单中心城市空间结构的外生变量影响因素分析

单中心城市空间结构的外生变量影响因素分析

1城市经济理论如何有效组织空间活动一直是地理、区域科学、城市和城市规划等学科科学家的研究主题之一。1960年代以来,城市经济理论取得了巨大的突破。这些理论不仅使城市经济学日趋成熟,奠定了其在宏大的经济学体系中占有一席之地,被主流经济学家承认。更为重要的是,城市经济理论成功地解释了城市空间结构及空间形态,解释了城市区位对城市土地利用强度的影响,为城市规划提供了理论依据。1960年代以来的城市经济理论突破主要以Alonso,Mills,Muth为代表,后来经Bruckner,Fujita,Wheaton等人的发展而变得更加完善。经过这些人的不懈努力,城市经济学理论体系已经形成,其理论框架,分析方法,逻辑思维方式等外延到城市政策领域的研究(Ding,Knaap,andHopkins1999;Ding1996;Knaap,Ding,andHopkins2001)。2土地调整价值的城市经济理论模型杜能的农业区位理论很好地解释了农业活动的空间分布规律。根据杜能的农业区位理论,土地地租不仅取决于区位,同时也受土地可获益能力(Profitability)的影响。对农业活动而言,土地可获益能力取决于土地的自然属性。土地级差地租的存在是由于不同区位的市场可达性不同。根据杜能的农业区位理论所依托的假设,市场可达性取决于区位的交通成本。然而,杜能的的农业区位理论及农业地租理论不能引用到城市中来。这是因为:(1)杜能的农业区位理论是建立在生产者生产理论(微观经济学中的ProductionTheory)上。也就是说,生产者通过对生产的最优组织来达到追求利润最大化这一目标。在西方,居民用地占总城市土地的70%或更高。居民用地是城市土地最主要的成份。显然,居民用地不能用生产理论来解释。同时,任何不能解释居民用地的空间分布规律的理论对城市规划,城市政策的制定没有任何实际意义;(2)根据杜能理论,土地可获益能力对土地级差地租的形成起很大作用。在土地获益能力高的区位上,农业活动的产量高,进而地租也高(Richard的残差地租理论)。然而,在城市里,土地的自然属性对城市活动的影响几乎可以忽略不记。土地的自然属性能够对城市发展起作用也许会体现在它是影响城市土地发展成本(UrbanLandDevelopmentCosts)中的一个因子。除非极个别的情况下,现有的技术条件下城市土地发展成本大体上空间不变。对城市居民而言,土地可获益能力意义不大。为了更好地规划城市发展,提高土地利用效率,我们需要理论来解释城市空间分布规律,了解城市土地地租(土地价格)与城市发展,土地利用等的关系。Brueckner(1987)的城市经济理论模型及应用。在模型中,假定城市的商业中心(CBD)座落于一个均质平原的几何中心。所有就业机会都集中在它的CBD,而城市居民住在CBD的外围,他们通勤到CBD。假定交通是均质分布,城市居民从居住地到CBD的总交通费用就只决定于距离(x)。进一步假定所有城市居民具有相同的收入、消费倾向和效用函数。为简化分析,城市居民的效用函数(Utility)有两个要素:即住房消费(q)和其它所有消费(c)。将其它所有消费组合成一个要素使下面的分析简化而不影响我们要分析的现象。这是因为住房消费是研究城市居住用地的关键。效用函数用v(c,q)来表示。城市居民通过选择最优的消费组合(q,c)来使他们的满意度(UtilityLevel)达到最大值(效用函数最优化)。城市居民的满意度随着住房消费和其它消费的增加而提高。一定的可支配收入限制了城市居民的住房和其它消费的无限提高。为保证最优解的存在,效用函数可二次求导且是凹函数(见微观经济学的消费者理论,城市经济学能被主流经济学家承认的原因之一是城市经济理论是从微观经济学理论发展和演变而来)。maxv(c,q)=u(u是城市居民满意水平,是外生变量)(1)这个优化问题有一个限制条件——预算约束(BudgetConstraint):城市居民总的住房消费和其它所有消费等于居民总的收入。定量上,设城市居民居住地离CBD的距离为x,居民的可支配收入为y,t为单位距离的交通通勤成本(CommutingCosts),tx代表总的交通费用,p代表单位住房价格,pq是总的住房消费。假定其它消费品的价格为1,预算约束表示为:y=c+tx+pq(2)从(2)中解出c然后将其代入(1),得:maxv(y-tx-pq,q)=u(3)空间均衡条件要求u是空间不变的。也就是说,城市居民无论住在哪里,他们有同样的满意度。如果不是这样的话,城市居民将可以通过移民到其它区位来提高满意度,进而影响该区位住房的供需平衡,降低住房价格,最终达到满意度空间无差异这一状态。