2021年上海市高考数学押题试卷七附答案解析

2021年上海市高考数学押题试卷（7）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）

1.圆谓大，=2与直线屏=乐足为没有公共点的充分不必要条件是（）

A.歙线-倔“修B.电银制「褥Q角反抽

C.急会《一道”场D.第唱《一海”一圾礴

2.若关于0的不等式0的解集是空集，则实数a的取值范围是（）

A.0B.0C.0D.0

3.直线y+4=0与圆/+丫2-4%+2丫-4=0的位置关系是（）

A.相切B.相交，但直线不经过圆心

C.相离D.相交且直线经过圆心

4.过抛物线/=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为点则点

P到抛物线焦点F的距离为（）

A.1B.2C.3D.4

二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）

5,若集合M={x\x2>4},P=（x\舒<0},则MUP=.

心6-定.乂lcbdIyad.ic,,贝n]li|%248|1+,1|104126|〔+.…+,|〔220014020。1浦2|=——'

7.设复数0S□为虚数单位凶，若区为实数，则□的值为一.

8.在AABC中，若B=60。，AB=2,AC=2a,则△4BC的面积是.

9.函数/（x）=x|x|的反函数是.

10.已知数列{姆J的首项%=2,%疝=麓均#辑，数列翻心}通项公式为时=_.

11.计算：n^noo[l+l+l+...（i）n]=----.

12.某校举行2015年元旦汇演，气味评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计79

844647

图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为方93

差为.

13.将4个不同的球随机地放入3个盒子中，则每个盒子中至少有一个球的概率等于.（用分数

作答）

14.已知矩形4BCD中，AB=2,BC=1,点P是8。上任意一点，则前.（刀+定）的取值范围是

15.已知居、尸2是双曲线,一，=l（a>0,b>0）与椭圆9+9=1的共同焦点，若点P是两曲线的

一个交点，且APFiF2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为.

—X2+4%+3,%>0

居—14x40,g（%）=/㈤+2匕若函数g（%）恰有两个不同的

X<-1

{X

零点，则实数k的取值范围为.

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17.如图，P4_L平面ABCD矩形的边长48=1,BC=2,E为BC的

中点.

(1)证明：PE1DE.

（2）如果异面直线4E与PD所成的角的大小为会求P4的长及三棱锥4-PED

的体积.

18.已知4B是海面上位于东西方向相距20海里的两个观测点，现位于4点北偏东30。，B点北偏西

60。的。点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距20%海里的C点的救援船

立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达。点需要多长时间？

19.表是某通信公司推出的几种移动电话套餐收费方案：

超过免费时间的通话

方案代号月租费（元）免费时间（分）

费（元/分）

130480.60

2981700.60

31683300.50

若小王每月通话时间为300分左右，请问选择哪种方案最省钱?

20.已知椭圆G：捻+，=1(£1>6>0)的离心率为争圆C2：/+y2=2,若存在直线]与椭圆Q和

C2各有且只有一个交点，则称直线，为椭圆G和C2的公切线.

(1)若椭圆G和C2的公切线存在，求椭圆C1的焦距取值范围；

(2)若椭圆G和的公切线存在，且公切线与椭圆C1和的交点分别为4B,求|AB|的取值范围.

21.设｛册｝是等比数列，｛%｝是递增的等差数列，｛%｝的前n项和为又(neN*),%=2,瓦=1,

S4=Q]+。39。2=b1+63•

(1)求｛an｝与｛bn｝的通项公式；

n+1

(2)设4=an+bn,数列｛〃｝的前n项和为〃(nGN*),求满足Tn>2+1成立的n的最小值.

