2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·理科)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷•理科)

压轴题解读

11.已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且ACLBC,AC=BC=\,则三棱锥。一ABC的体积为

()

A.立B.3C.叁D.更

121244

【命题意图】考查空间几何体的体积，球与组合体的切接问题，考查空间想象及数学运算能力

【答案】D

【解析】AC±BC,AC=BC=l,设Oi为AB的中点，连接COI,OOI，CO尸弓，由题意00」平面ABC,在RsOO】C

中，OO0OC2-C鬣喙三棱锥O-ABC的体积为:x汐xlx*祭

B

【解题方法】利用直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，确定截面圆的圆心，再根据球心与截面圆的连线与截面

垂直，构造直角三角形，利用勾股定理求三棱锥的高和体积.

12.设函数八彳)的定义域为R,7(x+l)为奇函数，兀r+2)为偶函数，当2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)

=6,则/'(1)=()

A.--B.--C.-D.-

4242

【命题意图】考查函数的奇偶性，周期性，考查学生数学抽象，逻辑推理能力

【答案】D

【解析】由题意f(x+l)为奇函数，则f(-x+D=-f(x+l),f(l)=0,

f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(-x+2),

则f(x+2)=f(x+l+l)=-f(-x),f(2-x)-f(-x),f(l)=0

又有f(2-x)=f(l+(l-x))=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.

f(x+4)=f((x+2)+2)==f(-(x+2)+2)=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4,

f(3)=f(l)=0,f(0)=-f(2).

当xC[l,2]时,f(x)=ax2+b.由f(l)=0得a+b=O,f(0)+f(3)=6,f(0)=6,f⑵=-6

4a+b=-6,a=-2,b=2,f0=fg)=-f(|)=-[-2X(|)2+2]=|.

【解题方法】根据函数的奇偶性，求得函数为周期函数，并求出周期，根据特殊函数值列出关于a、b的方程组，并求

出a,b,再利用周期性转化求特殊函数值.

16.已知函数/(x)=2cos(3x+0)的部分图像如图所示，则满足条件&(尤)一/(一?)(/(%)—/图))>0的最小正整

数X为.

【命题意图】考查三角函数性质及应用，考查数形结合，数学运算能力

【答案】D

【解析】由图可知，/(%)的最小正周期T=-4x(—13^--71j]=^.-.ty=2.

•••(/(x)T)(/(x)—0)〉0=/(x)<0或/(x)>l.

结合图象可知，满足/(幻>1的离y轴最近的正数区间=°，?，无整数;

/(x)<0的离y轴最近的正数区间为最小正整数x=2.

【解题方法】根据三角函数的图象，求解三角函数的解析式，利用f(x)的取值范围结合图象，充分利用所求x为最小

整数这个特征，分类讨论求解.

21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，且0P10Q.已知点

M(2,0),且0M与I相切.

(1)求C,的方程；

(2)设义,A2,%是C上的三个点，直线4遇2,均与。M相切.判段直线&&与OM的位置关系，并说明理由.

【命题意图】考查抛物线方程，直线与圆的位置关系，考查逻辑推理，数学运算的能力

【解析】(1)因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px(p>0),

令x=l,贝!]y=±y/2p,

根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故尸(1,而),Q(l,?而)，

因为OPLOQ,故I+廊x（?四）=gp=L

抛物线C的方程为：y2=x,

因为QM与/相切，故其半径为1,故。”:（》-2）2+丁=1.

（2）设A（X|，乂），A（X,，%），A3（X3,力）•

当A，4,4其中某一个为坐标原点时（假设4为坐标原点时），

设直线A4方程为履-y=o,根据点加（2,0）到直线距离为1可得/==1,解得％=土且,

Jl+/3

联立直线A4与抛物线方程可得x=3,

此时直线与OM的位置关系为相切，

当4，4,4都不是坐标原点时，即不。X2。w，直线A4的方程为x?（y+%）丁+乂%=。，

此时有，J+）3=1,即（犬？1）£+2%%+3?4=0，

Ji+（y+yJ

同理，由对称性可得，（#?1）¥+2,%+3?片=0,

所以必，为是方程（y；?D/+2即+3?y；=。的两根，

依题意有，直线44的方程为％?（%+%）y+y2y3=。，

2（2+^1^）2

令M到直线A,A,的距离为d,则有d2=（2+%%）=_2£21_=1,

-1+（%+丫3）21+（咨）2

才?1

此时直线A2A3与OM的位置关系也为相切，

综上，直线&&与QW相切.

