈퐺

=

{푆

,

푆

…

…

,

푆

;

푢

,

푢

…

…

,

푢

}中，由各个参与者ꢁ12ꢀ12ꢀ的各一个策略组成的某个策略组合

푠∗,

…

…

푠∗

中，任意一名参与者푖的策略都是对其余1ꢀ参与者策略组合

푠∗,

…

푠

,

푠

,

…

푠

的最佳对策，也即∗∗∗1ꢁ−1

ꢁ+1ꢀ∗∗∗∗∗∗∗∗∗(1)풖

풔

,

…

,

풔

,

풔

,

풔

,

…

,

풔

≥

풖

풔

,

…

,

풔

,

풔

,

풔

,

…

,

풔풏풊ퟏ풊−ퟏ풊풊+ퟏ풏풊ퟏ풊−ퟏ풊풊+ퟏ对任意푠

∈

푆

和任意参与者푖都成立，则称

푠∗,

…

…

푠∗

为퐺的一个纳什均衡。ꢁꢁ1ꢀ•

纳什均衡的特点1.参与者知道对手的策略空间；2.纳什均衡仅说明参与者在他所掌握的信息下的最佳选择，并不代表他能够获得最好的回报。10纯策略与混合策略纳什均衡•

纯策略纳什均衡如果博弈的参与者只能选择一种策略，称为纯策略(Pure

Strategy)，达到的纳什均衡就是纯策略纳什均衡。纯策略纳什均衡并不一定存在。在式(1)中，当풔

和풔

只表示单一策略时，就是纯策略纳什均衡。∗풊풊•

混合策略纳什均衡如果博弈的参与者可以以某种概率分布随机地选择多个策略，称为混合策略(MixedStrategy)，达到的纳什均衡就是混合策略纳什均衡。在式(1)中，如果参与者푖不再只能选择单一策略푠

∈

푆

，而是可以在策略空间푆

中以概ꢀꢀꢀ率分布σꢀ选择多个策略，并且∗∗∗∗∗∗∗∗∗(2)퐸ꢁ~휎

[풖

풔

,

…

,

풔

,

풔

,

풔

,

…

,

풔

]

≥

퐸

[풖

풔

,

…

,

풔

,

풔

,

풔

,

…

,

풔

]풊ퟏ풊−ퟏ풊풊+ퟏ풏ꢁ~휎풊ퟏ풊−ퟏ풊풊+ퟏ풏∗풊퐸表示数学期望，对任意푠

∈

푆

和任意参与者푖都成立，就是混合策略纳什均衡。此时풔ꢀꢀ和풔풊不再表示单一策略，而是以概率分布同时出现的多个策略。11纯策略纳什均衡——囚徒困境•

在一个博弈中，有2个参与者：{푎,

푏}，策略空间为：{坦白，抗拒}。•

参与者푎,

푏的收益矩阵为如下，参与者푏参与者策略坦白抗拒坦白(3,3)(5,0)抗拒(0,5)(1,1)•

这个博弈存在纯策略纳什均衡，纳什均衡点为푎,

푏

均坦白，双方收益均为3。•

使用nashpy计算纳什均衡rps

=

nashpy.Game(np.array([[-3,0],

[-5,-1]]),np.array([[-3,-5],[0,-1]]))eqs=

list(rps.support_enumeration())混合策略纳什均衡点计算结果：[[1,

0],

[1,0]]纳什均衡状态下的两个参与者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，结果：[-3,

-3]12混合策略纳什均衡——石头

剪刀

布•

在一个博弈中，有2个参与者：{푎,

푏}，策略空间为：{石头，剪刀，布}。•

参与者푎的收益矩阵为如下，记为A，参与者푏的收益矩阵为-A参与者푏策略石头剪刀布石头0剪刀1布-11参与者-101-10•

这个博弈不存在纯策略纳什均衡，因为收益为-1的一方总是能够改变策略以提高收益。但是这个博弈存在混合策略纳什均衡：参与者以各1/3的概率使用三种策略。•

使用nashpy计算纳什均衡rps

=nashpy.Game(np.array[[0,1,-1-1],,0[

,1],

-[1,0]]));eqs

=list(rps.support_enumeration())混合策略纳什均衡点计算结果：[[0.3333,

0.3333,

0.3333],

[0.3333,

0.3333,

0.3333]]纳什均衡状态下的两个参与者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]]，结果：[0,