他力”点为奇数

(3)对任意的正整数n,设4=卜3%-2)an，n为偶数，求数列｛0｝的前2n项和.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：试题分析：直线解国需&可化为船7；-,谭北翦=岫，

解得歌唱《一曲，”商;，

故圆常产朴城=工与直线窜=厩帮公没有公共点的充要条件为装唱《-褥，,展，

而充分不必要条件应为旅.腐的真子集，

综合各个选项可得A符合题意.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

点评：本题考查充分不必要条件的判断，涉及直线和圆的位置关系，属基础题.

2.答案：A

解析：试题分析：设冈，因为国，

所以叵］的最小值为区；由区的解集为空集知0.

故选B.

考点：绝对值不等式的性质.

3.答案：A

解析：解：由％2+y2-4%+2y-4=0,整理得：(%-2)2+(%+1)2=9,

・,・圆％2+丫2_4%+2y-4=0的圆心为(2,-1),半径为3,

由圆心(2,-1)到y+4=0的距离为d=3,

故y+4=0与圆/+丫2—4%+2y-4=0相切，

故选：A.

将圆％2+y2-4%+2y-4=0转化成(％-2)2+(x+I)2=9,求得圆心及半径，由圆心(2,-1)到

y+4=0的距离为d=3,则y+4=0与圆％2+y2—4%4-2y—4=0相切.

本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

4.答案：B

解析：解：抛物线/=4y,即y=；/,求导数可得y，=",所以在点(a,；。2)处的切线方程为：

y-*=|a(x-a),

令%=0,得y=-[a2；令y=0,得x=；a.

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积5="|)|乂|一32|=%.・.(1=2,6(2,1),

\PF\=1+1=2.

故选艮

确定点(a,[a2)处的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得a的值，利

用抛物线的定义，可得结论.

本题考查导数的几何意义，考查三角形面积的计算，确定切线方程是关键.

5.答案：(—co.-2]U(-1,4-00)

解析：解：M={x\x2>4}=(x\x>2或x<-2},P={x|言<0]={%|-1<%<3],

・•・MUP={x\x<—2或%>—1]=(-8.-2]U(-1,+8).

故答案为：(-0°.—2]U(-1,4-00).

利用不等式的性质和并集定义求解.

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.

6.答案:-2016

解析：解：由题意可得仁g|=16-24=-8,招=10X16-14X12=-8,

同理得匕-4；；身=一8,

从2到2016共1008个偶数，每4个偶数为一组，共252组，得所求的和为(-8)x252=-2016.

故答案为:-2016.

利用定义，可得从2到2016共1008个偶数，每4个偶数为一组，共252组，即可得所求的和.

本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.

7.答案：2

解析：试题分析：区，因为区是实数，所以S.

考点：复数的概念和运算.

8.答案：20

解析：解：・・・8=60。，AB=2,AC=273,

二根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

即12=4+BC2-2BC,解得BC=4,

则44BC的面积S=^AB-BC-sinB=2>/3.

故答案为：2g

9.答案:尸⑺={%：。<。

解析：解：当XN0时，/(X)=X2,其反函数是/T(%)=«.

当％<0时，f(x)=-X2,其反函数是/T(%)=-V^X-

综上所述，函数f(x)=X|X|的反函数是fT(X)=[序J0.

故答案是:尸跳={%：。<。.

需要对尤的取值范围进行分类讨论，然后根据反函数的定义作出解答.

本题考查了反函数的求法，属于基础题.

10.答案:T-2

畦唱卷，所以数列如朋蜀是

解析：试题分析：因为现四=觐”翦，所以喊4出=霞限开侬，即

叫TiJl

首项为3,公比为3的等比数列，所以%ja=瞥,即时=费一工。

考点：数列通项公式的求法；等比数列的通项公式；等比数列的定义。

点评：本题通过配凑系数构造新数列，使新数列为等比数列。通过求新数列的通项公式，总而求出

要求的数列的通项公式。若已知%也潜％触4源点嗨的形式，通常构造数列的方法为

b

'%4Mk瞿(鲤津混&*其中愿=?，则恐时詈带，即数列为等比数列。

孽T奴IRS".

