2023-2024学年宁夏银川市灵武重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年宁夏银川市灵武重点中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.直线l经过点(2,3)，且倾斜角α=45°，则直线l的方程为(

)A.x+y−1=0 B.x−y+5=0 C.x−y+1=0 D.x−y−5=02.已知a=(1,n,−2)，b=(2,4,m)，且a//b，则A.−2 B.2 C.4 D.63.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点NA.12a−23b+124.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(

)A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，则l1//l2

B.直线l的方向向量a=(1,−1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,−1)，则l⊥α

C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，则α⊥β5.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1DA.14

B.13

C.12

6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是线段C1DA.BD⊥AM B.平面A1BD⊥平面AD1M

C.MN/​/平面A7.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF：FD的比值为(

)A.3

B.2

C.1

D.18.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱BC、CC1的中点，动点P在正方形BCC1BA.5

B.3

C.32

9.已知直线3x+3y−6=0，则A.过点(3,−3) B.斜率为−3

C.倾斜角为60° 10.空间直角坐标系O−xyz中，已知A(1,2,−2)，B(0,1,1)，下列结论正确的有(

)A.AB=(−1,−1,3)

B.若m=(2,1,1)，则m⊥AB

C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为11.下列命题是真命题的有(

)A.A，B，M，N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B.直线l的方向向量为a=1,−1,2，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直

C.直线l的方向向量为a=0,1,−1，平面α的法向量为n12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为DDA.B1E⊥平面AEF

B.A1G/​/平面AEF

C.B1E⊥A1G

13.若直线ax+y+1=0与直线3x−y+5=0平行，则实数a的值是______．14.已知向量a,b的夹角为π3，|a|=2,|b|=315.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF=λAD，若异面直线16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=AB⋅AP17.已知三角形的顶点为A(−2,1)，B(3,2)，C(1,−4)．

(1)求BC边上的中线所在直线方程；

(2)求BC边上的高线所在直线方程．18.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A19.在棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)求EF的长；

(2)证明：EF/​/平面AA1D20.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA=SD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(Ⅰ)求证：SP⊥AB；

(Ⅱ)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；

(Ⅲ)设M为SC的中点，求二面角S−PB−M的余弦值．21.四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；

(2)证明：OE/​/平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．22.如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD/​/AB，且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P−DC−B，连接PA、PB，设PB中点为E．

(1)证明：平面PBD⊥平面PBC；

(2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：直线l倾斜角α=45°，

故k=tan45°=1，直线方程为y=x−2+3，即x−y+1=0．

故选：C．

根据倾斜角得到k=tan45°=1，代入点坐标得到直线方程．

本题主要主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：a=(1,n,−2)，b=(2,4,m)，且a//b，

则12=n4=−2m，解得n=2，m=−4，

3.【答案】B

【解析】【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．

由题意，把OA，OB，OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN用三个基向量表示出来，即可得到答案．【解答】

解：由题意

MN=MA+AB+BN

=13OA+OB−OA+12BC4.【答案】AC

【解析】解：因为a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，即a=−b，又因为l1，l2不重合，所以l1//l2，A正确．

因为a=(1,−1,2)，u=(6,4,−1)，所以a与μ不平行，所以l不垂直于α，B错误．

因为u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，所以u⋅v=2×(−3)+2×4+(−1)×2=0，所以u⊥v，所以α⊥β，C正确．

因为a=(0,3,0)，u=(0,−5,0)，所以a=−35μ，所以a//μ，所以l⊥α，D错误．

故选：AC．

对于A5.【答案】C

【解析】解：如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如下图所示，设正方体的棱长为1，

则B(1,0,0),E(0,1,12),D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1)，

可得BA1=(−1,0,1),BE=(−1,1,12)，

设n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量，则n⋅BA1=−x+z=0n⋅BE=−x+y+z2=0，

令z=2，则x=2，y=1，即n=(2,1,2)6.【答案】B

【解析】解：因为A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，AD1⋂C1D1=D1，AD1，C1D1⊂平面AD1M，