0]13混合策略纳什均衡计算•

达到混合策略纳什均衡时，每个参与者自身选择的不同策略具有相同的期望收益。•

在石头-剪刀-布博弈中，假定参与者A使用石头、剪刀、布策略的概率分别为푥、푦、1

−푥

−

푦，参与者B使用石头、剪刀、布策略的概率分别为푝、푞、1

−

푝

−

푞。策略概率参与者푎푥参与者푏策略石头剪刀布푝石头0푞剪刀11

−

푝

−

푞布-11-10푦1-101

−

푥

−

푦•

参与者A选择策略石头、剪刀、布的期望收益如下，且푈=

푈=

푈

，有：石头剪刀布푈=

0

∙

푝

+

1

∙

푞

−

1

∙

1

−

푝

−

푞=

−1

∙

푝

+

0

∙

푞

+

1

∙

(1

−

푝

−

푞)石头푈푈剪刀=

1

∙

푝

−

1

∙

푞

+

0

∙

(1

−

푝

−

푞)布•

可以得到푝

=

1/3,

푞

=

1/3；同理得到푥

=

1/3,

푦

=

1/3。即参与者以各1/3的概率使用三种策略。143合作博弈与Shapley值15合作博弈基本概念•

合作博弈是指若干参与者结成联盟，共同合作争取联盟效用最大化，并在联盟内部进行分配。当联盟成立后，组成联盟的参与者不再关心自己的利益，而是为整个联盟的最大利益而努力。•

我们使用

(푁,푣(푆))来定义一个合作博弈，博弈中共有푁={1,2,……,푛}个参与者，参与者的子集(包括空集和全集)可以任意结成联盟푆，푆共有2푁种组合。푣(푆):

ퟐ푵

∈ℝ是联盟푆的收益，也被称为特征函数(Characteristic

Function)。•

特征函数的性质

空集的特征函数为0，即풗

∅

=0

联盟规模越大，特征函数(联盟收益)越高，这一性质被称为超可加性(Superadditivity)。即对任意푆

⊆

N,

푆

⊆

N,

푆

∩

푆

=

∅，有푣

푆

+

푆

≥

푣

푆

+

푣(푆

)。1ꢀ1ꢀ1ꢀ1ꢀ以本文风格轮动投资为例，{大盘成长，小盘价值}投资组合可以组成一个联盟，这个投资组合的效用(可以是收益率或其他度量指标)就是它们的特征函数。16合作博弈收益的分配•

合作博弈最大的一个特点是在联盟的收益形成后，需要通过协议在参与者之间分配。我们接下来重点介绍收益的分配，因为在证券投资问题中，分配规则也决定了如何确定证券的权重，而权重分配是投资策略的最终落脚点。•

对于合作博弈

푁,

푣

푆

，푁

=

1,2,

…

,

푛

，对每个参与者푖

∈

푁,

收益分配结果为实数푥ꢀ，形成的푛维向量为푥

=

(푥

,

…

…

,

푥

)，如果푥满足：ꢁꢂσ푥

=

푣

푁

，푥ꢀ

≥

푣

푖ꢀ∈ꢂ

ꢀ(3)则称푥是联盟的一个分配(Allocation)。•

式(3)表明分配有两个特征：①所有参与者的收益分配之和不能超过全集的收益；②每个参与者通过联盟获得分配的收益不能低于他自身参与博弈应得的收益，即合作的收益不能小于非合作的收益。17收益分配中的核心•

