2021年全国高考文数真题试卷（全国乙卷）(答案+解析)

2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则品（MUN）=（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

2设.iz=4+3i,则z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3•已知命题p：xGR,sinx<l：命题q：xGR,elxl>l,则下列命题中为真命题的是(

3V

A.pqB.pqC.pqD.(pVq)

A-iAA-i-1

4.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）

XX

33

A.3和B.3和2c.和D.

⑰K6冗收

K6兀

5.若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）

x+y>4

[x-y<2

y<3

A.18B.10C.6D.4

6.()

cos,-7-T---coso'—S7T=

1212

A.B.C.D.

1V3三吏

232

7.在区间（0,）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）

11

23

A.B.c.D.

31i

4336

8,下列函数中最小值为4的是（）

A.B.c.D.

„=%24-2%+4_X2.4y=2*+22r

yy=\nx+

/1'|sinr|

9.设函数,则下列函数中为奇函数的是（）

Kx）春

A.B.C.D.

KxT)Tf(x-i)+iKX+I)TKx+D+i

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为（）

A.B.C.D.

7T£7T"

346

11.设B是椭圆C：、的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

=+*=1

A.B.C.「D.2

5y/6y/5

12.设awO,若x=a为函数,的极大值点，则（）

Kx）=a（x-a）2（x—b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）

13.已知向量a=（2,5）,b=（入,4）,若7,则入=________.

a//b

14.双曲线的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.

--i-=1

45

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为，B=60。，a2+c2=3ac,则b=.

V3

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则

所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为SP和S2?

Xy

(1)求，，S?,S22；

xy

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果_-2,则认为

?"2再

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD,M为BC的中点，且PBAM.

11

(1)证明：平面PAM平面PBD；

1

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.

19.设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，3,9成等差数列.

&}{“〕b=吗%aa

n223

(1)求和的通项公式;

(2)记和分别为和的前n项和.证明：<

5n及

20.已知抛物线C：F到准线的距离为2.

yz=2px

(I)求C的方程.

(2)已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足一一，求直线0Q斜率的最大值.

PQ=9QF

21.已知函数,,

/,(%)=%3—x2+ax+1

(1)讨论的单调性；

”吗

(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.

y=/(x)y=f(x}

四、［选修4-4：坐标系与参数方程］(共1题；共2分)

22.在直角坐标系xOy中，(:的圆心为C(2,1),半径为1.

O

(1)写出C的一个参数方程；

O

(2)过点F(4,1)作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两

O

条直线的极坐标方程.

五、［选修4-5：不等式选讲］(共1题；共2分)

23.已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=l时,求不等式f(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.

2021年高考文数真题试卷(全国乙卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。(共12题；共51分)

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu(MUN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】A

【考点】交集及其运算，补集及其运算

【解析】【解答】因为11={1,2,3,4,5},集合乂={1,2}川={3,4}则MUN={1,2,3,4},

于是Cu(MUN)虫5}。

故答案为：A

【分析】先求MUN,再求Cu(MUN)。

2.设iz=4+3i,则z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】因为iz=4+3i,所以Z=

故答案为：C

【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。

3.已知命题p：xGR,sinx<l；命题q：xGR,elxl>l,则下列命题中为真命题的是()

3

A.pqB.pqc.pqD.(pVq)

A-iAA-,-i

【答案】A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用

【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题P，q的真假，然后判断选项的真假。

4.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是()

X

A.3和B.3和2C,和D.和2

兀丫2K6兀迎6兀

【答案】C

【考点】正弦函数的图象，y=Asin(3X+巾)中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最

值

【解析】【解答】因为f(x)=sin+COS=，所以周期值域LL

isin《+37=答=6*[-V2,V2].

即最大值是「

V2,

故答案为：C«

【分析】先将f(x)解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函

4sin(cox+(p)

数的性质，得到它的最大与最小值。

5•若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为()

x+y>4

(x-y<2

y<3

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】作出线性约束的可行域(如图阴影部分所示区域)，

故答案为：C

【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。

6.()

RTZ957r

COS'------COS*—=

1212

A.B.C.D.

V3V2吏

2

【答案】D

【考点】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】因为§

cos^-cos^=匕吧0_+。依/=三x_cos巧=三

工412222、6672

故选D。

【分析】由降基公式，可以化成特殊角的三角函数求值。

7.在区间(0,)随机取1个数，则取到的数小于的概率为()

A.B.C.D.

