人教新课标版（A）高二选修函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间函数y=f(x)在给定区间I上，当x1、x2∈I且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在I上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在I上是减函数；若f(x)在I上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在I上有单调性。I称为单调区间I=(a,b)一、复习与引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；

(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集(或定义域)

。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)与f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.1)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，>0；当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。O14xyy=f(x)临界点例2.确定函数在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？2xyo解:(1)求函数的定义域

函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)（2）求函数的导数

（3）令以及求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时，是增函数令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时，是减函数利用导数讨论函数单调的步骤:(2)求导数(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;

解不等式组得f(x)的单调递减区间.(1)求的定义域D说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.

练习：确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。∴单调递增区间为:(2,＋∞)、(－∞，0)单调递减区间为:(0,2)例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。练习：见课本P26练习1，2，3，4例3:确定函数f(x)=x/2+sinx;的单调区间:解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:

递减区间是:练习:判断下列函数的单调性(1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);(2)f(x)=ex-x；1-11-22-1-22xyＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１-２１-１-１C例4:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和练习：已知函数在上是减函数，则（）D例5已知函数的递减区间为（），求