如果一个分配푥

=

(푥

,

…

…

,

푥

)，对于全集ꢀ的任意子集푆

⊆

N，都有1푁σ

푥

≥

푣

푆(4)푖∈ꢁ

푖则称푥是分配的核心(allocation

inthe

core)。•

分配的核心的含义是：对于结成的每个联盟，分配方案应该使得联盟所有参与者的收益之和，不低于他们形成的联盟的收益。•

分配的核心——例A某合作博弈有{ꢂ,2,3}

共3个参与者，特征函数值(联盟收益)如下表所示：联盟풗

∅풗(ퟏ)풗(ퟐ)풗(ퟑ)풗(ퟏ,

ퟐ)풗(ퟏ,

ퟑ)풗(ퟐ,

ퟑ)

풗(ퟏ,

ퟐ,

ퟑ)特征函数值00000111根据分配的定义、分配的核心的定义，有：푥

≥

0,

푥

≥

0,

푥

≥

0,

푥

+

0≥푥,

푥

+

푥

≥

ꢂ,

푥

+

푥

≥

ꢂ,

푥

+

푥

+

푥

=

ꢂ1ꢃꢄ1ꢃ

ꢃꢄ1ꢄ1ꢃꢄ可以得到

푥

≥

ꢂ,

푥

≥

0,

푥

≥

0，因此分配的核心中只有一个方案：ꢄ1ꢃ푥

=

푥

,

푥

,

푥

=

(0,

0,

ꢂ)ꢄ1ꢃ18合作博弈分配规则——Shapley值•

在例A中，参与者3获得了全部收益，参与者1、参与者2收益为0。但是根据特征函数有푣

3

=

0，即参与者3仅依靠自身无法获得任何收益，因此分配方案并不合理。•

Lloyd

Shapley给出了另一种收益分配规则，称为Shapley值。根据Shapley值，每个参与者应得的收益与他对联盟的贡献正相关，而参与者对联盟的贡献是通过当他在联盟中，以及不在联盟中时联盟的收益差距来衡量的。•

令푣为特征函数值，则合作博弈中参与者푖(푖

∈

푁)的Shapley值휑ꢀ

푣

，是从联盟收益到参与者获得分配的映射，计算公式为풏

−

푺

!

푺

−

ퟏ

!흋풊

풗

=

෍[풗

푺

−

풗

푺\{풊

)](5)풏!풊∈푺其中|푆|表示联盟푆中元素的个数，푣

푆

为联盟푆的收益，푣

푆\{푖

)为联盟푆中剔除参与者푖之后的收益，则[푣

푆

−

푣

푆\{푖

)]表示参与者푖在他所参与的联盟푆中做出的贡献，联盟푆푛ꢁ

ꢂ

!

ꢂ

ꢁ1

!存在的概率为。因此参与者

푖

获得的分配等于他对各个联盟的边际贡献的푛!概率加权值。举例A中3个参与者的Shapley值，即分配结果为(1/6,1/6,

2/3)。19Shapley值的性质•

有效性。所有参与者的Shapley值之和等于全集联盟的收益，即

σ

휑

푣

=

푣

ꢀ푖휖푁푖•

对称性。如果对任意两个参与者ꢁ和푗

，以及不含ꢁ和푗

的联盟푆

，有푣

푆

∪

ꢁ

=

푣(푆

∪

푗)

，那么有휑

푣

=

휑

푣

。푖ꢂ•

虚拟参与者。如果参与者ꢁ在任何情况下都没有贡献，那么其Shapley值为0。即如果对全部푆，都有푣

푆

∪

ꢁ

=

푣(푆)，那么휑푖

푣

=

0。•

可加性。对两个特征函数푣和푢，有휑

푣

+

푢

=

휑

푣

+

휑(푢)。20Shapley值的计算•

我们计算例A中各参与者的shapley值，特征函数值如下：联盟풗

∅풗(ퟏ)풗(ퟐ)풗(ퟑ)풗(ퟏ,

ퟐ)풗(ퟏ,

ퟑ)풗(ퟐ,

ퟑ)