21.已知a>0且a#l,函数/1（x）=、（％>0）.

（1）当a=2时，求/'（x）的单调区间；

（2）若曲线y=/（x）与直线y=l有且仅有两个父点，求a的取值范围.

【命题意图】考查利用导数研究函数的单调性函数的零点，考查逻辑推理，数学运算能力

【解析】（1）a=2时，/（©=三，

2

“、2x-2x-2xln2-x2x（2-xln2）""E而一》）

（2P2、2X

当X£（0,士）时，r（X）>0,当X£（三，+00）时，/'（幻<0,

ln2ln2

故)(幻在(0,三)上单调递增，在(三，+8)上单调递减.

/〃2/〃2

(2)由题知/(幻=1在(0,+oo)有两个不等实根，

/(x)=1ox"="<=>alnx=xlna<=>=色^，

xa

令g(x)=把，g，(x)==竺，g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,yO)上单调递减,

XX

又limg(x)=-oo,g(e)=-,g(1)=0,Iimg(x)=0,

X->0gX-MO0

作出g(x)的大致图象，如图所示：

由图象可得0<如<2，解得且aHe,

ae

压轴题模拟

1.(2021•安徽省泗县第一中学高三模拟(理))在正三棱锥S—ABC中，M.N分别是棱SC、8C的中点，且

MN1AM,若侧棱S4=2,则正三棱锥5-ABC外接球的表面积是()

A.12万B.32万C.36〃D.48%

【答案】A

【解析】•••/，N分别为棱SC,8c的中点，♦.•三棱锥S—A3C为正棱锥，作SO,平面ABC,

连接8。交AC与。点，•••底面是正三角形，SA=SB=SC,ACu平面ABC

ABD1AC,SO1AC,-：BDr>SO=O.3Du平面80S,SOu平面BDS,二AC_L平面3£>S,

•.,53匚平面8〃5,，/1。_158,/.MN±AC,

又,：MN人AM,而AMp|AC=A,且AM，4。<=平面54。，，朋77_1_平面&4(7,

SB_L平面ZAS8=ZBSC=ZASC=90°,

以S4，SB,SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体

的体对角线就是球的直径，尺=至亘=JJ，所以5=4万我=12万.故选：A.

2

2.（2021•广东茂名市•高三二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含

义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年

5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠的表面上有

四个点S、A、B、C,满足S—A6C为正三棱锥，M是SC的中点，且AM_LS8,侧棱&4=2,则该蹴鞠的表面

积为（）

A.47rB.8乃C.12%D.36%

【答案】C

【解析】取AC中点N,连接BN、SN,

为AC中点，SA=SC，

二ACJ_SN,同理AC_LBN,

由SNC\BN=N,即AC_L平面SBN,又SBu平面SBN,

/.AC±SB,而且ACcAM=A,

平面S4C,即SBJ_S4且S3J_AC.

•••三棱锥S-ABC是正三棱锥，

...&4、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，而侧棱S4=2,

正三棱锥5-ABC的外接球的直径2R=26，得R=6，

,其外接球的表面积S=4万/=12%,故选：C.

C

3.(2021•宁夏银川市•高三模拟(理))已知y=/(x)为R上的奇函数，y=/(x+l)为偶函数，若当

/(x)=log2(x+a),贝(1/(2021)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】・・・/(%)为K上的奇函数,且当％且0』时，/(x)=log2(x+a)

二/(°)=。,即1082。=。,

\。二1,

二当工£[0,1]时,/(X)=log2(x+1),

•••/(X+1)为偶函数，

又,:/(x)为R上的奇函数，

・・•/(x+2)=-/(x),

；J(x+4)=-/(x+2)=/(x),

/(X)是周期为4的周期函数，

/(2021)=/(4x505+l)=/(l)=log2(l+l)=l,故选：C.

