铁道客车垂向振动系统建模与分析

铁道客车垂向振动系统建模与分析

随着运营速度的增加和客运系统结构的减少，车辆结构的弹性振动对客运系统的运营稳定性的影响越来越明显。因此，为了研究车辆的柔性振动效应，我们不能使用传统的多刚体系统动力学方法来进行客车系统的建模，也不能使用刚柔体界面动力学方法进行研究。另外,客车系统速度的提高和弹性振动的加剧,也要求悬挂系统具有更好的减振隔振性能,但传统悬挂系统的阻尼与刚度参数一经确定,客车系统的振动性能也就确定了。如要进一步提高客车系统的减振性能,有效的方法是采用主动和半主动悬挂,由于其能够根据线路及运行状况实时地调整悬挂系统参数,可以保证客车高速运行时具有更好地运行平稳性能,因而一直受到科技工作者的广泛重视和深入研究。主动和半主动悬挂已在日本新干线500系、700系等高速列车上得到成功应用。本文的主要目的是通过建立考虑车体弹性振动的客车刚柔耦合系统动力学模型,深入研究客车的幅频振动特性和随机振动特性,并应用半主动悬挂进一步改善客车系统的振动性能。1半主动减振器阻尼系数选取铁道客车以常速v在直线轨道上运行来建立考虑车体弹性效应的垂向振动数学模型,客车系统力学模型和车体弹性振动坐标系如图1所示。模型由轮对、构架和车体3个部件以及一系悬挂和二系悬挂组成,二系悬挂采用半主动减振器,目的是在不改变其他参数的情况下,看能否通过半主动减振器进行车体的浮沉尤其是弯曲振动的减振。为了研究车体的弹性效应对客车系统振动的影响,也为了研究问题和寻找振动规律的方便,将车体假设为均质等截面欧拉梁,而轮对和构架仍看成刚体。将每一部件坐标系的原点取在其静平衡时的质心位置,并以速度v沿轨道中心线向前即x方向运动,坐标系的z轴垂直于轨道平面指向上,车体弹性振动坐标系随车体刚性运动一起运动。由于构架的点头运动与客车垂向振动系统的其他运动不耦合,在此可不予考虑。因此,整个客车垂向振动系统的刚体运动只需考虑4个自由度,即:前后构架的浮沉运动zb1、zb2;车体的浮沉运动zc和绕横向轴(指向纸面)的点头运动θc。客车系统的参数说明及原始参数值见表1。可将车体看成两端自由的均质等截面欧拉梁,设车体的垂向弹性振动位移为u(x,t),则车体弹性振动偏微分方程为EΙ∂4u(x,t)∂x4+ρA∂2u(x,t)∂t2=-ρA¨zc(t)+ρA(x-L2)¨θc+2∑k=1Fk(t)δ(x-xk)(1)式中,xk=L/2-(-1)kLs,k=1对应于前转向架,k=2对应于后转向架;Fk(t)为弹簧阻尼力,其式为Fk(t)=-c2k[˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θc-˙zbk(t)]-k2[zc(t)+u(xk,t)+(-1)kLsθc-zbk(t)](2)式中,c2k(k=1,2)为前后转向架二系垂向半主动减振器的阻尼系数,如始终取c2k=c2,即为被动悬挂。半主动减振器的阻尼系数采用开关控制方式,控制规律为c2k(t)={min(ch,c2˙zck(t)Δ˙zck(t))˙zck(t)Δ˙zck(t)＞0c0zck(t)Δ˙zck(t)≤0(3)式中,ch、c0为半主动减振器阻尼系数的高限和低限值,本文取c0=0为理想情况下的值;c2为基值阻尼系数;˙zck(t),Δ˙zck(t)分别为半主动减振器车体悬挂点的绝对速度和半主动减振器的相对速度,其表达式为{˙zck(t)=˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θcΔ˙zck(t)=˙zc(t)+˙u(xk,t)+(-1)kLs˙θc-˙zbk(t)(4)对于车体而言,半主动减振器提供只做负功的阻尼力,使车体起到减振作用,以提高旅客的乘坐舒适性。但对于构架而言,半主动减振器提供的阻尼力可能会做负功,也可能会做正功。设车体第i阶正则振型函数和正则坐标分别为Yi(x)和qi(t),可采用振型叠加法截取前N阶模态来求车体弹性振动响应,方程(1)的解可表示为u(x,t)=Ν∑i=1ui(x,t)=Ν∑i=1Yi(x)qi(t)(5)对于截取的模态阶数N,要求截止频率高于实际有效频率的两倍以上。