풗(ퟏ,

ퟐ,

ퟑ)特征函数值00000111(1,

2,

3)3名参与者一共可以形成8种联盟结果，包括空集和全集。其中包含参与者1的联盟有4个，分别是(1),

(1,2),

(1,3),

(1,2,3)。这4个联盟的特征函数值分别是{0,0,

1,

1}；当这4个联盟中不含参与者1时，特征函数值分别是{0,0,

0,

1}。则参与者1的Shapley值为：3−1

!

1−1

!3!3−2

!

2−1

!3!3−2

!

2−1

!3!3−3

!

3−1

!3!16휑1(푣)

=0

ꢀ

0

!

+0

ꢀ

0

!

+ꢁ

ꢀ

0

!

+ꢁ

ꢀ

ꢁ

!=12同样可以计算得到参与者2、参与者3的Shapley值

휑

푣

=

,

휑

푣

=

，2363并且有

휑

푣

+

휑

푣

+

휑

푣

=

푣(ꢁ,

ꢂ,

ꢃ)。123214实践—风格与行业轮动22博弈论方法的风格轮动策略•

本节使用博弈论框架完成大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值4种风格的轮动，同时也给出行业轮动的初步效果。•

我们通过倒序的方式说明博弈论投资模型的几个关键步骤：

框架最终目标是计算投资组合中的资产权重，这里采用合作博弈中的Shapley值收益分配方法。这是由于两者原理相同：对联盟贡献越高的参与者，所获得的收益分配越高；同样，对投资组合贡献越大的资产，所获得的权重分配也越高。

而若要在合作博弈中分配收益，需要先得到特征函数值，即每个参与者及参与者形成的各个联盟的贡献。这里通过计算每个联盟与市场基准的非合作博弈在纳什均衡点的收益来实现。

为了计算纳什均衡点的联盟收益，首先要选择合适的参与者、参与者策略，建立非合作博弈。23博弈论投资方法框架博弈论投资方法框架特征函数合作博弈非合作博弈2푁个联盟与市场的非合作博弈Shapley值纳什均衡资产权重资产贡献资料：华西证券研究所24非合作博弈的建立•

我们首先建立风格资产和市场基准之间的非合作博弈。•

博弈中风格资产参与者有两个：大盘和小盘；成长、价值分别被视为大盘、小盘参与者的两种博弈策略，使用巨潮风格指数表征。大盘、小盘既可以单独与市场基准博弈，也可以结成联盟后再与市场基准博弈。参与者策略A1指数代码399372.SZ399373.SZ399376.SZ399377.SZ指数名称大盘成长大盘价值小盘成长小盘价值大盘(A)A2B1小盘(B)B2•

博弈的另一方是市场基准(使用中证全指)，它能够“选择”三种策略来博弈：牛市、熊市、震荡市。•

在参与者大盘、小盘，与参与者市场基准进行的非合作博弈中，大盘、小盘的目标是战胜市场基准，市场基准的目标则是战胜大盘、小盘。25非合作博弈的收益度量•

以大盘风格单独与市场基准博弈为例，这是一个零和博弈，大盘风格的博弈收益就是市场基准的损失。•

在实际的博弈中，策略的选择依据自然是参与者对自身策略未来效果的预期，但对于量化模型回测而言，我们需要指定一种可回溯的收益度量方式。这里使用历史数据计算的效用函数휆2푈

=

휇

−

휎(6)2•

具体来说，我们分别计算大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值、市场基准，共5个资产各自的效用函数值，由于是零和博弈，因此前4个资产的效用函数值分别减去市场基准效用函数值，得到博弈的收益矩阵。•

