江苏省无锡市宜兴市周铁学区2017届九年级数学上学期期中试卷（含解析）苏科版

PAGE2017学年江苏省无锡市宜兴市周铁学区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．x2=0 B．x2﹣2=（y+3）2 C．x2+﹣5=0 D．ax2+bx+c=02．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=43．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程（）A．5.4（1﹣x）2=4.2 B．5.4（1﹣x2）=4.2 C．5.4（1﹣2x）=4.2 D．4.2（1+x）2=5.44．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（）A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0.5 D．方差是3.55．一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况为（）A．有两个等根 B．有两个不等根C．只有一个实数根 D．没有实数根6．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定7．下面说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．外心在三角形的内部C．平分弦的直径垂直于弦 D．等弧所对的圆周角相等8．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm29．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6 B．2+1 C．9 D．二．填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分.）11．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=．12．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是运动员．（填“甲”或“乙”）13．已知x2+x﹣1=0，则3x2+3x﹣9=．14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=°．15．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A16．已知△ABC的面积为100，它的内切圆半径为5，则△ABC的周长为．17．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM=5，BM=1，∠CMB=60°，则CD的长为．18．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为．三．解答题（本大题共9小题，共84分.需写出必要的文字说明或演算步骤）19．解方程（1）x2﹣4x=0；（2）x2﹣2x﹣8=0（3）2（x﹣1）2=3x﹣3（4）y2﹣2=4y（配方法）20．某次考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩如表所示：（单位：分）ABCDE平均分标准差极差英语828894857685618数学717269687070（1）请在表中直接填写出这5位同学数学成绩的标准差和极差（结果可保留根号）；（2）为了比较同一学生不同学科考试成绩的好与差，可采用“标准分”进行比较﹣﹣标准分大的成绩更好．请通过计算说明B同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？[注：标准分=（个人成绩﹣平均分）÷成绩的标准差]．21．在不透明的箱子里放有4个乒乓球．每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4，从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标．（1）请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果；（2）求这样的点落在如图所示的圆中的概率（注：图中圆心在直角坐标系中的第一象限内，并且分别与x轴、y轴切于点（2，0）和（0，2）两点．22．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，⊙D的半径为，∠ADC的度数为；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n=x1+x2﹣5，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由．24．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，CD=3，求BE的长．25．某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件23元的价格销售，每月能卖出270件；若按每件28元的价格销售，每月能卖出120件；若规定售价不得低于23元，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求y与x之间的函数关系式．（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润为多少？（3）若要使某月的毛利润为1800元，售价应定为多少元？26．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．①当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；②当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），①中结论还成立吗？证明你的结论；③当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，求证：AB=4PD．27．已知如图：在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．①判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；②当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；③当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市周铁学区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．x2=0 B．x2﹣2=（y+3）2 C．x2+﹣5=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是分式方程，故C错误；D、a=0时是一元一次方程，故D错误；故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．3．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程（）A．5.4（1﹣x）2=4.2 B．5.4（1﹣x2）=4.2 C．5.4（1﹣2x）=4.2 D．4.2（1+x）2=5.4【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据题意可得等量关系：5.4万吨×（1﹣降低的百分率）2=4.2，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意得：5.4（1﹣x）2=4.2，故选：A．【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．4．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（）A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣1+4+2）÷4=1；﹣1出现了2次，出现的次数最多，则众数是﹣1；把这组数据从小到大排列为：﹣1，﹣1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是=0.5；这组数据的方差是：[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（4﹣1）2+（2﹣1）2]=4.5；则下列结论不正确的是D；故选D．【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况为（）A．有两个等根 B．有两个不等根C．只有一个实数根 D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=﹣4＜0，由此即可得出结论．【解答】解：∵在方程x2﹣2x+2=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，∴该方程没有实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＜0时方程无解”是解题的关键．6．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与O的位置关系是相交．故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．