(3)式的优化问题简化成对q的求极值。(3)式极值的必要条件是:-∂v(y-tx-pq,q)∂pq⋅∂pq∂q+∂v(y-tx-pq,q)∂q=0(4)从(4)式得出:v2v1=p(下标表示偏微分)(5)图1解释了(2)式和(3)式的解。当满意水平(u)一定时,先画无差异曲线(IndifferentCurve)。c轴的截距是y-tx。从c轴的截距划预算约束方程,使其与无差异曲线正切(tangent)。预算约束方程的斜率为-p。切点代表最优的住房消费量。图1也说明了不同满意水平和预算约束条件对最优的住房消费量的影响(更详细的分析在后面)。下面用比较静态分析方法(ComparativeStaticAnalysis)对模型进行分析。在这个极值问题上,外生变量为:x,y,t,而内生变量是p,q。比较静态分析将揭示外生变量如何影响内生变量。或者说,内生变量如何随外生变量的变化而变化。·城市区位(x):以x为参变量对(3)进行全微分,得:-v1(t+q∂p∂x+p∂q∂x)+v2∂q∂x=0(6)将公式(4)代入公式(6)得:∂p∂x=-tq<0(7)公式(7)表明随着距城市中心区(CBD)距离的增加,房屋价格下降(图2)。这一规律可从图1得到证实。假设我们从区位x0移至x1(距CBD距离的增加),c轴的截距将下降,使预算约束线顺逆时针沿无差异曲线旋转(保持二线相切),新的相切点表明房屋价格下降(预算约束直线的斜率下降(绝对值)),住房消费量上升(q0至q0′)。这表明随距离的增加,人均消费量将上升。因为满意水平是恒定的,住房消费量的上升与价格下降间存在替代效应。理论上,我们有:∂q∂x=∂q∂p∂p∂x=η∂p∂x>0(8)式(8)中,η<0,表明在满意水平不变下需求曲线的斜率(或者η=∂q∂p)。这些结论在感性认识上也成立。住在离城市中心远的居民要花更多的钱在交通通勤方面。为了保持空间均衡(城市居民不论住在哪里,他们都有同等水平的满意度),住在离城市中心远的居民必须有低的房屋价格来补偿高的交通通勤费用。·居民收入(y):对(2)求y的全微分得:v1dy-qvdp=0或者∂p∂y=1q>0(9)从(9)式我们可得到:∂q∂y=∂q∂p∂p∂y=η∂p∂y<0(10)式(9)和(10)我们得出如下结论:房屋价格下降随收入的增加而上涨,住房消费量随收入的增加而下降(图3)。收入的增加使c轴的截距上移(从y0-tx移至y1-tx,y1>y0)。预算约束直线将顺时针方向沿无差异曲线旋转(保持二线相切),新的相切点表明房屋价格上升(预算约束直线的斜率上升(绝对值)),住房消费量下降(q1至q0)。·城市交通费用(t):同理,对(2)求t的全微分得:-xv1dt-qv1dp=0或者∂p∂t=-xq<0(11)从(11)式我们可得到:∂q∂t=∂q∂p∂p∂t=η∂p∂t>0(12)式(11)和(12)我们得出如下结论:房屋价格下降随交通通勤费用的增加而下降,住房消费量随收入的增加而上升(图2)。交通通勤费用的增加使c轴的截距下移(从y-t0x移至y-t1x,t1>t0)。预算约束直线将逆时针方向沿无差异曲线旋转(保持二线相切),新的相切点表明房屋价格下降(预算约束线的斜率上升(绝对值)),住房消费量上升(q0至q0′)。下面来研究房屋价格空间递减规律的特性。对(7)求二次偏微分得:∂2p∂x2=tq2∂q∂x>0(13)式(13)说明房屋价格空间递减是一凹函数。图4说明了这一特性。3城市土地价格和空间变化规律3.1住房生产函数的改进假设房地产商开发土地使非城市用地转变成城市用地。房地产开发商的目标是获取最大利润。利润决定于收入和成本。收入等于单位住房价格乘上总建筑面积。假设房地产开发商的经济活动用住房生产函数H(N,L)来度量,其中H为建筑面积[m2](建筑面积衡量房地产开发商的产出(OUTPUT)),N为资本投入,L为土地投入。这样,房地产开发成本有两项:土地成本和资本成本(劳动力,建筑材料,管理等等都可打入资本成本)。从投资的角度来看,资本成本等于银行利息乘以总资金。土地成本等于地租乘以总土地投入。按照Brueckner(1986)的理论模型,该住房生产函数有如下特性:(1)土地与资本间的完全可替代性。因为同样的住房产出可以通过不同比例的土地投入和资本投入来实现,所以认为土地和资本是可以替代的;(2)规模经济不变。规模经济不变的特性说明如果资本投入和土地投入都成倍增长,则住房产出量也会同倍数增长;(3)HN(N,L)>0,HL(N,L)>0说明资本投入和土地投入的边际产出率均为正;(4)生产函数是凹函数且可二次求导(H″<0),这个条件保证最大利润的存在。