2021年陕西省西安市西工大中考七模试卷（万唯）（解析版）

第七次适应性训练九年级数学试卷

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.4的算术平方根是（）

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】A

【解析】

【分析】依据算术平方根的定义解答即可.

【详解】4的算术平方根是2,

故选：A.

【点睛】本题考查的是求一个数的算术平方根的问题，解题关键是明确算术平方根的定义.

2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

与（

【答案】C

【解析】

【分析】根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形,可得这个几何体为三棱柱.

【详解】解：A的俯视图是圆，故不符合题意；

B的俯视图是正方形，负不符合题意；

C的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，左视图是矩形,故符合题意；

D的左视图是三角形，故不符合题意：

故选C.

3.下列各式运算正确的是（）

=6不D.a2—^7

A.a2+<23—B.aw=a5C.

【答案】D

【解析】

【分析】根据幕乘方，底数不变指数相乘；同底数幕相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对

各选项计算后利用排除法求解.

【详解】解：A、a?与"不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、a'°^a2=as,故本选项错误;

C、（2切3=8",故本选项错误；

D、cr-a"=u~=―《>正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了幕的乘方的性质，同底数基的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的

关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并.

4.如图，AB//CD,AF交CD于点、E,DELAF于点尸，若NA=40。，则2。=（）

A.40°B.50°C.60°D,70°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出NDEF=NA,再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可

求解.

【详解】解：；AB〃CD,ZA=40°,

，/DEF=NA=40。，

VDF±AF,

ZD=180o-90°-40o=50°.

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5.把一次函数y=2x-3先关于x轴对称，再向左移2个单位，所得直线表达式（）

A.y--2x-].B.y-2x-7C.y=2x-10D.y=-2x+7

【答案】A

【解析】

【分析】由题意根据“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数”将y换成-y,进而依照“左

加右减”的运动规则，将原解析式中x换算成x+2,整理后即可得出结论.

【详解】解：直线y=2x-3关于x轴对称的直线所对应的函数表达式为一y=2x-3,

即y=-2x+3,

将直线y=-2x+3向左平移2个单位，函数表达式变形为丁=-2（》+2）+3=-2%一1.

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原

来的相反数以及函数图象在坐标系中平移的规律“左加右减，上加下减”.

6.如图，在AABC中，4。=4,/3=45°,/。=30°,4。_143交8。于点。,。£平分“出交43于

点、E,则AE的长为（）

C.4x/2D.4-2&

【答案】D

【解析】

【分析】分别过点A、E作AFJ_8C,EG±BC,分别交BC于点凡G,由题意易得AF=2,则有

48=2正，设EG=BG=AE=x,进而可得£8=0x，然后可得0x+x=2四，最后问题可求解.

【详解】解：分别过点A、E作ARL8C,EGLBC,分别交BC于点尸，G,如图所示：

ZB=45°,ADLAB,

：./\AFB.ABEG、△84。都为等腰直角三角形,

:.EG=BG,AF=BF=DF,AB=gAF,BE=CEG，

•••AC=4,ZC=30°,

BF^AF=-AC=2,

2

•••AB=y[2AF=2V2，

•••DE平分NADB，

：.EG^AE,

设EG=BG=4E=x,则有EB=&x，

AE+BE=AB，

V2x+x=2\/2>解得：X=4-2A/2；

；•AE=4-2V2：

故选D.

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运

算，熟练掌握等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算是解题

的关键.