3211

4336

【答案】B

【考点】几何概型

【解析】【解答】由几何概型得：P=,

L_2

故答案为：B

【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。

8.下列函数中最小值为4的是()

A.B.C.D.

=x2+2x+4归位|+号y=2*+22-*

y=lnx+

y''|sinx|y^

【答案】c

【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质,

基本不等式

【解析】【解答】对于A：因为y=(x+l)2+3,则ym『3;故A不符合题意;

对于B：因为，设t=|sinx|(_)，则y=g(t)=由双沟函数知,

y=|siM+岛t«oi]t+j(o<t<i)

函数y=g(t)=是减函数，所以ymin=g⑴=5,所以B选项不符合;

t+^(O<t<1)

对于C：因为_____当且仅当时"="成立,

V=2*+22-x=2x+±->2=4,2x=^=>x=l

x"之x2

y2\2

即ymin=4,故C选项正确;

对于D：当时，<0,故D选项不符合，

xe(0,1)1,4

yf+嬴

故答案为：c.

【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值,

判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D举反列说明其不符合。

9.设函数，则下列函数中为奇函数的是()

心)=缶

A.B.C.D.

f<x-1)-1Kx-1)+1Kx+1)TKx+D+l

【答案】B

【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】对于A：因为h(x)=f(x-D-l,则h(-X)h(X),

1—(工一2)

-1=:-2,4(-x)=一：-2,

所以h(X)不是奇函数，故A不符合;

对于B：因为h(x)=f(x-l)+l,则h(・X)=h(X),所以h(X)是奇函数,故B符合;

1-(X—1)

+1=：,4(-%)=—

对于C：h(x)=f(x+l)-l,则h(-X)土h(X),所以C不符

=阳一1=W一2，武一盼=±一2,

合;对于D：h(x)=f(x+l)+l,则h(-X)工h(X),故D不符合.

2

=洸言+1=崇5=-“+2,

故答案为：B.

【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算M-x),与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。

10.在正方体ABCD-AiBiJDi中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为()

A.B.C.D.

7T

6

【答案】D

【考点】直线与平面所成的角

【解析】【解答】如图，连接AC,设AC与BD交于0,连接0Di,ADi,BP,设正方体的棱长为X,

因为DiP||0B||BD闰DiP=B0=BD,所以四边形ODiPB是平行四边形,所以BP||ODi,所以

1ZAD^O

2

即为所求的角，易证平面BDDiBi,故0%又，所以=.

A01A01AO=-AC=-AD,4Di°工

2216

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

11.设B是椭圆C：.的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()

9+*=1

A.B.C.D.2

展

【答案】A

【考点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题意知B(0,l),设P(x,y)贝！J|PB|2=(x-0)2+(y-l)2=x2+y2-2y+：L=5(：l-y2)+y2-2y+：l

=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+，因为所以当时，|PB『max=，此时，|PB|max

±5-l<y<l,v=_l£5

故答案为：A

【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P（x,y）,再用两点间的距离公式，表示出|PB|,再用本文法计算

|PB|的最大值即可。

12.设a*0,若x=a为函数,的极大值点，则（）

Kx）=a（x-a）'（X-b）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则（如图1）,必有a<b,ab<a2.故B,C项错；

当a<0时，若a为极大值点，则（如图2）,必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）

13.已知向量a=（2,5）,b=（X）,若,则入=______.

a//b

【答案】

9

【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线(平行)的坐标表示

【解析】【解答】因为一=(2,5),=(入,4),且―一,则则

a-a//h2x4—52=0

b

【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。

14.双曲线的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

Ui

45

【答案】l

V5

【考点】直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以C2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0),则右焦点

(3,0)到直线x+2y-8的距离为.

,_134.2X0-91_7F

一^/l7+27-”

【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为，B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

【答案】

2V2

【考点】余弦定理，三角形中的几何计算

【解析】【解答】

S^BC=-acsinB=-acsin60°=—ac=y/3=>ac=4,

224

于是______________________________,_

b=y/a2+c2-2accosB=Va2+c2—ac=\2ac=2V2

【分析】根据面积的值，计算出ac,再由余弦定理求解。

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图,

则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

【答案】②⑤或③④

【考点】由三视图还原实物图

【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

I日设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为Si?和S2?

xy

（1）求，，S?,S22；

无y

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果->,则认为

y尤

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）解：各项所求值如下所示

=（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）=10.0

(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

y2.

x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

.=x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

（2）由⑴中数据得

显然-V2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数再直接用公式计算si2，S22；

(2)由(1)中的数据，计算得：一-=0.3,2=0.34，显然一-<2,可得到答案。

yX目运yX目运

\10\10

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD,M为BC的中点，且PBAM.