11.答案：1

解析：解：n^oo[|+i+i+--(i)n]=-^j=1.

2

故答案为：1.

直接利用数列的极限的运算法则化简区间即可.

本题考查数列的极限的运算法则的应用，无穷递缩等比数列的极限的求法，考查计算能力.

12.答案:85；1.6

解析：解：由茎叶图可知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据为84,84,86,84,87.

平均数为80+/4+4+4+6+7)=85；

方差为s2=i[3x(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

故答案为：85；1.6.

由茎叶图结合已知得到5个数据，然后代入平均数公式与方差公式得答案.

本题考查了茎叶图，考查了学生读取图表的能力，考查了计算能力，是基础的计算题.

13.答案：g

解析：解：将4个不同的球随机地放入3个盒子中，每个球都有3种放法，共有34=81种不同的放法；

每个盒子中至少有一个球的不同放法是金•用=36种；

所求的概率为P==/

故答案为：g.

计算将4个不同的球随机地放入3个盒子中共有34种不同的放法，每个盒子中至少有一个球的不同放

法是盘•用种，求出对应的概率值.

本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目.

14.答案:[-5,|]

解析：解：以。为原点，ZM为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，则4(1,0),B(l,2),C(0,2),

所以8D的直线方程为y=2x,

设P(x,2x),%G[0,1],所以丽=(x—l,2x—2),'PA=(l-x,-2x).PC=(-%,2-2x).

则可+PC=(l-2x,2-4x),

BP■(PA+PC^)=-5(2x2-3%+1)=-10(x-1)2+1,因为x6[0,1],

所以前•(对+正)G[-5,f].

o

故答案为：[—5,，

以。为原点，D4为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴建立坐标系，得到所需向量的坐标，然后进行向

量的坐标运算，求范围.

本题考查了向量的加减运算、数量积的运算以及与二次函数相结合的最值求法，属于中档题.

15.答案:2

解析：解：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P(x,y)

由题意，椭圆?+?=1的焦点为(±2,0)

••・双曲线线1-4=l(a>0,b>0),与椭圆式+”=1的共同焦点

Q2b2、，795

・•・+炉=4①

•・•点P是两曲线的一个交点，且APF1F2为等腰三角形

二IPFJ=\FrF2\=4

♦.•椭圆的左准线方程为：x=-^=~l

4_2

3

・•・%=一

2

•••P在椭圆［+q=1上

95

215

z一

:.)v=4

・••P在双曲线1一1=1上

a2b2

9is

••・AA】②

由①②得：b2=3,a2—1,

c-2,

Ae=-=2.

a

故答案为：2.

先利用双曲线双曲线捻~^=l(a>0,b>0)与椭圆9+9=1的共同焦点，求得a?+/=4,再利

用点P是两曲线的一个交点，J1.APF/2为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，

进而可求双曲线的离心率.

本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题.

16.答案：{k|k=%或k=0,或一：<k<一|}

解析：解：画出函数y=/(x)的图象，如下图:

函数g(x)=f(x)+2k恰有两个不同的零点，即y=f(x)与y=-2k恰有两个不同的交点即可，

根据图象可知：-2k=—1或一2k=0或3<—2k<7,

•••=p或k=0,或一：<k<一|

故答案为：(k\k=^,或k=0,或—(</£<一|}.

先画出函数的图象，然后根据函数g(x)=/(x)+2/d合有两个不同的零点，即y=/(x)与y=-2k恰

有两个不同的交点即可，

结合图象可求出k的取值范围.

本题主要考查了函数零点的判定定理，以及分段函数图象的画法,同时考查了转化的思想，属于基

础题.