7.平面直角坐标系中，已知直线y=2x+b与直线丁=履+2人的交点在第二象限，则&的取值范围是

()

A.k>4B.k<4C.2<k<4D.0<Z<2

【答案】A

【解析】

b

x=------

y=2x+bO-k

【分析】根据题意易得〈,c,，则有<,\，然后根据交点在第二象限可进行分类求解.

y=kx+2by=^liAl

-2-k

【详解】解：由题意可联立直线y=2无与直线丁=自+2匕得：

y-2x+h

y=Ax+2Z?’

b

x=----

2-k

解得：〈

_b^-k\

y

2-k

•.•交点在第二象限,

2<0

2-k

9〉0

I2-k

当2—%>0,即左<2,则4一左>0,b<0,

笔筌＜。与题意矛盾,

当2—%<()且4一々>0,即2cA<4,则人>0,

:."筌＜。与题意矛盾;

当4—攵<0,即左>4,则有2—4<0,b>0,

:■当筌＞。’符合题意;

综上所述：4＞4；

故选A.

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及分类讨论思想，熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨

论思想是解题的关键.

8.如图，DABCD的边AB=JU，点E是边的中点，BC=4,连接AE，将AABC沿着AE折

)

A.半D.孚

B.V10C.V15

【答案】A

【解析】

【分析】分别过点E、A作于点居AH上BE于点、H,由题意易得B'F=CF，

2

BE=EB=EC=2,进而可得乙FCE=NAEH,则cosZFCE=cosNAEH=,，设”E=x，点E到

4

AB边的距离是九则4"=而羽8"=2-》，然后根据勾股定理可求解x,最后根据等积法可求解.

【详解】解：分别过点E、A作砂_LC?于点F,4/，的于点”，如图所示：

•.•点E是BC边的中点，8C=4,

BE=EB=EC=2,

•••B'C=1,

B'F=CF=~,

2

NEB'C=NFCE,

由折叠性质可得/应A=NA£B'，

•；2ZAEB+NB'EC=180°,ZB'EC+2NFCE=180°,

/BEA=/FCE,

CF1

Z.cosNFCE=cosZAEH=—=-,

EC4

设HE=x,点E到A3边的距离是九则A"=JBx,8"=2—x,

AB—y[6>

.•.在RfZ\A8H中，AH2+BH2=AB2>即在f+Q-x,=6,

解得：%）=-,x=--（不符合题意，舍去），

22-4

••AH-----,

2

・••根据△A3E的面积可得：BE-AH—AB-h,即=

:.仁叵,即点E到AB边的距离是巫；

22

故选A.

【点睛】本题主要考查三角函数、折叠的性质及等积法，熟练掌握三角函数、折叠的性质及等积法是解题

的关键.

9.如图，A3是。。的直径，点C、。都在O。上，AD//OC,若CD=4区AC=25则。。的半

径（）

【答案】D

【解析】

【分析】延长C。，交。。于点E,连接ED,AC,由题意可得。E=AC=2逐，进而根据勾股定理可得

CE的长，然后问题可求解.

【详解】解：延长CO,交。。于点E,连接E£>,AC,如图所示：

CE是。。的直径,

NCDE=90°,

AD!IOC,

：.ZADC=ZDCE,

*#,AC-DEy

；AC=2逐，

DE=AC=25

CD=A5

.•.在Rt^CDE中,CE=y]DE2+DC2=10>

...©O的半径为5；

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及勾股定理，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键.

10.抛物线^=一/+法+£；经过(0,-3),对称轴直线x=—1,关于X的方程一d+Zzx+c-〃=0在

T<x<l的范围有实数根，则〃的范围()

A.一11<〃<—2B.―6<〃<—3C.-11<〃<—21).-11<M<-6

【答案】C

【解析】

【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即

可.

【详解】解：；抛物线丁=一%2+反+。经过((),—3),

.♦.将(0,—3)代入可得。=一3,

•.•对称轴直线x=-l,

----——=-1,解得6=—2,

2a2

**•抛物线为y=—x2—2x—3,

X2+2x+3+〃=0，

,关于X的方程—%2+汝+6.—〃=0在-4<%<1的范围有实数根，

•••△=〃_4QC=-4八一820，解得〃<—2,

且同时满足当x=T,y<0以及当x=l,y>0,解得《/(舍去)，

n>-6

或者当x=Y,y〉0以及当x=l,y<0,解得一11<〃<-6,

综上可得”的范围为：—2.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分

析是解题的关键.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11.若分式」一有意义，则》的取值范围是___.

x-2

【答案】#2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可.

