流体力学 扩散理论课件

环境流体力学第四章扩散理论1流体力学扩散理论4.1概述，关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。理论基础：扩散与输移理论。传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。2流体力学扩散理论4.2分子扩散的费克定律，扩散方程——费克第一定律Q——费克第二定律积分：M为t=0时在x1=0处的扩散质的数量，这些扩散质沿x1方向扩散。表示浓度c沿x1分布规律，按指数规律急剧衰减。3流体力学扩散理论4.3分子扩散的随机游动分析自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离；假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向；每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等；出现正号的次数为p，出现负号的次数为q；

p+q=N，p-q=S，

p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率：p=[N!/(p!q!)]/2N：4流体力学扩散理论分子运动N是个大数，S《N，有：lnn!=(n+1/2)lnn-n+ln2π/2令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；N=at/l，Sl=x1与比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率5流体力学扩散理论求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP，分子到达x1后，下一步仍有1/2机会前进，1/2机会后退，每一步距离为l，下一步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1)符合正态分布标准差：平均值：方差：随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。6流体力学扩散理论4.4移流（层流）扩散方程流动流体除了分子扩散还有随流传输cuzyx流入扩散质cudydzdt，扩散量流出扩散质dydzdt，扩散量7流体力学扩散理论进出量之差：在dt时间段微元体扩散质的增加量：由于生物、化学等各种因素，扩散质的发生率Fc，质量守恒：或——移流扩散方程左边第一项是当地变化，第二项是移流变化；右边第一项是分子扩散，第二项是产生或衰减的源汇项8流体力学扩散理论4.5紊动扩散——拉格朗日法4.5.1单个质点的紊动扩散——泰勒扩散理论设标志质点在y2方向的流速为v2（2表示拉格朗日流速）假定紊流场在时间和空间是均匀的，只沿y方向一维扩散取Y2(0)点为原点，v2(t)是随机变量，则Y2(t)的统计平均值9流体力学扩散理论每一质点取两个时刻的流速的乘积来平均tt”t’tdtt’t’左边是距形微元从0到t的积分，是一正方形的两个流速的乘积对许多质点的平均值右边积分是个三角形,左边是右边的2倍的意义是同一质点在时间差为10流体力学扩散理论拉格朗日自相关数：有两种极端情况11流体力学扩散理论（1）扩散时间很短很小，,,在扩散初期，扩散的发展与时间t成正比。（2）扩散时间很长达到某一时刻t*后，可认为已无相关，即t=t*时，RL(τ)≈0，当t》t*时，12流体力学扩散理论当t很大时，忽略右边第二项，令：——拉格朗日积分时间比尺。或在扩散发展很久之后，扩散的发展与成正比。紊动扩散系数：13流体力学扩散理论——拉格朗日扩散长度比尺在t》TL后，紊动质点运动为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。14流体力学扩散理论4.5.2两质点的相对扩散

