几类仓室非自治传染病基本再生

几类仓室非自治传染病基本再生

数R0的计算1简介在传染病动力学中，基本再生魏0的研究是个非常重要的课题。 基本再生数是感染者在单位时间内产生新的下一代的数量。简言之，是指一个病人在平均患病期内所传染的人数。它被用来度量流行病的传染潜力，所以，基本再生数为判断疾病在种群中的流行与消亡提供了重要依据。以流感为例，如果基本再生数是4，则在平均患病期内，每个患者将感染4个易感染者，由此我们推断流感将在该种群中持续存在。一般来说，R0的值越大，疾病将越难控制。由R0定义容易看到，如果R0>1则染病者数量是增加的；如果R0<1则染病者数量是减少的。则根据结论，如果R0>1，那么疾病在种群中持续存在；反之，疾病将会消亡。关于仓室传染病模型基本再生数R0的研究，vandenDriessche和Watmough[14]给出了自治情况下仓室流行病模型(compartmentalepidemicmodels)中基本再生数R0的计算公式。Wang和Zhao[15]刻画了周期仓室传染病模型(periodiccompartmentalepidemicmodels)的基本再生数R0并且证明它是无病周期解局部稳定的阈值参数。Wang和Zhao[15]给出了几乎周期传染病模型(ODE[的基本再生数的定义和计算公式，研究了基本再生数R0和指数增长界之间的关系，并把相关结论应用到两个人口中心的片状传染病模型中。最近，Thieme[12]发展了无穷维人口结构和时间非齐次方程的谱界和再生数理论。 本文主要介绍一类仓室传染病模型(非自治情况下)基本再生数R0的发展，包括基本再生数R0的定义。 以此为基础，得到有关疾病持久和消亡理论，并由此推断出对于此类传染病的可能的预防措施。本文通过相关研究，总结了基本再生数的定义，并用实例证明基本再生数是衡量某种仓室传染病能否传播开来的阈值。2非自治传染病模型的基本再生数R02.1非自治传染病模型的基本再生数 R0的定义我们考虑一个非齐次的种群，其中个体可以通过年龄，行为，空间位置或者疾病的状态等可以划分为n个齐次的仓室。令x=(x1,x2,x)T,x注0,12nn假设所有仓室可以分为两类，易感染的仓室，记为i=1,2,...,m,以及未感染的仓室，记为i=m+1,m+2，…，n。定义XS为无病状态集合：X={x注0|x=0,i=1,2,...,m}.si令F(t,x)作为i仓室新感染者的输入率，V+(t,x)作为其他途径(如出生，ii迁移)进入i仓室的输入率，\V-(t,x)作为从i仓室的个体移出率，因此这个非自治的传染病常微分方程为：dxi:二F(t,x)—V(t,x)全f(t,x)i=1,2,...,n (2.1)dti i i其中，V=勺—+,于是我们有如下假设：iii(A1)对于1ZiZn,函数F.(t,x)，V+(t,x)，勺(t,x)在 是非负RXRni i +连续的，且关于x连续可微；(A2)存在实数①>0，对于每个1ZiZn，函数F.(t,x)，丫+(t,x)，V-(t,x)都关于t是e一周期的；i(A3)当x.=0时，.二0。特别地，当i=1,2,...,m时，若xGX，i i sV-则Vi-=0；i(A4)i>m时，Fi=0；(A5)当i=1,2,...,m时，若xGXs，则F.(x)=V+(x)=0。显然，根据(A1)，所有函数都为非负。(A2)在生物学意义上描述了一个周期性环境(如季节等)；(A3)说明，当仓室为空时，疾病是无法从仓室传染出去的；(A4)说明，未感染的仓室是无法收到感染的；(A5)说