【详解】解：由题意，得x-2包.解得存2,

故答案为：/2.

12.如图RtZVIBC中，ZACB=90°,BC=43AC,将绕点A逆时针旋转45°后，至U

RrAAE。，点B经过的路径为BE，已知AC=2,则图中阴影部分的面积

【答案】2〃

【解析】

【分析】连接EB,由旋转的性质可得A8=AE=4,Z£AB=45°,则由题意可得阴影部分的面积等于四边形

D48E的面积减去△A8C的面积再加上弓形BE的面积，进而可得阴影部分的面积即为扇形E4B的面积，

然后问题可求解.

【详解】解：连接EB,如图所示：

E

D

•/Z.ACB=90°,BC=y/3AC,AC=2,

ZABC=30°,AB=4.

由旋转的性质可得AB=AE=4,ZEAB=45°,^ADE^ACB,

由阴影部分的面积等于四边形D48E的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，可得：

S阴影=S扇形A8E，

.C_C_/乃/_45x4?不_c

阴影扇叫BE=与F=FT

故答案为2".

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积计算公式及割补法求解不规则图形面积是解题的

关键.

13.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，oABCD的边AB在x轴上，顶点。在了轴的正半轴

上，点C在第一象限，将A4OD沿y轴翻折，使点A落在X轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，

OE与BC交于点口.若y=与供/0)图象经过点C,且SA3EE=1,则左的值为

【解析】

【分析】作FGLBE,作FH_LCO,设A(-2a,0),0(0,4。)，由翻折的性质得：^ADO=^EDO,根

据全等三角形性质得04=OE,结合题意可得E(2a,0),B(«,0),由平行四边形性质得，AE//CD,

r\r'>i

AB=CD=3a,C(3a,4b),,根据相似三角形判定和性质得一=——从而得FG=8,由三

CDFH3a3

角形面积公式得=即。〃=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.

2

【详解】作FGLBE,作如图，设A(—2〃,0),。(0,4勿，

依题可得：/\ADO=AEDO.

/.OA=OE,

/.E(2a,0),

；8为0E中点，

/.5(«,0),

BE-a.

V四边形ABC。是平行四边形，

AE//CD,AB=CD=3a,C(3a,4",

^BEF~\CDF,

.BEFGa

"CDFH3a3

又；0(0,46),

/.OD=4b,

**.FG=b,

又••♦SMEF=g.BE・FG=l,

即=l,

2

；・ab=2,

C(3a,4b)在反比例函数y=-±,

X

A=3ax48=12a〃=12x2=24.

故答案为24.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和

性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

14.如图，AABC中，BC=6,ZBAC=60°,则2AB+AC的最大值是.

【答案】45/21

【解析】

【分析】过点B作交AC延长线于点。，设A3=2x,先利用直角三角形的性质、勾股定理

可得4。=乂5。=6%，再设243+4。=%,从而可得AC=Z—4x,然后在/?/△及»中，利用勾股

定理可得一个关于x的一元二次方程，利用方程根的判别式求解即可得.

【详解】解：如图，过点8作BDJ.AC,交4c延长线于点。，

设A3=2x,

•••在RtAAB。中，ZE4c=60。，ZABD=30°,

•••AD^^AB=x,BD7AB2-AD)=瓜,

设2AB+AC=攵，则AC=k-4x,

.\CD=AD—AC=5x—k,

在RIABCD中,BD2+CD2=BC2.BP(\^x)2+(5x-A:)2=62,

整理得：28/-10收+公一36=0,

•.•这个关于X的一元二次方程有实数根，

•••此方程根的判别式△=100人2—112（公—36）20,即左2-33640，

解一元二次方程公一336=0得：%=4区b-E，

由二次函数y=炉一336的性质可知，当><0时，-4721<k<4721>

又・.・左>0,

:.0<kW4后,

：.k的最大值为4历，

即2AB+AC的最大值为4721，

故答案为：4折.

