模式识别习题参考-齐敏-教材第4章

第4章基于统计决策的概率分类法习题解答4.1分别写出以下两种情况下，最小错误率贝叶斯决策规则：（1）两类情况，且。（2）两类情况，且。解：最小错误率贝叶斯决策规则为：若，则两类情况时为：若，则若，则(1)当，变为：若，则若，则(2)当时，变为：若，则若，则4.2假设在某个地区的疾病普查中，正常细胞（）和异常细胞（）的先验概率分别为，。现有一待识别细胞，其观察值为X，从类概率密度分布曲线上查得，，试对该细胞利用最小错误率贝叶斯决策规则进行分类。解1：（正常）解2：，（正常）4.3设以下模式类具有正态概率密度函数：：，，，：，，，（1）设，求两类模式之间贝叶斯判别界面的方程式。（2）绘出判别界面。解：(1)由，得均值向量和协方差矩阵分别为：即，可求得。又由于，有由得判别界面为：246242462460x1x2解图解图4.1判别界面4.4对4.2题中两类细胞的分类问题，除已知的数据外，若损失函数的值分别为，，，，试用最小风险贝叶斯决策规则对细胞进行分类。解1：当X被判为类时：当X被判为类时：=，（正常）解2：，（正常）4.5设有两类一维模式，每一类都是正态分布，两类的均值和均方差分别为，；，采用（0－1）损失函数，且。（1）试绘出两类模式的密度函数曲线，其判别界面位于何处？（2）若已获得样本：－3，－2，1，3，5，试判断它们各属于哪一类。解：（1）两类问题的最小风险贝叶斯决策规则为若，则若，则式中；。当(0-1)损失且时：。由可知，判别界面由下式决定考虑到一维时及已知条件，，，上式等价为即判别界面位于处。密度函数曲线及判别界面如解图4.2所示。（2）对样本x=－3：由图可见p(x=-3|ω1)>p(x=-3|ω2)，故-3属于ω1类。同理，样本x=－2属于ω1类。样本x=1处于判别界面上，任意判决。样本x=3属于ω2类。样本x=5属于ω2类。02021-3xp(x|ωi)43-1-2-456p(x|ω1)p(x|ω2)判别界面解图4.2密度函数曲线及判别界面4.6有两个一维模式类，其概率密度函数如图4.20所示。（1）若用（0－1）损失函数且先验概率相等，试导出其贝叶斯决策的判别函数。（2）求出判别界面的位置。（3）已知样本：0，2.5，0.5，2，1.5，判断它们各属于哪一类。图4.20图4.20两个一维模式类的概率密度函数0123x1解：（1）经过（2，0）和（0，1）点，设直线方程为。，经过（1，0）和（3，1）点，设直线方程为。，两类问题的最小风险贝叶斯决策规则为若，则若，则式中；。当(0-1)损失且时：。对一维模式的决策规则为：判别函数：(0<x<3)（2）判别界面为：即：。（3）x=0时：，，有，故。同理得：，，处于判别界面，任意判决。4.7设两类模式和具有正态分布密度函数，，，，。若用（0－1）损失函数，试写出对数似然比决策规则。解：两类问题最小风险贝叶斯决策规则似然比形式为若，则式中；。对正态分布：在已知条件下：设，则(0-1)损失时，在条件下，。似然比判决不等式为：1两边取自然对数得：00故对数似然比决策规则为若0，则4.8已知服从正态分布的两类训练样本集分别为：：，，，，：，，，试问属于哪一类？解：正态分布最小错误率贝叶斯决策的判别函数为：经计算有：，，由和得将代入上式得故类。4.9一个两类识别问题，模式向量为一维。随机抽取类的6个样本：，，，，，试选用正态窗函数估计，即求估计式。解：选用正态窗函数：∵x是一维的，，其中选。上式用图形表示是6个分别以3.2，3.6，3，6，2.5，1.1为中心的正态曲线，而则是这些曲线之和，如解图4.3所示。由图看出，每个样本对估计的贡献与样本间的距离有关，样本越多，越准确。解图4.3解图4.3曲线123456x6x5x3x1x2x4x4.10选择合适的势函数计算下列模式的判别函数：：，；：，解：设。选用埃尔米特多项式构成二维线性势函数。埃尔米特多项式的前两项为：可构成势函数迭代算法为：，若。设初值，，开始迭代。(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)，(9)，此时，对全部训练样本完成了一次无