7．下面说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．外心在三角形的内部C．平分弦的直径垂直于弦 D．等弧所对的圆周角相等【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；确定圆的条件．【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的性质、垂径定理、圆周角定理即可判断．【解答】解：A、错误．理由是过不在同一直线上的三点确定一个圆．B、错误．理由是钝角三角形的外心在三角形形外．C、错误．平分弦（此弦非直径）的直径垂直于弦．D、正确．等弧所对的圆周角相等．【点评】本题考查确定圆的条件、三角形的外心的性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是了解圆锥的有关元素与扇形的有关元素的对应关系．9．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心；旋转的性质．【分析】根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD=DI．【解答】解：∵I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，故C正确，不符合题意；∴=，∴BD=CD，故A正确，不符合题意；∵∠DAC=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，故B正确，不符合题意；故选D．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6 B．2+1 C．9 D．【考点】切线的性质．【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1∴OP1=AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分.）11．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=2．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】首先根据根与方程的关系，将x=0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次项系数不能为0，最终确定a的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，∴a2﹣4=0，∴a=±2，∵a+2≠0，即a≠﹣2，∴a=2．故答案为：2．【点评】此题考查了根与方程的关系．解题时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．12．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是乙运动员．（填“甲”或“乙”）【考点】方差．【分析】根据方差越小，波动越小，可以解答本题．【解答】解：∵甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），0.024＞0.008，∴乙运动员的成绩比较稳定，故答案为：乙．【点评】本题考查方差，解题的关键是明确方差的意义．13．已知x2+x﹣1=0，则3x2+3x﹣9=﹣6．【考点】代数式求值．【分析】已知等式变形求出x2+x的值，原式变形后把x2+x的值代入计算即可求出值．【解答】解：由x2+x﹣1=0，得到x2+x=1，则原式=3（x2+x）﹣9=3﹣9=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=125°．【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理．【分析】根据三角形内心的性质得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据角平分线定义得∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，然后根据三角形内角和定理计算∠BOC．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．故答案为125．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．15．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A【考点】多边形内角与外角．【分析】如图，作辅助线，首先证得=⊙O的周长，进而求得∠A3OA10==150°，运用圆周角定理问题即可解决．【解答】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，=⊙O的周长，∴∠A3OA10==150°，∴∠A3A7故答案为：75°．【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键．16．已知△ABC的面积为100，它的内切圆半径为5，则△ABC的周长为40．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】连OA，OB，OC．把三角形ABC分成三个三角形，用三个三角形的面积和表示三角形ABC面积，即可得出△ABC的周长．【解答】解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．连OA，OB，OC，OD，OE，OF．则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OE=OF=OD=5，∴S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC=×5×AB+×5×BC+×5×AC=（AB+AC+BC）=100，解得：AB+AC+BC=40．故答案为：40．【点评】掌握三角形的内切圆的性质、切线的性质、三角形面积的计算方法；根据题意得出三角形的面积=三角形的周长与内切圆半径乘积的一半是解决问题的关键．17．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM=5，BM=1，∠CMB=60°，则CD的长为2．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】连接OD，过点O作OE⊥CD，根据题意先求出OM，再由∠CMB=60°，得∠MOE=30°，再根据勾股定理求得OE，DE，由垂径定理得出CD的长．【解答】解：连接OD，过点O作OE⊥CD，∵∠CMB=60°，∴∠MOE=30°，∵AM=5，BM=1，∴OB=3，OE=，∴DE=，∴CD=2，故答案为2．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是基础知识比较简单．18．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为9π．【考点】扇形面积的计算；点、线、面、体；垂径定理．【分析】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE=AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段PD的长度，根据边与边的关系可找出PF的长度，分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，∴AE=BE=AB=3．在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°，∴PE==4．∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，AB=BC=6，又∵PE⊥AB，∴PF⊥CD，∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10．在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFD=90°，∴PD==．∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．∴S=π•PD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．三．解答题（本大题共9小题，共84分.需写出必要的文字说明或演算步骤）19．解方程（1）x2﹣4x=0；（2）x2﹣2x﹣8=0（3）2（x﹣1）2=3x﹣3（4）y2﹣2=4y（配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）把方程左边提公因式分解因式可得x（x﹣4）=0，进而可得两个一元一次方程x=0或x﹣4=0，再解即可；（2）把方程左边分解因式可得（x﹣4）（x+2）=0，进而可得两个一元一次方程x﹣4=0或x+2=0，再解即可；（3）首先把等号右边分解因式，然后移项，再分解因式可得（x﹣1）（2x﹣5）=0，进而可得两个一元一次方程x﹣1=0或2x﹣5=0，再解即可；（4）首先移项y2﹣4y=2，再两边同时加上4，进而可得（y﹣2）2=6，再开方即可．