4.(2021•济南市•山东省实验中学高三月考)已知函数/(X)定义域为R,满足/(力=/(2-X),且对任意

14占<4均有(玉一々){/(西)_/(%)]<0成立，则满足/(2%-1)_/(3_力20的x的取值范围是()

「2、4

A.(-00,-2]U-,+coB.(-oo,0]U—,+00

3

，21「八4-

C.-2,—D.0,—

【答案】D

【解析】因为函数“X)满足〃x)=/(2—x),所以函数关于直线x=l对称，

因为对任意1VX,<玉均有•(%一/)[/(苞)一/(々)]<0成立，所以函数“X)在[1,物)上单调递减.

由对称性可知/(X)在(一8,1]上单调递增.

因为1(2%_l)_/(3_x)N0,即〃2%-1)2/(3_力,

所以|2x—1—1闫3—*一1|,即|2%—2区|2—4解得OWxW*故选：D.

5.(2021•湖南长沙市•雅礼中学高三月考)已知函数/(x)=Asin(s+e)(A>0,陷<|,«>0)的部分图象如图所

示，将函数/(X)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得图象关于直线》=三34对称，则a的最小值为

【解析】根据函数/(%)=Asin(ox+°)(A>0,阚<|,«>0)的部分图象，

_yr-f12zr7TC7T，、.tr-\—

可r得A=l，-•—，求得@=2.

4。123

根据图像可得，函数过所以/(q)=2sin12x?+c[=0

TTjrjr

再根据五点法作图，2x§+e=%,.故有/(x)=sin(2x+§).

TT

将函数/(X)的图象向左平移。(。>0)个单位长度后，得到函数y=sin(2x+2。+])的图象，

3万

由所得图象关于直线x=—对称，

4

34Jrre4乃

可得2x---F2aH—=kjtH—,keZ,即2a=Qr----,AeZ.因为a>0

4323

TT

所以当k=2,可得a的最小值为一,

3

IT7T

6.(2020•江苏南京市•高三三模)已知函数/。)=2411(5+。)(其中。>0,-]<夕<5)部分图象如图所示，则

丐)的值为—.

2n2万(万、

【解析】由图象可得——=2—---=2肛二。=1.

co13I31

(2兀\2JI7t

又/彳)=2,...7+0=^+2%肛ZeZ.

(p-----F2k兀,kGZ>ksZ.----<夕W—,(p-----.

6226

/(x)=2sinlx--

7.(2021•江苏南京市•南京师大附中高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点£(0,2),以OE为直径的圆与抛

物线C：x2=2py(p>())交于点M,M异于原点0),MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与4,8两点，过

A,B两点分别做抛物线C的切线交于点P.

(D求证：点尸的纵坐标为定值；

(2)若尸是抛物线C的焦点，证明：ZPFA=ZPFB.

【解析】(1)以OC为直径的圆为/+°一1)2=1.

由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，

由对称性可知交点坐标为(1,1),(-1,1)

代入抛物线方程可得2/7=1.

所以抛物线的方程为x2=y.

设A(X],X；),B(X2,%2),

x.2-A?

所以=-----J=%+々

X]-x2

所以直线AB的方程为y-X；=(X1+x2)(%-%,),

即y=(X1+x2)x-x,x2.

因为直线AB过点C(0,2),

所以一王马=2,所以X]工2=—2①.

