基于多个无标度区的多重分形谱计算方法

基于多个无标度区的多重分形谱计算方法

0多重分形结构材料的微观结构形成于材料物质基元的不断生长，决定了材料的基本性能。结果表明，材料的生长表面有一种狭窄的动力学现象，并且在一定范围内显示出不变的标度。这一现象引起了国内外研究人员的关注。材料颗粒的分布特征是定量和定量分析的重要意义。从分形学的角度来看，这种自相似、不规则的结构具有很强的分形特征，很难使用欧洲几何知识来解释。这种结构通常包含几个维数。很难用单一维数来表示结构的复杂性，因此需要对几个维数进行描述。多重分形最早由曼德尔布罗特提出并用于湍流数据的分析,是定义在分形结构上由无穷多个标度指数组成的一个集合.它可以通过谱函数来描述分形结构上不同的局域特征、或分形结构在演化过程中不同层次所导致的特殊的结构行为与特征,是从系统的局部出发来研究其整体的特征,并讨论特征参量概率测度分布规律的一种方法.多重分形提供了一种能更深入地研究材料微观结构的手段.从多重分形的定义出发,计算多重分形谱十分不方便,而借助统计物理学的知识用配分函数法则可以比较方便的求出结构的多重分形谱.因此,配分函数法是计算结构尤其是二维结构多重分形谱的常用方法.在多重分形谱中,存在着标度不变的范围问题,即对数-对数图中配分函数与尺度表现出的线性问题.图中的线性区表明在这样的区间内配分函数与尺度具有标度不变性,因此称为无标度区.对于规则多重分形,这种线性关系是严格的、无限的,故无标度区也是无限的.但对于随机多重分形,无标度区是有限的,且存在多个长短不等的无标度区.许多研究者都是尽可能的选择明显的线性关系作为计算使用的无标度区,舍弃剩余的较短小的无标度区.这些剩余的无标度区往往包含了大量的数据信息,丢弃这些数据无疑使得对结构的描述不够全面.目前很少有人讨论这些数据如何利用.本文以计算机生成的多重分形结构为研究对象,探讨了对数-对数图中无标度区包含的意义,并对如何利用各个无标度区内的数据进行了讨论.1多段基本技能1.1多重分形谱的生成设P是一个分布在某区间的质量分布或测度(如分布概率)的值,如果P(ε)在ε→0过程中,有幂次关系[11~13]若α为一常数,则α叫局部奇异指数,也叫标度指数,它控制着P(ε)的奇异性.相同的集对应的α相同,不同的集对应的α不同,将对应不同α的分形结构用一个谱函数来表示就称为多重分形,它是定义在分形集上,有多个标度指数α构成的无限集合.根据分形维数的定义,每个具有相同α的Pα(ε)子集的Hausdorff分形维数可以由给出[11~13].f(α)可以从lnN(ε)~lnε的双对数曲线在ε→0过程中的直线区的斜率求出.由α~f(α)生成的图称为多重分形谱,它描述了分形集的整体信息.1.2多重分形谱的统计物理直接从定义出发,求解多重分形谱比较困难.目前,计算图像的多重分形谱多使用配分函数法,此方法可描述如下:将图像平均分为(1/ε)×(1/ε)个小块,其中ε=1/2,1/22,…称为尺度,计算每一个小块的总灰度与图像总灰度的比值,将其作为该小块的测度,记为其中i,j=1,2,…,1/ε,nij(ε)为小块中的总灰度.对于规则的多重分形图像,根据式(1)~(3)容易推导出α与f(α)的解析表达式,但对于随机的多重分形图像,类似的表达式很难得到,因此获得多重分形谱需借助于统计物理的有关公式.定义配分函数即将χq(ε)定义为概率Pij的q次方之和.q可以从-∞~+∞,但实际上|q|达到一定程度后,再大的|q|对多重分形谱已无甚影响.根据文,q的取值应遵循一个标准,即q改变1时,Δα的改变率小于0.2%.τ(q)可以从lnχq(ε)~lnε的曲线在ε→0过程中的直线区的斜率求出.