三轴试验应力圆包络线的确定

三轴试验应力圆包络线的确定

1测定莫尔-库仑破坏准则的应用岩石轴试验的重要目的之一是获得岩石抗剪强度参数的c和内摩擦角。岩土强度准则,是判断岩土工程的应力应变是否安全的准则,需要通过对试验资料的归纳分析得到。在土力学方面和岩石力学方面,莫尔-库仑破坏准则得到了广泛的应用,并列入了岩石试验和土工试验的国家标准和行业标准中。通常岩土三轴试验后,根据轴向破坏应力σ1及相应的侧向应力(又称围压)σ3,在σ3～σ1坐标系内用最小二乘法绘制最佳关系曲线,在该曲线上选定若干组对应值,在正应力σ与剪应力τ坐标图上,以(σ1+σ3)/2为圆心,(σ1-σ3)/2为半径绘制莫尔应力圆(半圆),根据莫尔应力圆的包络线,确定岩土的抗剪强度参数。张文殊、李云安、卢允德等作者用不同方式就求解c、φ值进行了试验与研究。本文将对σ1～σ3假定为线性关系的岩土三轴试验,通过包络线定理,求证粘聚力c、内摩擦角φ的计算公式。2包络线方程的建立当σ1～σ3为线性关系时,即满足方程:σ1=σc+Κσ3(1)σ1=σc+Kσ3(1)图1为常规三轴试验所得轴向破坏应力σ1与围压σ3关系曲线,根据(1)式:σc为直线在σ1轴上的截距(零围压时的轴向破坏应力),即回归计算后的单轴抗压强度,K为(1)式中直线的斜率。图2中圆1、圆2、……,圆i为σ～τ坐标系中一组常规三轴试验所得的莫尔应力圆,圆心和半径分别为[(σ1+σ3)/2,0]和[(σ1-σ3)/2]。设莫尔圆强度包络线方程为:τ=c+σtgφ(2)τ=c+σtgφ(2)式中,σ为正应力;τ为剪应力;τ轴上的截距c为粘聚力;包络线与σ轴夹角即为内摩擦角φ。根据材料力学原理,岩石(土)内任一点的应力状态,可以用莫尔应力圆来表示。强度包络线与一组极限应力状态下的莫尔圆相切。三轴试验后,将一组(σ3,σ1)数据按最小二乘法原理拟合得(1)式中的σc和K值。按Mohr理论,只需考虑(σ3,σ1)所确定的莫尔圆的包络方程,记此圆方程为f:f(σ‚τ‚σ1‚σ3)=[σ-(σ1+σ32)]2+τ2-(σ1-σ32)=0(3)f(σ‚τ‚σ1‚σ3)=[σ−(σ1+σ32)]2+τ2−(σ1−σ32)=0(3)该三轴试验中σ1～σ3关系为方程g:g(σ1‚σ3)=σ1-Κσ3-σc=0(4)根据包络线定理:∂f∂σ1⋅∂g∂σ3-∂f∂σ3⋅∂g∂σ1=0(5)将(3)、(4)、(5)式联立,消去作为参数的σ1、σ3,即得所求包络线方程。由f式和g式有:∂f∂σ1=σ3-σ‚∂f∂σ3=σ1-σ‚∂g∂σ1=1‚∂g∂σ3=-Κ从而∂f∂σ1⋅∂g∂σ3-∂f∂σ3⋅∂g∂σ1=(σ-σ3)Κ-(σ1-σ)(6)将式(6)与(4)式联立,得σ1=12[σ(Κ+1)+σC](7)σ3=12Κ[σ(Κ+1)-σC](8)将(7)、(8)代入(3)式,得到:{2σ-12Κ[σ(Κ+1)2+σC(Κ-1)]}2+4τ2={12Κ[σ(Κ2-1)+σC(Κ+1)]}2化简后有:|τ|=Κ-12√Κσ+σC2√Κ(9)所以c=σC2√Κ(10)φ=tg-1(Κ-12√Κ)(11)公式(10)(11)成为通过岩土三轴试验(σ1～σ3为线性关系)计算粘聚力c、内摩擦角φ的通用公式。3c为c而k为c的函数,其与c、k有关由公式(10)、(11)可知,c值由σc、K计算得到,而φ值只与K相关。表1、图3和图4表示了K=1～12时,对应的c/σc值(无量纲)和φ值。也可通过φ反求K和σc:Κ=1+2tg2φ(1±1/sinφ)(12)σC=2c√Κ(13)据图3、图4,得到如下启示:①c是σc与K的双因素函数,与σc成正比,随K升高而下降。②φ只与K相关,随K增大单调升高。岩土材料K≥1,当K=1时,φ=0,例如某些饱和土不固结不排水前,岩石的K值大多在3～8之间,土与固结和排水方式有关,多为1～4。4砂岩三单轴试验强度岩土三轴试验后的计算整理过程:①同一组多件相同σ3时,计算出对应的σ1平均值;②对应不同σ3～σ1按最小二乘法回归计算,得σc、K值(注:σc拟合值与试验值小有差别);③据(10)、(11)式计算c、φ值。表2、图5、图6为一组砂岩三(单)轴试验强度数据与计算实例。表3列出几组基于岩土三(单)轴试验的σ1～σ3关系及按公式(10)、(11)计算所得到的岩土材料的粘聚力c和内摩擦角φ,数据来源中、、为引文,其余由作者单位提供。5试验数据及方法(1)基于莫尔-库仑破坏准则,提出通过岩土三轴试验计算粘聚力c、内摩擦角φ的通用公式:c=σc/(2√Κ),φ=tg-1[(Κ-1)/(2√Κ)]。此公式由包络线定理推导得出,为c、φ值的计算开辟一新途径。(2)该公式适用于σ1～σ3为线性关系的岩土三轴试验,具有表达明确,方法简单,且c、φ值可分别独立计算等优点。据分析,粘聚力c与σc成正比,随K增大而下降;内摩擦角φ只随K增大单调升高。在分析岩石的高应力区和岩土受拉区时慎用。(3)表3所列岩土三轴试验数据及计算的抗剪强度参数,选自国内矿业、石油、水利、交通、建筑等行业有一定代