将式(5)代入式(1)得EΙΝ∑i=1d4Yi(x)dx4qi(t)+ρAΝ∑i=1Yi(x)d2qi(t)dt2=-ρA¨zc(t)+ρA(x-L2)¨θc+2∑k=1Fk(t)δ(x-xk)(6)将式(6)乘以Yj(x)dx,沿车体全长积分,并利用模态的正交性和δ函数的性质,得到¨qi(t)+ω2iqi(t)=-mzi¨zc(t)+mθi¨θc(t)+2∑k=1Fk(t)Yi(xk)(7)式中,广义质量mzi=ρA∫L0Yi(x)dxmθi=ρA∫L0(x-L2)Yi(x)dx对于具有自由边界条件的欧拉梁,其固有(自振)频率和正则振型为ωi≈(2i+1)2π24L2√EΙρA(8)Yi(x)=AiUi(x)=Ai[chβix+cosβix-chβiL-cosβiLshβiL-sinβiL(shβix+sinβix)](9)式中,βi≈(2i+1)π2L;系数Ai=1/√ρA∫L0U2i(x)dx。可推导出客车系统的刚体运动微分方程组mb¨zb1+2c1˙zb1+c21[˙zb1-˙zc-˙u(x1,t)+Ls˙θc]+(2k1+k2)zb1-k2[zc+Lsθc+u(x1,t)]=c1[˙zr(t)+˙zr(t-τ1)]+k1[zr(t)+zr(t-τ1)](10)mb¨zb2+2c1˙zb2+c22[˙zb2-˙zc-˙u(x2,t)-Ls˙θc]+(2k1+k2)zb2-k2[zc-Lsθc+u(x2,t)]=c1[˙zr(t-τ2)+˙zr(t-τ3)]+k1[zr(t-τ2)+zr(t-τ3)](11)mc¨zc+Ν∑i=1mzi¨qi+c21[˙zc+˙u(x1,t)-Ls˙θc-˙zb1]+c22[˙zc+˙u(x2,t)+Ls˙θc-˙zb2]+k2[2zc-zb1-zb2+u(x1,t)+u(x2,t)]=0(12)Ιc¨θc-Ν∑i=1mθi¨qi+c21Ls[Ls˙θc-˙u(x1,t)+˙zb1]+c22Ls[Ls˙θc+˙u(x2,t)-˙zb2]+k2Ls[2Lsθc-u(x1,t)+u(x2,t)+(zb1-zb2)]=0(13)式(10)、式(11)中,zr为轨道激励;二到四位轮对的时间滞后为τ1=2bvτ2=2Lsvτ3=2(b+Ls)v(14)联立上面的各式就可进行考虑车体弹性效应的客车系统振动计算,式(7)、式(12)和式(13)中包含多个惯性力项,需事先进行解耦。如式(7)考虑前N阶模态,则客车系统的总方程数为N+4。2自由模态下一阶弯曲共振车体垂向弯曲振动的自振频率fi=ωi/2π,可采用式(8)计算,其前三阶弯曲自振频率与车体截面等效抗弯刚度EI的关系见图2,EI越大则弯曲自振频率越高。原始参数下的一、二、三阶弯曲自振频率分别为9.70Hz、26.94Hz、52.81Hz。因此,考虑车体的前三阶模态已能够满足实际要求。轨道上总是存在各种各样的不平顺激励,有周期性和随机性的,周期性不平顺具有特定的波长,而随机不平顺是含有不同频率成分的连续谱,也可看成是由很多不同波长组成的。当某一波长的激励恰好引起客车系统某一振型的振动并与其自振频率相等时,就会引起该振型的共振,这时的车速可定义为共振速度。车体浮沉振动将引发车体一阶弯曲振动模态,该模态出现共振的条件为:车辆定距是轨道激励波长Lr的整倍数,这时车辆系统在此波长的激励作用下表现为上下浮沉振动。车体一阶垂向弯曲自振频率f1等于轨道激励频率(车速与轨道波长之比),即Lr=2Lsnf1=vnLrn=1,2,3,⋯(15)由式(15)可得到共振速度vn=2Lsf1n(16)车体点头振动将引发车体二阶弯曲振动模态,该模态出现共振的条件为Lr=4Ls2n-1f2=vnLrn=1,2,3,⋯(17)于是,可得到车体点头共振速度为vn=4Lsf22n-1(18)当n较小时,共振速度高,对应于轨道长波长,共振时的轨道波长只与车辆定距有关。由计算公式(18)可知,共振速度只与车辆系统本身自振频率和车辆定距有关。改变车体的垂向弯曲自振频率,共振速度将改变,自振频率高则各次共振速度提高。由计算得到的车体一阶、二阶垂向弯曲振动的各次共振速度和对应的轨道波长,分别见表2和表3。而对应于轨道长波长(较小的n值)的车体二阶弯曲共振速度太高,无实际意义,在此无需列出。由于车体三阶及以上的高阶弯曲自振频率较高,要使其模态出现共振,则车辆运行速度需要更高,轨道波长更短,这在实际情况下一般是不易出现的,可不必考虑。