因为y=2x,所以直线布的斜率为2%,直线P8的斜率为2々

直线PA的方程为y-x；=2X］（x—X］）,

即y=2X]X-x；,

同理直线PB的方程为y=2X2X-尤；

联立两直线方程，可得P（"^,玉工2）

由①可知点P的纵坐标为定值-2.

pxPPFBFP

(2)cos/PE4二一.一，cosZPM=

\FA\-\FP\\FB\-\FP\'

注意到两角都在（0,幻内,

可知要证ZPFA=ZPFB，印证丝色=“¥一（*）,

|FA|IFBI

丽=（"2一；），丽=（^|A,—g）,

所以中.髭

又网所以彳霸=_（，

同理丝旦=—2,（*）式得证.

|FB|4

8.（2021•浙江高三模拟）已知动直线/：如-y-2租+1=0（m€/?）恒过定点"，且点”在抛物线G：

%2=2刀（p>0）上.

（1）求点M到抛物线G的准线的距离；

（2）将曲线G沿丁轴向上平移I个单位长度得到曲线。2,若点「（毛,%）在曲线G上，且在曲线G上存在A,

B,C三点，使得四边形PABC为平行四边形，求平行四边形B43C的面积S的最小值.

X—2=0（X=2

【解析】⑴将g—y—2〃?+l=0整理为2）—（》—1）=0,由《一<得1一~',故M（2,l）.

y-i=0,Iy=1,

将（2,1）代入丁=2胡（〃>0）,得p=2,所以抛物线G的方程为V=4y.

所以抛物线G的准线方程为y=-1，所以点M到抛物线G的准线的距离为2.

（2）由（1）知，抛物线G的方程为将曲线G沿＞轴向上平移1个单位长度得到曲线c，，其方程为

4

1，,

y=—x+1.

-4

点尸（面,为）在曲线。2：y=；/+1上，故X；-4%=-4①.

连接AC，当直线AC的斜率不存在时，ACLx轴，与抛物线G只有一个交点，不符合题意，故舍去.

y=kx+b,

当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为丫=履+〃，A（x，y）,C（w，%）,联立，得＜得

、炉=4y,

2

x-4kx-4b=Q，△=16公+16〃＞0，则玉+々=4左，x,x2=-Ab,故线段AC的中点£＞（2Z,2K+人）.

若四边形PABC为平行四边形，则3,P关于点。对称，所以8（4女一%,4公+2人一%）.

又点8在抛物线G上，故（4%-%）2=4（#2+2万一%），即5+0=（（片+4%）②.

点P到直线AC的距离d=辰。+一切

>IAC|—A/1+k~•|%|_X-,I-Jl+C-+x,—4%%2=4

Jl+公

J1+炉+/'

所以SAPAC=—|.<4C|'d=-x4J1+公xk~+bx-—。/，-血=.|^x0+Z>—y0|,结合①②得,

22yj\+k2

因为S=2S”“，所以S的最小值为血.

9.（2021•江西九江市•九江一中高三模拟（理））已知函数/（X）=X---（e为自然常数）.

e

（1）若/（x）在（0,+g）上单调递增，求实数。的取值范围；

（2）设aeH,讨论函数8（幻=了一后》一/（九）的零点个数.

【解析】（1）/（x）=x—§,则r（x）=C1竺二020在（0,+8）上恒成立，

eex

记尹（%）=e*+or-a,则（p（x）20在（0,+8）上恒成立,“（％）=ex+a.

当aN—1时，0'（幻=，+。＞1+。20,即。（%）在（0,+8）上单调递增,

.,•夕0)>0(0)=1—。20,-1<«<1；

当。<一1时，令"(x)=e*+a=0,解得x=ln(-a),

当0<%<111(-0)时，e'(x)<0,e(x)在(0,ln(-a))上单调递减，

当尤>ln(—a)时，/(x)>0,O(x)在(ln(-a),+oo)上单调递增.

^(x)>^(In(-cz))=-2a+aln(-a)>0,解得一e24a<—I；

综上：-e?<a<\

QX

(2)g(x)=x-\nx-f{x)=-----Inx(x>0)，

ex

令g(x)=0,得。=------(x>0),

x

人，，、exInxmi,,,、(x-l)exlnx+ex

令6(x)=-------,贝！=——J-------,