房地产开发商的目标函数表示为:J=pΗ(Ν,L)-rL-iΝ(14)其中,J为利润;p为单位面积的住房价格;r为单位面积的土地价格;i为利息率(利息率不随住房位置变化而变化);pH(N,L)为住房生产的总收入;rL为土地成本;iN为资本成本;房地产开发商通过最优的N和L来使J达到最大值。最优的N和L选择取决于土地和资本的价格。上述模型说明,土地和资本的价格是外生变量(endogenousvariables),而土地和资本的投入是内生变量(exogenousvariables)。内生变量决定于外生变量,而不是外生变量决定于内生变量。既然住房生产函数具有规模经济不变的特性,式可以转化为:J=L(pΗ(Ν,L)/L-r-iΝ/L)=L(pΗ(Ν/L,1)-r-iΝ/L)(15)如果用S表示资本密度(N/L)——单位土地面积的资本投入(在本文中,资本密度,容积率,建筑高度这三个概念,在土地投入及技术一定的前提下,可相互替换)。公式(15)可以表示为:J=L(ph(S)-r-iS)(16)其中,h(S)≡H(S,1)表示单位面积土地投入的住房面积产出,函数h满足:h″(S)≡HSS(S,1)<0.为了达到利润最大化,式(16)可以转化为求单位土地投入时的极值问题。这样,问题就变为求最优的资本密度S,使得利润(J)最大。求式(16)极值的条件(必要条件)是:ph′(S)=i(17)在完全竞争的市场条件下,利润为0,这样式(16)转化为:ph(S)-iS=r(18)所以,资本密度(S)函数可以表示如下:S=S(p,h,i,r)(19)方程(19)说明资本密度(资本-土地比率,容积率)由住房价格(不同位置价格不同),住房生产函数(不同技术条件,生产函数不同),利息率(与国家宏观经济政策相关)以及土地价格等共同决定;以x为参变量对公式(17)和(18)全微分运算,得:h′∂p∂x+ph″∂S∂x=0(20)(ph′-i)∂S∂x+h∂p∂x=∂r∂x(21)由以上两式可以得到:∂S∂x=-h′ph″∂p∂x<0(如前所述∂p∂x<0,h″<0,andh′>0))(22)∂r∂x=(ph′-i)∂S∂x+h∂p∂x=h∂p∂x<0(如前所述ph′(S)=i)(23)从公式(22)及(23)推导出资本密度及土地价格均随住房距城市中心距离增加而减小(图1),资本密度随距离增加而减小。这一规律表明开发商随距离增加将增加土地投入,替代资本投入,导致资本密度(住房容积率)下降。图5显示了土地与资本间相互投入关系。图5中,H(N,L)表示的是住房生产函数。B1和B2表示的是土地和资本不同的成本。在B1线上,土地价格为r1,资本价格为i,在B2线上,土地价格为r2,资本价格为i(资本价格在空间上不变),两线的斜率表示的是土地与资本间相对价格。就是说,B1的斜率是-1/i,而B2的斜率是-2/i。很显然,r1大于r2。S1点表示的是,如果我们有B1所表示土地与资本间相对价格,模型大最优解是S1点,即最佳的土地和资本投入为N1和L1。同理,S2表示,如果我们有B2表示土地与资本间相对价格,模型大最优解是S2,即最佳的土地和资本投入为N2和L2。显然,r1大于r2,N1/L1>N2/L2。也就是说,当土地价格上升时,资本替代土地,提高资本密度(容积率)。由于∂r∂x=h∂p∂x,我们可以推出:∂r/∂xr=hr∂p∂x=phr∂p/∂xp=pΗrL∂p/∂xp=iΝ+rLrL∂p/∂xp(24)从公式(24)推导出∂r/∂xr∂p/∂xp=iΝ+rLrl=iΝrl+1>1。上式的右边是弹性系数。弹性系数大于1,说明住房价格每下降1个百分点,土地价格下降的百分点大于1。就是说,随着城市中心距离x的增加,土地价格比住房价格下降的更快。由此得出土地价格与住房价格的比例随着城市中心距离x的增加而下降。同理,因土地价格随着城市中心距离x的增加而下降。可以说,土地价格与住房价格的比例随着土地价格的下降而下降,随土地价格的上升而上升。将式(22)代入方程(23)可得:以S为参变量对式(25)微分得该式表明只有当h′(S)为常数时,r和S之间才是线性关系,但是前面已经假设h′(S)>0和h″(S)<0,所以r和S之间不可能是线性关系。即土地价格和建筑容积率之间存在非线性的关系得到证明。上述分析公式(14)-(26)得出如下结论:(1)土地与资本间的可替代性是达到土地市场效益的前提条件之一;(2)地价影响容积率,而不是容积率决定地价,地价上升将提高容积率。开发商通过选择土地和资本最佳投入水平来获取最大利润。他们的决策变量是土地和资本最佳投入,当他们决定土地和资本投入时,他们也就决定了容积率(容积率是资本投入与土地投入之比,或是资本投入与土地投入之比的函数)。土地和资本投入量取决于它们的相对价格。在其它因子不变的假设下,当地价上升时,资本变得相对便宜,开发商为获取最大利润,将增加资本使