统计物理告诉我们:τ(q)~q经勒让德变换可以得到由此得多重分形谱α~f(α).2配分函数法的探讨2.1图像像素预处理规则的多重分形图像有很多种生成方法,本文的生成方法类似于一个质量分布不均匀的Cantor集的生长过程:将图像区域看做是质量为1的正方形,每操作一次,将正方形平均分成四个块,四块之间的质量比例可以任意指定;这样操作下去,直到操作的区域变成单个像素.具体算法如下:(1)取图像区域为M×M个像素;(2)将图像区域平均划分为四个小块,各小块的灰度值分别占四块总灰度的比例为a:b:c:d(从左上角的小块开始按顺时针顺序);(3)将上一步得到的每个小块分别看作图像区域;(4)执行第(2)步,直至图像区域为单个像素;(5)将得到的图像转化为灰度图像,即可得到规则的二维多重分形图像.设比例为3:2:2:3,图像大小为512×512像素,可以得到如图1(a)所示的规则的二维多重分形图像.在图1(a)的生成过程中,当循环至第七次时,如果将比例改为3:3:1:3继续执行,循环三次停止,即可得到图1(b)所示的多重分形图像.图1中的两幅图像代表了两种不同的规则多重分形.图1(a)的生长规律自始至终保持不变,为简单的多重分形;图1(b)的生长规律发生了变化,可以代表较复杂的多重分形.2.2图像质量的概率目前,利用多重分形分析的方法描述图像和结构的特征大都是用配分函数法计算多重分形谱.但是,按照这种方法计算得到的多重分形谱并不表示图像真正的多重分形特征.以图1(a)所示结构为例,我们将按照定义计算得到的多重分形谱与按照配分函数法计算得到的多重分形谱进行比较.根据图1(a)的生成过程可知,在第0层,即当尺度为ε=1/20时,整个图像被看做一个整体,其质量的概率测度为1,存在的个数为1;在第1层,当尺度为ε=1/21时,图像的四个小块分别看做整体,其质量的概率测度为0.3和0.2,存在的个数分别为2和2;依此类推,可得到图1(a)在各个尺度时存在的概率测度以及相同测度的个数,如表1所示.根据式(1)和表1可得到不同α组成的无限集合,这个集合内的元素可以用一个解析表达式表示,由式(4)和式(2)可得谱函数f(α),其中K为层数,i为第i项,当K趋向无穷大时,可得到图像的多重分形谱.由于实际计算中K取不到无穷大,因此本文在计算中取K=9,K=20,K=100,观察多重分形谱的变化(图2).K=9时的谱线表示结构本身存在的分形特征,K=20,100时的谱线表示结构按照之前的规律生长20,100次时形成的分形特征.用配分函数法分析图1(a),根据文,本文选取|q|=20,得到lnχq(ε)~lnε曲线族(图3(a)),从而可以计算出图像的多重分形谱(图2).将通过解析表达式得到的多重分形谱与配分函数法计算的多重分形谱比较,从图2中看出,配分函数法得到的谱线与结构本身存在的特征(K=9曲线)相差很大.结构生长的次数越多,其结构越接近配分法的结果.说明配分法得到的谱线描述的并不是结构本身的分形特征,而是结构按照这种规律生长到极限时的概率分布特征.2.3种谱线吻合在通常情况下,物理结构未来的生长规律是未知的,只能根据已知的规律来计算.为了模拟真实情况,在使用配分函数法计算图1(a)的多重分形谱时只利用部分数据.从图3(a)中看出,图1(a)的结构包含9层数据,现分别只利用1~5层、1~7层、1~9层的数据进行计算,得到三条多重分形谱曲线,如图4所示.根据多重分形的定义,只有当结构充分发展即无限发展时,其多重分形特征才能完全呈现,有限发展的结构与无限发展的结构的分形特征是不同的.从图4中可以看出,三条谱线吻合得很好,表明当用配分函数法计算结构的多重分形谱时,仅需要结构中较少的数据即可得到结构无限发展时呈现出的多重分形特征.