有些问题还需要研究质点间相对位置关系。如两点间距大于紊动的长度积分比尺，则两点将各自独立游动，互不影响，如小于紊动的长度积分比尺，将受到部分紊动的影响。

设两质点α和β的速度为vα和vβ，相对速度w=vα-vβ，各自位移为和,相对位移:15流体力学扩散理论相对扩散距离的均方值：——s两点间距长度相对扩散系数：（a）相对扩散速度：变换：16流体力学扩散理论改写：从（a）得：或17流体力学扩散理论（1）扩散时间t很短认为质点流速不变，保持t0时的值，相对流速的相关等于常数，18流体力学扩散理论常数A1与s0的大小有关：（1）当s0<——柯尔莫戈罗夫紊动比尺可认为紊动具有局部各向同性的性质，（2）当s0》设Re大到足以有惯性小区的存在，认为紊动只取决于19流体力学扩散理论（2）扩散时间t不短当t增大到质点的运动已失去历史的影响时，s0已没有影响，同时认为还在惯性小区，影响因素只有有扩散速率按t1/2加速增大——相对扩散的4/3次方定律20流体力学扩散理论（3）扩散时间t很长当s很大，超过大尺度紊动范围，两点运动互不相关。两点相对位移的均方值等于单个质点位移均方值的2倍。当t很大时结果：在各扩散阶段中，两个质点互相分开速度由不变而按t1/2增大，随后又按t-1/2降低21流体力学扩散理论例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测不同时刻粒子的横向位移Y，Y2的统计值及通过原点后的时间t的数值。试绘出~t的关系曲线，据以推算紊动扩散系数Dr。同时计算及扩散长度比尺ΛL。t(s)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0(10-4m2)0.060.230.530.931.442.002.593.193.784.38(10-2m)0.240.480.730.971.201.411.611.781.942.0522流体力学扩散理论t(s)4325100.20.40.60.81.0t(s)0.20.40.60.81.01.212曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。当t>0.7s，线性关系良好。由图b曲线扩散初期的线性关系：扩散长度比尺：23流体力学扩散理论4.6紊动扩散——欧拉法4.6.1紊流扩散方程溶质浓度：c=c(x1,x2,x3,t)层流移流扩散方程：——紊流扩散方程24流体力学扩散理论

的物理意义：紊流中通过分别正交于xi轴的单位面积在单位时间内传输的紊动扩散量。——欧拉型紊流扩散方程简化：当i≠j时，Dij=0，25流体力学扩散理论4.6.2紊动扩散系数设扩散质沿x2方向，通过单位面积单位时间扩散质γ数量t0为质点经过该单位面积的时刻；t为从开始扩散算的扩散时间；cγ(t0,t)为扩散质浓度。26流体力学扩散理论在t时间内质点流动距离为Y2，由混合长度概念：质点流速：由费克定律：27流体力学扩散理论1.当扩散时间较短，R(τ)是时间函数，Dγ也随时间变化。讨论:2.当扩散时间很长：当扩散时间较长时，Dγ与ΛL成正比。3.ΛL是一个长度积分比尺，是衡量大尺度紊动的参数可见，紊动扩散系数Dγ主要取决于大尺度的旋涡运动。28流体力学扩散理论4.7关于扩散方程的求解（1）在静止或均匀流动中的扩散扩散方程可从一个固定点瞬时放入或连续放入扩散质，求得一维、二维和三维解析解。（2）剪切流中的一维纵向离散采用过流断面上的平均流速和平均浓度计算，求得断面平均浓度沿纵向的分布。（3）剪切流中的二维离散（4）数值求解（5）物理模型29流体力学扩散理论4.8静止流体中瞬时源和连续源的扩散4.8.1瞬时源的扩散(1)集中投入的情况在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的扩散质，分析t时刻在无界空间浓度分布。一维分子扩散方程：数学求解：量纲分析法。浓度c(x1,t)是M,x1,t,Dm的函数，与M成正比。扩散系数Dm的量钢为[L2/T]，选用Dmt为特性长度。30流体力学扩散理论令：代入：

通解为：质量守恒积分:c0=1基本解:结果：浓度c沿x1轴的分布是正态分布31流体力学扩散理论二维扩散：令c(x1,x2,t)=c1(x1,t)c2(x2,t)上式只有当两个括号的量分别等于零才能满足，即c1和c2应满足瞬时源一维扩散的解。扩散总质量：基本解：32流体力学扩散理论(2)空间上分布投入的情况可考虑为若干个瞬时源的叠加，按叠加原理求解。设沿x1轴上在x1=ξ处dξ上面源的强度：M(ξ)=f(ξ)dξξdξabf(ξ)33流体力学扩散理论起始时：c(x1,0)=f(ξ)，a≤x1≤b，扩散作用叠加后，经时间t在x1处的浓度：对于一阶函数，t=0时，f(ξ)=0(x1<0);f(ξ)=c0(x1≥0)变换后：34流体力学扩散理论误差函数：性质：erf(-z)=-erf(z)；erf(0)=0；erf(∞)=1起始台阶函数1-3-2-123起始为台阶形分布的瞬时源的扩散35流体力学扩散理论表：误差函数及正态分布的积分0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.21.41.61.82.02.53.04.0∞0.00.11290.22270.32860.42840.52050.63090.67780.74210.79690.84270.91030.95230.97630.98910.99530.99960.999981.00000.00.03980.07930.11970.15540.19150.22570.25800.28810.31590.34130.38490.41920.44520.46410.47730.49380.49870.499960.500036流体力学扩散理论4.8.2连续源的扩散