【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式等知识点，正确将所求问题转化为一元二次方程

问题是解题关键.

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）

15.计算（g）-|V2-3|-2tan45o-（2020-^）°.

【答案】V2-2

【解析】

【分析】根据整数指数基运算法则和特殊角的三角函数值分别化简，再合并求解即可.

【详解】原式=4-（3_012x1—1

=4-3+72-2-1

=72-2

【点睛】本题考查整数指数基的运算以及特殊角的三角函数值综合运算，熟记基本运算法则以及特殊角的

三角函数值是解题关键.

3a2-4

16.先化简，再求值：（一2--a+l）+F~,其中。从-1,2,3中取一个你认为合适的数代入求

0+1a~+2a+l

值.

【答案】一。一1,-4

【解析】

【分析】先按照分式运算法则进行化简，再选取数轴代入计算即可.

3a2-4

【详解】解：(二一一a+l)+f~—

a+1ci~+2a+1

(3优―1)(a+2)(a—2)

a+1a+1(G+1)-

4-a2(a+1)2

______x_______

a+1“2-4

--a-\

当〃取-1和2时，分式无意义，故选。=3；

把a=3代入，原式二—a—1=—3—1=—4.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算，代入数值后正确

求值.

17.如图，。。内一点尸，求作：。0中经过点P的最短弦A3.(保留作图痕迹，不写作法)

O

【答案】见解析

【解析】

【分析】作直线0P,过点尸作直线A8L0P交。。于A,B.

【详解】解：如图，线段AB即为所求作.

G

【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问

题.

18.如图，在平行四边形A5C3中，E为BC边上一点，且NB=NAEB.求证：AC=DE.

D

【答案】证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC,NABC+NBCD=180。，证得NAEC=N5C。，从

而可证人4£；。0AOCE,故可得结论.

试题解析：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAB=DC,ZABC+/BCD=180°.

AB=DC,

：•ZABE=ZAEB，AE^DC.

,：ZAEC+ZA£B=180°，

ZAEC=ZBCD.

又EC=EC,

/\AEC—&DCE>

AC=ED.

19.体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试

(单位：个)，根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：

组别个数段频数频率

10<x<1050.1

210<x<20210.42

320<x<30a

430<x<4()h

(1)表中的数。=,b=；

(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；

(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随

机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.

3

【答案】（1）20,0.08；（2）45人；（3）j

【解析】

【分析】（1）先算出抽查的总人数，再利用扇形统计图求出a,即可求出b.

（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450x0.1=45人；

（3）列表列出所有可能结果，再求概率即可；

【详解】解（1）抽查了九年级学生数：5+0.1=50（人），

144

20<x<30人数：50x——=20（人），即。=20,

360

30«x<40的人数：50-5-21-20=4（人），

4

。=一=0.08,

50

故答案20,0.08；

（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450x0.1=45（人），

答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为45人；

（3）列表如下

男1男2男3女1女2

男1'---------------男2男1男3男1女I男1女2男1

男2男度2------------------------男3男2女虏2女2男2

男3男1男3男2男3女1男3女2男3

女1男】女1男2女1男3女1女2女1

女2男1女2男2女2男4女2女1女2

.P_^2_3

•,4选出的2人为一个男生一个女生的概率）=5。=《,

【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握表格和扇形统计图获取信息和列表法求概率是解题的关键.

20.如图，两楼地面距离BC为3（）6米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部

点D的仰角为45度.

（1）求NC4Q的大小；

（2）求楼CD的高度（结果保留根号）.

p

_

n

n

n

n

i

i

「

【答案】⑴75。：（2）30+30百

【解析】

【分析】（1）如图：过点A作AELCD于点E,在RsABC中运用三角函数可得tan/ACB=走，即

3

NACB=30°、进一步可得NEAC=30。，再结合NE4O=45°即可解答；

（2）先根据题意求得DE=AE=306,然后在RSACE中解直角三角形求得CE,最后利用CD=CE+DE进

行计算即可.