明，如果一开始没有感染，那么该个体就一直不会受到感染。我们假设该模型有个无病平衡状态：x0(t)=(0,...,0,x0 (t),...,x0(t))T(x0(t)>0,m+1ZiZn)TOC\o"1-5"\h\zm+1 n i对于所有t，定义f二f]，…,f)T，且定义一个(n一m)x(n一m)矩阵"df(t,-0(t)))\o"CurrentDocument"M(t):= .dx.j m+1Zi,jZn我们令①“(t)作为线性周期系统型=M(t)z的基解矩阵，进一步假设xo(t)在M dt无病子空间Xs中是线性渐进稳定的，那么得到s(A6)eM(e［的谱半径p(^M0))<1。类似于([14]Lemma.1)中的讨论，我们设(F(t)0DxF(t,x0类似于([14]Lemma.1)中的讨论，我们设(F(t)0DxF(t,x0(t))=x00,DxV(t,x0(t))=x(V(t)J(t))0-M(t) ,F(t)和V(t)都是m'dF.(t,xo(t))xm矩阵,)且各自定义为(,V(t)=F(t)= i-d-j 1ZijZm且J(t)是个(n-m)xn矩阵，F(t)是非负的，的。我们令Y(t,s),t注s为线性e-周期系统dy~=一V(x)y-dx的演化算子。那么，对于sGR，mxm矩阵Y(t,s)满,(2.2)1Zi,jZmdxj-V(t)的非对角元素是非负(2.3)足ddtY(t,s)=一V(t)Y(t,s),Ft注s,Y(s,s)=I,其中，I为mXm单位矩阵。因此，(2.3)中的单值矩阵①_V(t)等于Y(t,0),t注0。我们注意到，因为死亡或迁移等原因，仓室内部个体的发展是耗散性的，且因自然死亡率或因病死亡率呈指数消亡，故我们假设(A7)p(①“(^))<1.根据上述假设，我们现在能分析流行病模型(2.1)的消亡速率。因此，我们总是假设人群总是处于周期性的无病状态x0(t)。据线性周期系统的标准理论，存在K>0皿>0使得〃Y(t,s)/ZKe—(t-s),S注s,sGR (2.4)因而得出〃Y(t,t-a)F(t-a)〃ZK/F(t-a)/e-aa,0gR,aG[0,8).(2.5)基于周期性的环境，我们设环境中传染个体的原始分布为0(s),则F(s)0(s)是在s时刻进入仓室的染病者传染的新个体的分布水平。给定t注s,那么Y(t,s)F(s)0(s)为s时刻且t时刻扔在仓室内的被感染个体的分布，因此Jt L屮(t):= Y(t,s)F(s)0(s)ds= Y(t,t—a)F(t—a)0(t—a)da0表示在t时刻以前所有0(s)中的载体传染产生的新载体的分布。 设q为序Banach空间中R至Rn中所有以e-为周期的函数集，且为最大范数7•/及正锥面C+：={GC:0(t)注0,VtGR}。于是我们可以定ee义线性算子L:CntJ有：eeJs(L0)(t)= Y(t,t-a)F(t-a)0(t-a)da,VtGR,0GCe. (2.6)受到［6,14］的启发，我们称L为感染算子，并定义L的谱半径为基本再生速率R°:二P(L) (2-7)根据⑶SPEC.5，我们有另一个关于Cn的算子：_L L(L)(t)= F(t)Y(t,t—a)0(t—a)da=F(t) Y(t,t—a)^(t—a)da.00在⑶中，L的谱半径p(L)即为本文所求基本再生数R0。令A和B为C®中两个有界线性算子，A(0)(t)= Y(t,t—a)0(t—a)da,B(0)(t)=F(t)0(t).0既然L=AB，L二BA，那么p(L)=p(L)。因此，(2.3)定义的基本再生速率与［3］中定义的基本再生数R°一致。但是，A(t,a):=Y(t,t—a)F(t—a),A(t,a):=F(t)Y(t,t—a)有着两种截然不同的生物学意义。事实上，令0GRm为t—a时感染个体的分布，那么A(t,a)0代表的是在t—a时刻仍在仓室中受感染的个体，而A(t,a)0代表的是在t时刻被t—a时刻已被感染的个体所感染的个体。在自治的情况中，我们会怀疑，基本再生数(或速率)R0是否把疾病传播的阈值特征化，也就是说，是否能因为R0<1来判断传染病目前稳定反之亦然。 为了得出一个确定的结论，我们利用线性算丑来进行一些基本的讨论。我们考虑V(t)可约，定义Vf(t)：=V(t)—€E,7€G［0,8),令E为每个元素都为1的mXm矩阵。那么对于7tGR，—V€(t)是协同且不可约的。把线性系统(2.3)中的V(t)换成Vf(t)，令卩，s)为该系统的演化算子。根据［8］中描述的扰动线性系统，存在€0>0，对于任意€G［0,€0］，Y€(t,s)与(2.4)中有相似的性质。类似的，我们定义线性算子L€代替(2.6)中的Y(t,s)，并设：当€G［0,6］时，R€=P(L)。 '€00€2.2上述非自治传染病模型的主要结论引理2.1([15]Lemma2.1)假设上述条件(A"(A7)满足，则下列叙述成立：算子L在C上是非负连续且紧致的；COlim一o+p(①f-v,①))=p(①i(®))，且"m0+R吕=R0。为了描述基本再生数Ro的特征，我们考虑如下线性少-周期方程:

0[ ](2.8)空=-v(t)+巴otGR(2.8)dt 6则有：定理2.1([15]Theorem2.1)假设上述条件(A"(A7)满足，则下列叙述成立：(i)若p(W(^,0,刀)=1有一正解人，则珀是L的一个特征值，且R0>0； (ii)若Ro>0,则久=R0是p(W(e,0,刀)=1的唯一解；(iii)Ro=0当且仅当所有的久>0，p(W(e,0,久))<1。引理2.2([15]Lemma2.2)假设上述条件(A"(A7)满足，则下列叙述成立：设对角矩阵｝V(t)为(V](t),...,Vm(t))，F(t)为(F1(t),…,Fm(t))，那么Ro=[F]；max f,1zizm [Vi]若V(t=V及F(t)=F都为常数矩阵，则Ro=p(V-iF)二p(FV)。=01定理2.2([15]Theorem2.2)假设上述条件(A"(A7)满足，则下列叙述成立：R0=1当且仅当p(①F-V(e))=1；R0>1当且仅当p(①F-V(e))>1；Ro=1当且仅当p(①F-V(e))<1。3几个非自治仓室传染病模型的计算3.1基于SEI模型的基本再生数R03・1・1 模型建立及计算我们根据流行病动力学原理，将总人群分为三个流行病学群体： S表示易感者数量，E表示被感染但未发病者数量，I表示患病者数量，设N为地区人口总数，那么易得N二S+E+1，于是我们建立如下模型：益二A-”SI-uS,dtdE=BSI+r21-(u+r1)E, (3.1)(dt 2 1didt=riE-(u+d+力+r2)1-模型中所有参数都为非负，A表示人口已入率，u表示人口自然死亡率，SEI模型传播图解d(d>u注0)表示患病死亡率，B表示该病传染率，»表示因各种因素无法得到有效治疗的比例，刃表示这些没有得到有效治疗的人数，r1表示潜伏期成为患病者的比例，r2表示该病得到有效控制的比例。把该模型四个方程相加，得到曲=a-uN-(d+刃I。那么易dt得0zNz以+N(0)e-ut，式中N(0)表示地区人口总数初值，当tT+8时,0zNzA/即0zS+E+IzAu u由方程组由方程组0二A-BSI-uS,我们容易计算出（??）的无病平衡点我们容易计算出（??）的无病平衡点Po=的定义，F和V矩阵分别为：，）00，V0=BSI+r21-(u+r])E,0=r1E一(u+d+3+r2)I.(s0,0,0),其中So=aou)(3.2)根据［14］中u+r1—r1(d+d+3+r2—r1)r1)卩So0'(u+d+3)(u+r)+ur3.2基于ODE模型津巴布韦霍乱的基本再生数R0[17]3.2.1模型建立及计算Harley,Morris和Smith[9]建立了一个常微分方程组来描述霍乱传播动力系统，依靠实验室数据，描述了霍乱病菌爆发的高传染状态，即为ODE方程：dS

dt=bN-BLSKL+BL—LBHBHKdS

dt=bN-BLSKL+BL—LBHBHKH+BHBhSdt Kl+bldR=yI—bR,dtdB口(dt=_XH，驾=泸H-叽KH+BH—bS,(Y+b)I,(3.3)其中，S，I，R分别代表易感染者，患病者和移出者。3丹和BL分别表示高传染病菌浓度(H门和低传染病菌浓度(LI)。参数PH和PL分别代表HI和LI的吸收率，kh和%分别为半饱和率，b为死亡率/出生率，x为病菌的传播率，d个体丧失免疫率，％为病菌死亡率，Y为感染者的复原率。这些参数具体数值都在[4,5,10,13]给出，kl=106cells/ml，kh=kl/700，x=(5h)T，d=10cells/ml•day，3T=(30d)-i，y=(5d)T。同L L时，我们认为b=(35yr)-i[1,2]。根据vandenDriessche和Watmough[14]的方法，我们令：dXdt(3.4)这里F表示新感染的流出率，卜表示个体进入或者流出每个类别的转化率,表示为:—PHS0BHKH+BH(y+b)IXBH-d1F=0,卜=3lBl-XBl-J卩hSkH+bhbR-yI+bS—bN[[dV ]―(X0),込0分别定义F，V为[dF]F= £(X0)，V込0X0是无病平衡点(DFE)，则再生矩阵为FV-1=因此我们可以求出代入参数后我们得到:X0=(0,0,0,N,0)t.R0-1.222.(3.5)(3.6)(3.7)3.2.2模型分析基本再生数为我们研究预防以及控制津巴布韦霍乱提供了很好的理谁据。如果我们考虑化学疗法，比如使用再生素等，根据Dietz的理论[7],必须要达到一个最小的a值才能控制霍乱传播，定义为：1a注1— .0代入计算出的R0-1.222，我们得到a注18.16%。尽管津巴布韦的医疗条件非常差，但最终还是在2009年，津