说明结构中的一部分数据中已经包含了描述结构生长规律的足够信息.因此,不难发现配分函数法的一个特性:能够通过对部分数据的计算描述出结构整体的生长规律.综上所述,可以这样解释图4中三条谱线吻合的原因:配分函数法根据1~5层和1~7层数据中包含的生长规律描述出了结构无限发展时的生长规律.2.4传统方法分析利用配分函数法计算图1(b)的多重分形谱,根据式(3),(4)可以得到结构的lnχq(ε)~lnε曲线族,如图3(b).由于结构本身的生长规律在第6,7层之间发生了变化,曲线在相应位置处出现了明显的转折.取其中q=-20时的曲线进行分析,按照传统的方法,计算τ(q)时选定整个区间作为无标度区或者选择较长的直线段作为无标度区(如图5中虚线所示).图5(a)中的虚线计算的是曲线的平均斜率,图5(b)中的虚线计算的是曲线存在的某一个斜率.按照平均斜率计算得到的多重分形谱描述的是“平均规律”,显然这种规律是不存在的.按照曲线存在某一斜率计算的多重分形谱描述的是对应层次的生长规律,这种规律是存在的,但显然结构中还存在另外的生长规律未能描述出来.因此,以上两种选取标度的方法都不能合理的反映出结构的特征,传统的方法存在着不足.3结构的多分形谱由于传统的方法不能全面描述结构的多重分形特征,因此本文提出一种基于多个无标度区的多重分形分析新方法.利用配分函数法计算图1中两种结构的多重分形谱.在计算过程中,取尺度ε=1/2,1/22,…,1/29,根据式(4),得到两幅图像的lnχq(ε)~lnε曲线族,如图3所示.根据2节中的结论,lnχq(ε)~lnε曲线上任意相邻的两个数据都包含着相应的一种生长规律.为了能够完全充分描述出这些规律,需要将任意相邻的两个数据视为一个无标度区,计算谱函数.这样计算量很大,而且由于曲线中存在直线区,因此这些数据存在冗余.我们通过计算任意相邻两个数据形成的斜率来将整条曲线分段,如表2所示,其中区间的确定如图3(b)所示.从表2中看出,图3(b)的曲线族在区间6处发生了明显的转折,因此认为曲线存在两个无标度区(无标度区2和无标度区3),另根据传统方法选取无标度区1作为参照.其中标度区2和标度区3可以认为代表的是结构在“宏观”和“微观”上的信息.由式(4)~(6),可以计算出结构的三条多重分形谱(如图6).在图6(a)中,曲线A,B,C分别表示图3(a)中曲线族在标度区1,2,3内计算得到的多重分形谱,代表了结构在标度区1,2,3内的生长规律.由于图1(a)结构在整个生长过程中的规律没有变化,因此标度区1内的生长规律与标度区2,3内的生长规律相同,故图6(a)中三条谱线很接近.三条谱线中,选取任意一条即可以描述该结构的多重分形特征.在图6(b)中,曲线A,B,C分别表示图3(b)中曲线族在标度区1,2,3内计算得到的谱.曲线B,C之间有很大差异,说明结构在标度区2,3内的生长规律有很大不同,即结构在“宏观”上和“微观”上的生长规律是有变化的.这与结构本身出现的生长规律的变化一致.曲线A代表的是标度区1内的“平均生长规律”,显然这种规律在结构中不存在.因此,选取曲线B和曲线C才可以比较完整地描述出结构的这种多分形特征.总之,在计算结构多重分形谱的过程中,选取不同的无标度区,结果表示不同的局部特征.对于简单分形体,由于其生长规律单一,选取任何标度区计算的多重分谱都是相同的.此种结构的特征用一条多重分形谱即可表达.对于复杂分形体来讲,选取代表不同生长阶段的区间作为无标度区,可以得到不同阶段的详细特征.此种复杂结构要用多条多分形谱来表达.4多重分形分析方法本文在分形理论的基础上,通过详细分析配分函数法计算多分形谱的含义,得到以下结论:1)配分函数法计算的多重分形谱并不能描述结构本身的分布特征