【详解】（1）如图：过点A作AEJ.CD于点E,

•.,在RSABC中，BC=3073,AB=30

tanZACB=—=—

BC3

/.ZACB=30°

/.ZACB=30°=NE4c

AE//BC

Z£AD=45

ZCAD=ZCAE+ZDAE=75°;

(2)；在RtAED中，AE=BC=30百，ZDAE=45°

ADE=AE=30V3

•.•在RtAACE中，ZCAE=30°

.".CE=tan30o-AE=30

:.CD=CE+DE=30+306.

【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题

的关键.

21.深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的

进价比每个乙种书柜的进价高20%,用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量

少4台.

(1)求甲、乙两种书柜的进价；

(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮

该校设计一种购买方案，使得花费最少.

【答案】(1)每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；(2)购进乙种书柜20个，则

购进甲种书柜40个时花费最少，费用为19200元.

【解析】

【分析】(1)设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.2x元，根据用3600元购进的甲种书

柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；

(2)设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜(60-m)个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，

列不等式组求解.

【详解】解：（1）设每个乙种书柜的进价为X元，则每个甲种书柜的进价为1.2%元,

由皿所工，曰3600〃4200

根据题意得，——+4=-----

1.2%X

解得x=300,

经检验，户300是原方程的根,

300x1.2=360（元）.

故每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；

（2）设购进甲种书柜旭个，则购进乙种书柜（60.机）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得,

y=360/n+300（60-/«）

<60-m<2m,

解得）=60m+18000（m>20）,

•.公60>0,

•••y随x的增大而增大，

当加=20时,y=19200（元）.

故购进甲种书柜20个，则购进乙种书柜40个时花费最少，费用为19200元.

【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找

出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解.

22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过

程.以下是我们研究函数”含性质及其应用的部分过程，请按要求完成各题.

（1）请确定下表中的〃和。的值，并在图中补全该函数图象；。=；b=

X・・・-5-4-3-2-1012345・・・

6x.・・_15_24_12122415・・・

"f+lCl-303b

~~n"TT1713

（2）该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当工=时，函数取得最大值；当》=

时，函数取得最小值.

（3）自变量x,当______时，y随x的增大而减小；当_______时，y随x的增大而增大.

6%

（4）已知函数y=2x—1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式方一^>2工-1的解集

x+1

（保留1位小数，误差不超过0.2）.

r

y=2x-l

-1；(3)xW-1或xNl,-1<X<1；(4)x<-l或

—0.3<x<1.8.

【解析】

【分析】（1）根据题意可直接进行求解。、。的值，然后由表格可进行作图;

（2）由（1）中图象可直接进行求解;

（3）由图象可直接进行求解;

（4）通过图象及题意可直接进行求解.

6v

【详解】解：⑴由表格可得：把z和A3分别代入函数丫="得:

^j6x(-31=_9

(—3了+15'32+15

补全函数图象如图所示:

(2)由图象可得：当x=l时，函数取得最大值；当x=—1时，函数取得最小值；

故答案为1,-1；

(3)由图象可得：当xw-i或xNi时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；

故答案为xW-1或-1<X<1；

(4)由题意可联立两个函数解析式得二二=2x-l,

x+1

结合图象可得当孚7>2x-l时，则x的解集为x<-l或一0.3<x<1.8.

X+1

【点睛】本题主要考查函数图象及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象及一次函数的图象与性质是

解题的关键.

23.如图，是。。的直径，点C为。。外一点，连接0C交。。于点。，连接8。并延长交线段AC

于1E,NCDE=NCAD.

(I)判断AC与的位置关系，并证明你的结论;

(2)若AE=EC,求tanB的值.