所以A1D⊥平面AD1M，又A1D⊂平面A1BD，

所以平面A1BD⊥平面AD1M，故B正确；

以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设AB=2，则B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，N(1,2,0)，

设M(0,y,2)(0<y<2)，则DB=(2,2,0)，DA1=(2,0,2)，

设平面A17.【答案】C

【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

设正方形边长为1，PA=a，

则B(1,0,0)，E(12,1,0)，P(0,0,a)．

设点F的坐标为(0,t,0)，

则BF=(−1,t,0)，PE=(12,1,−a)．

因为BF⊥PE，所以BF⋅PE=0，

即−1×12+t×1+0×(−a)=0，

解得t=12，即点F的坐标为(0,12,0)，

所以F为AD的中点，所以AF：FD=1：1．

故选：C．

由线面垂直的性质和正方形的性质，可以8.【答案】C

【解析】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)、E(1,2,0)、F(0,2,1)，A1(2,0,2)，

设点P(x,2,z)，其中x、z∈[0,2]，

∴EA=(1,−2,0)，EF=(−1,0,1)，A1P=(x−2,2,z−2)，

设平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⋅EA=x1−2y1=0n⋅EF=−x9.【答案】AB

【解析】解：对于直线3x+3y−6=0，当x=3时，解得y=−3，故该直线经过点(3,−3)，故A正确；

直线的方程转换为y=−3x+23，故直线的斜率k=−3，故B正确；

由于直线的斜率k=−3，故直线的倾斜角为120°，故C错误；

当y=010.【答案】AB

【解析】解：∵A(1,2,−2)，B(0,1,1)，

∴AB=(−1,−1,3)，A对，

点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,−2)，C错，

|AB|=(−1)2+(−1)2+32=11，D11.【答案】ABD

【解析】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，

则BA,BM,BN共面，可得A，B，M，N共面，A正确；

对于B,a⋅b=2−1−1=0，故a⊥b，可得l与m垂直，B正确；

对于C,a⋅n=0−1+1=0，故a⊥n，可得在α内或l/​/α，C错误；

对于D，12.【答案】BD

【解析】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，

则A(2,0,0)、E(0,0,1)、B1(2,2,2)、A1(2,0,2)、G(0,2,1)、F(0,1,0)，

所以AE=(−2,0,1)，AF=(−2,1,0)，B1E=(−2,−2,−1)，A1G=(−2,2,−1)，

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AE=−2x+z=0m⋅AF=−2x+y=0，

令x=1，得m=(1,2,2)．

对于A选项，由于不存在实数λ，使得B1E=λm，可得m、B1E不平行，则B1E⊥平面AEF不成立，故A错误；

对于B选项，因为A1G⋅m=0，所以A1G⊥m，且A1G⊄平面AEF，所以A1G/​/平面AEF，B13.【答案】−3

【解析】解：∵直线ax+y+1=0与直线3x−y+5=0平行，

故−a−3=0，

所以a=−3．

故答案为：−3．

由已知结合直线平行的条件即可直接求解．

本题主要考查了直线平行的条件的应用，属于基础试题．14.【答案】2【解析】解：由向量a,b的夹角为π3，|a|=2,|b|=3，

得a⋅b=|a||b15.【答案】13【解析】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设F(a,0,0)，因为A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，

D1E=(0,2,−1)，A1F=(a−2,0,−2)，D1E⋅A1F=0+0+2=2，|D1E|=0+4+1=5，|A1F|=(a−2)2+0+4=a2−4a+8，

cos<D1E，A16.【答案】1

【解析】解：APi=AB+BPi，

则AB⋅APi=AB⋅(AB+BPi)=|AB|2+AB⋅B17.【答案】解：(1)∵A(2,1)，B(3,2)，C(−1,4)，BC的中点坐标(1,3)，

BC边上的中线所在直线方程：y−1x−2=1−32−1，即2x+y−5=0．

(2)BC的斜率为：4−2−1−3=−12，

所以BC【解析】(1)求出BC的中点坐标，利用两点式求解直线方程即可．

(2)求解BC的斜率，然后求解BC边上的高线所在直线方程．

本题考查直线方程的求法，点斜式以及两点式的应用，是基础题．18.【答案】解：(1)设AB=a，AD=b，AA1=c，

则a⋅b=0，a⋅c=1，b⋅c=1，

【解析】本题考查空间向量的运算，熟练掌握空间向量的线性运算，数量积运算法则是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．