11

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.

【答案】(1)因为底面平面

PD1ABCDAMuABCD

所以

PDLAM

又，

PB1AMPBc\PD=P

所以平面

AM1PBD

而平面

AMcPAM

所以平面平面

PAM1PBD

(2)由(1)可知，平面，所以

AM1PBDAM1BD

从而，

ADAB~AABM

设，，则

BM=xAD=2xBM_AB

AB-AD

2x2=1

解得，所以

AD=>/2

因为底面

PD1ABCD

故四棱锥的体积为

P-ABCD7=|x(lxV2)xl=^

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以证明平面，从而可能

AM1PBD

证明

平面平面；

PAM1PBD

（2）由连接BD（1）可得，证明通过计算，求出高，再用棱锥

AMLBDADAB~△ABMAD=

体积公式直接得到答案。

19.设是首项为1的等比数列，数列满足，己知，3,9成等差数列.

{5}b=吗%aa

nq23

(1)求和的通项公式;

{4}

(2)记和分别为和的前n项和.证明:<

SnTn

2

【答案】（1）因为是首项为1的等比数列且,成等差数列,

{/}%3a29a3

所以，所以，，

6a2=%+9%6alq=%+9%q2

即，解得，所以

9q-6q+i=。l册

q=（犷

所以

（2）证明：由（1）可得

Sn

①

所以

Tn=；(1_立_魇

所以

T—1=-fi——)——_——a(1_二_)=——L<0

712八2-3n八3nJ23n

所以^

7；<7

【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和

【解析】【分析】由，，成等差数列，列关系式等比数列的公比q,进而得到

%3az9a3{%}an

再由与的关系求得

bnanbn；

(2)先根据条件求得，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明<

Sn

20.已知抛物线C：,(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

y2=2px

(1)求C的方程.

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点Q满足求直线OQ斜率的最大值.

PQ=9QF

【答案】(1)抛物线，的焦点，准线方程为

C：y2=2px(p>0)

FPx=--

(0)2

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为

：_(一”P=2

所以该抛物线的方程为“；

y2=4x

(2)设，则一一，

。。，%)

QPQ=9QF=(9-9x0-9y0)

所以

P(10xo-9.10yo)

由在抛物线上可得,,即

2

P(10yo)=4(10x0-9)

所以直线的斜率

001•一也一为_如。

_X。一_25^+9

10

当时，，c；

y°=0k°Q=0

当时,

y0*0

当时，因为_______

%>°25y0+^>2/25yo-^=30

此时，当且仅当，即时，等号成立;

o<L；25yo=*y0=1

当时，，八；

%<0"oQ<°

综上，直线的斜率的最大值为.

0Q1

【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系

【解析】【分析】(1)根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；

(2)先设出Q的坐标M(x°,yo),在代入已知等式一一，用(x°,y。)表示出，再代

PQ=9QFP(10xo-9,10yo)

入抛物线方程，推导出x。，y。的关系，再表示出0Q的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即

可。

21.己知函数,„

/,(x)=%3-%2+ax+1

(1)讨论的单调性:

作)

(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.

y=f(乃y=f(%)

【答案】(i)由函数的解析式可得：，，

f(%)=3x2-2x+a

导函数的判别式，

4=4-12a

当时，，在R上单调递增，

d=4-12a<0,a>-/'(%)之°，/。)

3

当时，，的解为：

4=4-12a>0,a<-fGO=0%]=[，"->口孙=色

36

当时,单调递增;

f(%)>0J(x)

当时,单调递减;

2-V4-12a2+V4-12O.f(x)<0,7(%)

X6(-6-~6-)

当时,单调递增;

f(x)>0J(%)

6

综上可得：当时,在R上单调递增,

a泞

当时，在上单调递增，在上单调递减，在

C<1/(X)(2—V4—12iL.(2-«4-12a-120^

<3(-8,-)(~•6)

上单调递增.

产电+叼

(2)由题意可得：，，，

x

f(o)=xg-+ax0+1f(x0)=3xg-2x0+a

则切线方程为：,,,

y-(xg-xg+ax0+1)=(3xg-2x0+a)(%-x0)

切线过坐标原点，则：