17.答案：(1)证明：连接4E,由4B=BE=1,得AE=应,

同理可得DE=A/L!)lljAE2+DE2=4=AD2,即DEJ.AE,

•••PA_L平面4BCD,•••PAIDE,

又P4n4E=4,DE1_平面PAE,

PE1DE；

(2)解：取P4的中点M,4。的中点N,连接MC,NC,MN,AC,B

•••NC//AE,MN〃P。，4MNC的大小等于异面直线4E与PD所成的角(或其补角)的大小,

即NMNC=?或号，由图可知4MNC=y

设P4=X,则NC=V2,MN>MC=

1+1+2-5-二

由COSNMNC=cos与=44解得x=2,即24=2.

2J1+小四

VA-PED=VP-DAE=^xixV2xV2x2=1.

解析：(1)由已知解三角形证明DE14E,再由P41平面ABC。，得PA_L0E,结合线面垂直的判定

可得DE1平面PAE,从而证得答案；

(2)取P4的中点M,4。的中点N,连接MC,NC,MN,AC,由已知求得NMNC,设PA=X,解三角

形求得的然后利用等积法求三棱锥A-PED的体积.

本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求

多面体的体积，是中档题.

18.答案：解：由题意可知4B=20海里，8C=20百海里，/-DAB=

60。,/X.

/-DBA=Z.ABC=30°,//

BD=AB-sin60°=10遮海里，乙CBD=60°,,/

在△BCD中，由余弦定理得：/

CD=7300+1200-2-10V3•20V3-cos60°=30海里，///

•••该救援船到达。点需要时间为共=1小时..C

解析：作出图形，找出已知条件，利用余弦定理求出CD即可得出答案.

本题考查了解三角形的应用，作出示意图得出已知条件是关键，属于基础题.

19.答案:解：方案一：根据表格数据，费用f(#)=30+(%-48)06(x248)

小王每月的通话费为：30+252x0.6=181.2元；

方案二：根据表格数据，费用“x)=98+0-170)06(x2170)

小王每月的通话费为：98+130x0.6=176元；

方案三：根据表格数据,费用/(x)=168+Q-330)05(x2330)

小王每月的通话费为：168元；

所以选择方案三最省钱.

解析：根据表格和每月通话时间为300分，建立分段函数关系式，求解即可.

本题考查了分段函数的关系式，计算其值域的问题.比较值域的大小来选取方案.属于基础题.

20.答案:解：(1)设椭圆G的焦距为2c,则£=更，

a2

从而。2=(。2,b2=1c2,

方程为"+¥=1,

4c2c2

若公切线/的斜率不存在，则，的方程为x=±&,从而a=VLc=B，即有2c=逐，

若1的斜率存在，则/的方程为y=kx+m,

由，与圆C2相切，得到近=W吗，即有加2=2+21,

将/的方程代入G的方程得到：3/+12（依+m）2=4c2,

即(121+3)x2+24kmx+12m2-4c2=0,

22

相切得到^=242k2TH2_4(121+3)(12m-4c)=0,

B|J2cG(V6.2V6],

综上可得2cG[V6,2A/6];

（2）若公切线的斜率不存在，则/：x=±VI，|AB|=0；

若公切线的斜率存在，设八y=kx+m,

由（1）得/=一西1，

22

将，代入。2可得(I+l)x+2kmx+m—2=0,xB=......—,

即有|4B|的取值范围为[0,乎].

解析：（1）设椭圆G的焦距为2c,运用离心率公式和a,b,c的关系，讨论公切线，的斜率不存在，求

得2c=①；若/的斜率存在，则/的方程为y=fcc+m,运用直线和圆相切的条件：d=r,以及直

线和椭圆相切的条件：判别式为0,化简整理可得焦距的范围；

（2）若公切线的斜率不存在，则，：x=±V2«=0；若公切线的斜率存在，设八y=kx+m,

代入圆的方程和椭圆方程，求得A,B的横坐标，借助弦长公式，再由基本不等式即可得到|4B|的范

围.

本题考查直线和椭圆以及直线和圆的位置关系，主要考查相切的条件，考查运算能力，属于中档题.

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