(1)设AB=a，AD=b，AA1=c19.【答案】解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)，

∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E(2,1,0)，F(1,1,1)，EF=(−1,0,1)，

(1)|EF|=1+0+1=2．

(2)∵AD1=(−2,0,2)=2EF，∴EF/​/AD1，

又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D，

∴EF/​/平面【解析】本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．

建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF的坐标表示，

(1)代入向量的模长公式求解；

(2)求出AD1的坐标表示，利用坐标关系判断EF/​/AD1，再利用线面平行的判定定理证明；

(3)利用CD⋅EF=0，EF20.【答案】(Ⅰ)证明：在△SAD中，

∵SA=SD，P为AD的中点，∴SP⊥AD，

∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，SP⊂平面SAD，

∴SP⊥平面ABCD，

又AB⊂平面ABCD，∴SP⊥AB；

(Ⅱ)解：在直角梯形ABCD中，∵AD/​/BC，BC=12AD，P为AD中点，

∴BC/​/PD，且BC=PD，则四边形BCDP为平行四边形，

∵AD⊥DC，∴AD⊥PB，

由(Ⅰ)可知，SP⊥平面ABCD，

所以可得SP，PA，PB两两垂直，

故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P−xyz，

则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，S(0,0,3)，C(−1,3,0)，D(−1,0,0)，

∴BS=(0,−3,3)CD=(0,−3,0)，SD=(−1,0,−3)，

设平面SCD的一个法向量n=(x,y,z)，

由n⋅CD=−3y=0n⋅SD=−x−3z=0，取z=1，得n=(−3,0,1)；

设直线BS与平面SCD所成角为α，

则sinα=|cos<n,BS>|=|n⋅BS||n|⋅|BS|=32×6=24．

∴直线BS与平面SCD所成角的正弦值为【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与面面角，属于中档题．

(Ⅰ)在△SAD中，由SA=SD，P为AD的中点，可得SP⊥AD，再由面面垂直的性质可得SP⊥平面ABCD，从而得到SP⊥AB；

(Ⅱ)在直角梯形ABCD中，由已知可得四边形BCDP为平行四边形，得到AD⊥PB，由(Ⅰ)可知，SP⊥平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P−xyz，求出平面SCD的一个法向量，则直线BS与平面SCD所成角可求；

(Ⅲ)证明AP⊥平面SBP，可得PA=(1,0,0)为平面SPB的一个法向量，求出平面MPB的一个法向量，则由两法向量所成角的余弦值可得二面角S−PB−M21.【答案】解：(1)因为PO⊥底面ABCD，BO=OD，

所以PB=PD，

又因为PB与底面ABCD所成的角为60°，所以△PBD为等边三角形，

因为E为PB的中点，所以PO=DE=32PD=3，

因为四边形ABCD边长为2的菱形，∠DAB=60°，所以△ABD为等边三角形，即BD=2，

所以DE=3，AO=3，DF=3，

取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF/​/PA，

所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，

则EF=12PA，PA=PO2+AO2=3+3=6，

所以EF=62，

在△DEF中，cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DE⋅EF=3+32−32×3×62=24，

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为24；

(2)证明：连接OF，

由(1)可得OF//AD，EF/​/PA【解析】(1)取AB的中点F，连接EF，DF，可得EF/​/PA，所以DE与EF所成的角即为DE与PA所成的角，由题意求出EF，DE，DF的值，由余弦定理可得两条直线所成角的余弦值．

(2)由(1)可证得面OEF/​/面PAD，进而可证得OE/​/面PAD，进而可知E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，再由等体