以上方法计算的博弈收益可能<0，这将影响Shayley值计算。由于我们关注的是哪个资产的博弈收益相对更高，而不是正或者负，因此可以在收益矩阵中减去收益最小值，将收益矩阵转换为正。26非合作博弈的收益矩阵•

根据市场基准指数当前值与历史均值的关系，将市场状态划分为牛市、熊市、震荡市。•

在每种市场状态内，根据式(6)计算参与者大盘、小盘采用某种策略的效用，以及市场基准采用某种策略的效用，风格资产的收益=

푈−

푈，即收益矩阵的元素。风格基准•

收益矩阵中，每一行表代表风格资产选择的策略，每一列代表市场基准选择的策略。策略成长价值成长价值牛市震荡市熊市0.0042610.00495400.0012850.0031990.0010580.0015630.0006910.0016400.0024490.002795大盘小盘0.00136927非合作博弈的纳什均衡(1/2)•

根据收益矩阵计算纳什均衡，有以下要点：计算纳什均衡，是为了得到参与者的收益，也就是对投资组合的贡献。大盘、小盘两个参与者，可以单独，也可以结成联盟与市场基准博弈。•

大盘单独与市场基准博弈时，收益矩阵A1为牛市震荡市熊市大盘成长大盘价值0.0012850.0031990.0006910.0016400.0042610.004954•

小盘单独与市场基准博弈时，收益矩阵A2为牛市震荡市熊市0大盘成长大盘价值0.0010580.0015630.0024490.0027950.00136928非合作博弈的纳什均衡(2/2)•

大盘与小盘结成联盟与市场基准博弈时，共有4种组合：(大盘成长,

小盘成长),

(大盘成长,

小盘价值),(大盘价值,

小盘成长),

(大盘价值,

小盘价值)•

此时每种联盟博弈的收益为两个参与者的策略组合之和，收益矩阵A3为：A1A2牛市震荡市0.003140.0034860.0040890.004435熊市大盘成长,

小盘成长大盘成长,

小盘价值大盘价值,

小盘成长大盘价值,

小盘价值0.0023430.0028480.0042570.0047620.0042610.0056300.0049540.006323•

一般地，如果有푚个风格资产参与者，每个参与者푛各个有策略，则收益矩阵数量为ꢀ퐶

ꢁ

2

−

ꢂ个(不含空集)，并且收益矩阵的最大维度为푛

×

푛，纳什均衡计算量以푖ꢀꢀσ푖=1

ꢀ超过指数级的规模增长，因此对算力有很高要求。29风格资产参与者的Shapley值•

得到A1、A2、A3收益矩阵后，可以分别计算纳什均衡点，得到在给定市场基准策略的情况下，风格资产参与者的最优策略；对应的收益就是风格资产参与者的最优收益，这一结果可以作为合作博弈中的特征函数值；再根据式(5)计算Shapley值，Shapley值占比就是参与者的分配比例，即权重。特征函数值풗

∅풗(大盘)풗(小盘)풗(大盘，小盘)00.0016400.0013690.004435参与者大盘小盘0.0023530.002082Shapley值参与者权重大盘小盘53.05%46.95%30风格资产参与者的策略权重•

以上计算得到了两个风格资产大盘、小盘的权重，还需要计算(大盘成长，大盘价值，小盘成长，小盘价值)四个投资标的的权重，即参与者具体策略的权重。•

假定有参与者퐴,

퐵,

퐶，各有푛个策略，分别记为퐴

,

퐵

,

퐶

ꢀ,

ꢁ,

ꢂ

∈

(1,2,

…

,

푛)

，策略分别푖푗푘被参与者푨,

푩,

푪单独选择的概率为푥

,

푦

,

푧

ꢀ,

ꢁ,

ꢂ

∈

(1,2,

…

,

푛)

，三个参与者的Shapley푖푗푘值占比分别为푷

푨

,

푷

푩

,

푷

푪

，则每个策略在资产联盟全集中被选择的概率为푾

푨

=