连续源是指在时间上的连续扩散，即从某时刻t=0开始，在某处连续加入扩散质，求以后任何时刻空间中扩散值的浓度分布。设扩散源于原点x1=0,当t=0,沿x1=0处浓度在瞬间突然升高为C0

从量纲分析出发，设37流体力学扩散理论代入扩散方程，变换为一常微分方程边界条件为f(0)=1,f(∞)=0因C(-x1,t)=c(x1,t),可只沿+x1轴求解，得38流体力学扩散理论给定连续加入的扩散的量，而且是变化的，可以看作无数不同的强度的瞬时源产生的时间上叠加的结果，然后进行零到t

的时间积分。设在时间微时段加入的扩散质为如图所示，则经历（t-）时间扩散的产生的浓度为39流体力学扩散理论连续源分布在沿x1轴一定范围a≤x1≤b内于时刻在d时间内加入的扩散质的量为，一维扩散时间经时间（t-）在x1处的浓度为对于连续源的二维、三维扩散，原则上也可按上述方法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。40流体力学扩散理论等强度连续点源的三维扩散瞬时点源扩散在静止流体中各向同性扩散情况，D1=D2=D3=Dm41流体力学扩散理论于时刻在d时间内加入的扩散质的量为m，经历（t-）时间在r处的浓度为从起始到t时间在位置r产生的浓度为上式的时间积分42流体力学扩散理论43流体力学扩散理论4.9均匀紊乱中的扩散代入:单向的均匀流动中，即各处流速均匀u1=U,u2=u3=0设:得:44流体力学扩散理论4.9.1均匀紊流中顺时源扩散的浓度分布

1.瞬时（面）源的一维扩散浓度解:45流体力学扩散理论2.瞬时（线）源的二维扩散浓度解:46流体力学扩散理论3.瞬时（点）源的三维扩散浓度解:47流体力学扩散理论4.9.2均匀紊流中连续源扩散的浓度分布

1.连续源的一维扩散浓度解:48流体力学扩散理论2.连续源的三维扩散49流体力学扩散理论转换为三维浓度时50流体力学扩散理论3.连续源的二维扩散4.连续源的非稳定扩散51流体力学扩散理论4.10有边界反射的扩散4.10.1固定边界的反射52流体力学扩散理论53流体力学扩散理论4.10.2大气中扩散的逆温层反射U

大气混合层逆温层虚拟源实际源虚拟源地面HLX154流体力学扩散理论在x1,x3立面的上产生的浓度为两种作用综合结果式中t=x1/U。取n=0,±0,±1,±2计算已足够精确。求地面浓度时取x3=0代入即得。55流体力学扩散理论例题:在室内水槽进行扩散试验，设水槽右端为封闭，左端很长。在水槽具右端10m的断面A-A以平面源方式瞬时投放示踪剂。计算投放后10分钟在距右端5m的B-B断面及在A-A断面左边10m的C-C断面上的示踪剂浓度。投放量M=1kg/m2。已知扩散系数为200cm2/s。计算中要考虑右端边界反射。若不计边界反射，B-B断面及C-C断面浓度又为多少？56流体力学扩散理论[解]Dt=200cm2/s=1.2m2/min(1)考虑右端的反射作用，浓度计算式为右端边界距投放源L=10mB-B断面x=5m57流体力学扩散理论C-C断面x=-10m(2)若不考虑边界的反射作用，浓度计算式为B-B断面C-C断面58流体力学扩散理论例题:某平直均匀河段，宽W=60m，深h=3m，流量QR=140m3/s。污水出口在河中心，其流量Qp=0.7m3/s,浓度c0=500ppm,河宽远大于水深，污染源近似看作连续集中线源，设横向扩散系数Dty为0.054m2/s。试求：（1）以c(x,b)=0.05c(x,o)来定义污水场宽b(x)