【解答】解：（1）x（x﹣4）=0，x=0或x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4；（2）（x﹣4）（x+2）=0，x﹣4=0或x+2=0，解得：x1=﹣2，x2=4；（3）2（x﹣1）2=3（x﹣1），2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）=0，（x﹣1）（2x﹣5）=0，x﹣1=0或2x﹣5=0，解得：x1=1，x2=；（4）y2﹣4y=2，y2﹣4y+4=2+4，（y﹣2）2=6，y﹣2=，解得：y1=2+，y2=2﹣．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．某次考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩如表所示：（单位：分）ABCDE平均分标准差极差英语828894857685618数学717269687070（1）请在表中直接填写出这5位同学数学成绩的标准差和极差（结果可保留根号）；（2）为了比较同一学生不同学科考试成绩的好与差，可采用“标准分”进行比较﹣﹣标准分大的成绩更好．请通过计算说明B同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？[注：标准分=（个人成绩﹣平均分）÷成绩的标准差]．【考点】标准差；极差．【专题】新定义．【分析】（1）直接根据方差以及标准差求法得出答案即可；（2）利用：标准分=（个人成绩﹣平均分）÷成绩的标准差，进而得出答案．【解答】解：（1）=（71+72+69+68+70）=70，数学成绩的方差为：S2=[（71﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（68﹣70）2+（70﹣70）2]=2∴标准差为，极差为72﹣68=4；（2）B的英语标准分=（88﹣85）÷6=，B的数学标准分=（72﹣70）÷=．∵＜，∴B同学在这次考试中，数学学科考得更好．【点评】此题主要考查了方差以及标准差和极差公式等知识，准确记忆方差公式是解题关键．21．在不透明的箱子里放有4个乒乓球．每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4，从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标．（1）请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果；（2）求这样的点落在如图所示的圆中的概率（注：图中圆心在直角坐标系中的第一象限内，并且分别与x轴、y轴切于点（2，0）和（0，2）两点．【考点】列表法与树状图法；几何概率．【专题】计算题．【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数；（2）根据点与圆的位置关系的判定方法找出点落在圆中的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）画树状图为：共有16种等可能的结果数；（2）点落在圆中的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），所以点落在如图所示的圆中的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了点与圆的位置关系．22．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为（2，0）；（2）连接AD、CD，⊙D的半径为2，∠ADC的度数为90°；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数；（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD，可求得r．【解答】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，∴D点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半径为2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠CDE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案为：2；90°；（3）弧AC的长=π×2=π，设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：r=，所以圆锥底面半径为．【点评】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定和性质、扇形和圆锥的有关计算等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键，在求圆锥底面半径时注意圆锥的侧面积计算公式利用．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n=x1+x2﹣5，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根即可得出答案．（2）根据x1+x2=﹣和n=x1+x2﹣5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案．【解答】解：（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2+12m+36﹣12m﹣36=m2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）；理由：∵x1+x2=m+6，n=x1+x2﹣5，∴n=m+1，∵当m=4时，n=5，∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．24．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，CD=3，求BE的长．【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，利用AD⊥DE可判定OC∥AD，则∠2=∠3，加上∠3=∠1，所以∠1=∠2，于是可判定BC=CF；（2）先利用勾股定理计算出AE=10，设⊙O的半径为r，利用OC∥AD可得到=，解得r=，然后求出r后计算AE﹣AB即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵DE为切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OC=OA，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴=，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，AE==10，设⊙O的半径为r，∵OC∥AD，∴=，即=，解得r=，∴BE=AE﹣AB=10﹣2×=．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会运用相似比和勾股定理计算线段的长．25．某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件23元的价格销售，每月能卖出270件；若按每件28元的价格销售，每月能卖出120件；若规定售价不得低于23元，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求y与x之间的函数关系式．（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润为多少？（3）若要使某月的毛利润为1800元，售价应定为多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）设y=kx+b，利用待定系数法确定y与x的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销量×单价利润，可得w关于x的函数关系式，利用配方法求最值即可；（3）令w=1800，得出一元二次方程，解出即可得出答案．【解答】解：（1）设y=kx+b，把（23，270）、（28，120）代入可得：，解得：即y=﹣30x+960．（2）w=（x﹣16）（﹣30x+960）=﹣30（x﹣24）2+1920，当x=24时，w有最大值1920．答：销售价格定为24元时，才能使每月的毛利润最大，最大毛利润为1920元．（3）当w=1800时，即（x﹣16）（﹣30x+960）=1800，解得：x1=22＜23（舍去），x2=26，∴某月的毛利润为1800元，售价应定为26元．【点评】本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是掌握待定系数法求解函数关系式及配方法求二次函数最值的应用．26．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．①当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；②当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），①中结论还成立吗？证明你的结论；③当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，求证：AB=4PD．【考点】圆的综合题．【分析】（1）PO与BC的位置关系是平行；由同旁内角互补即可怎么PO∥BC；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证