【答案】（1）AC与。。相切，理由见详解；（2）tan8=2

2

【解析】

【分析】（1）由题意易得NCDE=NC4£>=ZBZ）O,ZOAD^ZADO,NA£>8=90°,进而根据角

的等量关系可进行求解；

CDCFDF

（2）由题意易证△COEs^CAD,然后根据相似三角形的性质可得——=——=——，则有

ACCDAD

CD2=ACCE=2CE2,进而可得空=匹=也，则问题可求解.

CDAD2

【详解】解：（1）AC与。。相切，理由如下：

•••4CDE=/CAD,

Z.CDE=ACAD=ZBDO,

：A3是。。的直径，

ZADB=90°,

?.ZBDO+ZADO=90°,

OA=OD,

：.ZOAD=ZADO,

：.ZCAD+ZOAD=90°,即ZOAC=90°,

Q4是。。的半径，

/.AC与。。相切；

（2）；NCDE=NCAD,ZC=ZC,

：./\CDE^/\CAD,

.CDCEDE

••就一而一耘’

AE=EC,

AC=2EC,

•••CD2AC-CE^ICE2,典CD=6CE，

.CEDEV2

«•==,

CDAD2

•••AB是。。的直径,

/.ZADB^ZADE=90°,

•..„.__DE_V2

,,tanNCA。—---=—,

AD2

由(1)可知NCDE=NC4£)=NB£>O,

,/OB=OD,

：.NB=NBDO=ACAD,

tanB=tanNCAD=-

2

【点睛】本题主要考查切线的判定、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定、三角函

数及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

24.如图在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=-§》2+云+。与、轴交于4(一3,0),5两点，与y轴交于

点C(0,4),顶点为。.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线上是否存在点M,使得'MAC=SMAC，若存在，求出点M的横坐标：若不存在，请说明理

由.

4«

【答案】(1)抛物线的表达式为y=—§f—§x+4；(2)存在，当£MAC=S的C时，点〃的横坐标为

后-3或_3+VF7或一2

22

【解析】

4,

【分析】（1）把点A、C的坐标代入丁=一§/+。8+。进行求解即可；

（2）由题意易得顶点。[一则易求直线AC的解析式为y=gx+4,过点M作轴，交AC

,48、

于点”，抛物线的对称轴与AC的交点为E,设点M。，―1/一。+4,贝ij

+进而根据铅垂法可得一g/-4a=|,然后求解即可.

【详解】解：⑴把点4（一3,0）、。（0,4）代入丁=一1》2+灰+。得：

「f8

-12-3/?+c=0b=~

\，解得：＜3,

c=4A.

i[c=4

抛物线的表达式为y=一§4f.一§8》+4；

（2）由（1）可得抛物线的表达式为y=-gf—|乂+4,则有y=-g（x+iy+?,

二顶点。（一1,4），

4

设直线AC的解析式为丁="+4,把点A的坐标代入得：0=-3攵+4,解得：k=],

4

直线AC的解析式为y=]X+4,

过点M作///〃y轴，交AC于点H,抛物线的对称轴与AC的交点为£,如图所示：

设点,

+4),—,

]AR父

由铅垂法可得△AOC的水平宽为点A、C的水平距离，即为3,铅垂高即为。E=-----=-,ZVIMC的

333

4,844

水平宽也为3,铅垂高即为=一一a2--a+4--a-4=一一a2-4a,

3333

•^^MAC—°ADAC»

：.-x3xDE=-x3xMH,

22

4.8

二——a~214a=-,

33

4,8

当点”在直线AC的上方抛物线上的点时，即一一/一4。=一，解得：4=-2,凡=-1,

33•

点M的横坐标为-2；

当点M在直线AC的下方抛物线上的点时，即±。2+4。=§,解得：_3+VnVn-3(

33122

...点M的横坐标为姮心或-史®7,

22

综上所述：当SAMAC=S/”C，点"的横坐标为4口或-三产或2

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键.

25.在矩形A8C0中，点E是射线上一动点，连接AE，过点B作5b_LAE于点G,交直线CD于

点产.