我们知道,实际轨道激励是随机的,含有不同波长成分,只是有些波长成分能量强,有些弱。因此,当客车从低速到高速(如350km/h)的加速运行过程中,车体一阶和二阶垂向弯曲振动会出现多次不同强弱的共振,由于共振速度是很快越过的,对客车系统的振动影响不会太大。但是,如果客车的正常运行速度处于共振速度附近,如200～210km/h,这势必会引起车体的一阶弯曲共振(表2中的n=3)和二阶弯曲共振(表3中的n=9),解决的办法唯有从轨道上考虑,尽量减小对应的轨道波长(6m,2.12m)的强度。如要从根本上避免出现车体弯曲共振,客车的运行速度就需避开共振速度。本文共振速度的概念同样适用于车辆系统的多刚体振动和横向弹性振动。3共振速度的测试对于计及车体弹性效应时的客车系统幅频特性分析,考虑车体弯曲振动前三阶模态,采用变步长四阶龙格-库塔法在时域内进行客车系统方程的求解。一位轮对处的轨道激励取为zr(t)=asin2πft,式中激励频率f=v/Lr。于是,我们可进行客车系统幅频特性曲线的计算,即得到动力放大系数β(稳态响应幅值与激励幅值之比)与激励频率或车速(固定轨道波长)的关系。图3和图4分别为针对车体一阶和二阶弯曲振动计算得到的动力放大系数与车速的关系曲线,车体一阶弯曲振动输出响应取点为车体中央(x=12.25m),二阶弯曲振动取点为车体端部(x=0.0m)。图中不同的曲线n是在不同的轨道波长(见表2和表3)激振下得到的,各曲线的峰点对应于该轨道波长下的共振速度。由计算结果可知,通过数值计算得到的各次共振速度的值与前节根据共振速度定义得到的结果是一致的,这验证了共振速度定义的正确性。图中各曲线在低速时还存在另一峰值点,其对应于车体的浮沉和点头刚体模态自振频率。4个轮对同时同向垂向激振,并逐渐加大激振频率,可得到车体和构架振动的幅频特性曲线,车体输出点为车体中央。由图5可知,车体的浮沉共振频率为0.77Hz,车体的一阶弯曲共振频率为9.68Hz(与式(8)算得的固有频率相符),构架的浮沉共振频率为5.5Hz;采用半主动减振器能够减小车体的振动,但构架的振动有所增大,这是由于半主动减振器是针对车体运动方向采用开关方式控制阻尼力的缘故。由图6可知,车体一阶弯曲自振频率越低并越靠近构架的浮沉自振频率,车体垂向共振的峰值越大,因此,车体一阶弯曲自振频率应尽量离开构架的浮沉自振频率。一、二位轮对同时同向垂向激振,而三、四位轮对同时反向垂向激振,并逐渐加大激振频率,得到的车体和构架振动的幅频特性曲线见图7,车体输出点为车体端部。同样由图7可知,车体的点头共振频率为1.06Hz,车体的二阶弯曲共振频率为26.94Hz(与式(8)算得的固有频率相符);采用半主动减振器能够减小车体的振动,但构架的振动有所增大。4弹性土地模型的试验结果实际的轨道随机不平顺是含有不同波长成分的连续谱,图8为一轨道随机不平顺输入,能量主要集中在波长为30～70m的范围内,以约62m波长处的能量最大。对于客车系统的随机响应计算,同样采用时域方法来进行,认为轨道的随机不平顺输入是各态历经的,因此,可以用一段有限长的轨道随机输入样本函数来模拟客车在线路上的运行情况。轨道随机激励下客车系统的加速度和位移响应计算结果如图9、图10所示,车体响应包含浮沉、点头刚体振型和前三阶弯曲振型的叠加。由图9可知,车体加速度随车速的提高而增大,由于车体弹性振动的影响,端部的加速度大于中部;采用半主动减振器能够显著降低车体的加速度,在高速情况下减振效果更好;但采用半主动减振器会使构架的加速度有所增大,这与前一节的幅频特性分析结果一致。由图10可知,车体和构架位移存在峰值,对应的车速为170km/h左右,该速度主要对应于车体的浮沉共振(自振频率0.77Hz),是由能量相对比较集中的62m轨道波长引起的;采用半主动减振器会使共振速度有所减小;车体端部的位移响应大于中部,采用半主动减振器能够显著降低车体的位移响应,但会使构架位移响应有所增大。考虑与不考虑车体弹性振动情况下车体端部和中部的平稳性指标计算结果如图11所示。由图可知,平稳性指标随车速的提高而增大,弹性车体模型的结果大于刚性车体,速度越高弹性振动的影响越大;车体端部的平稳性指标大于中部;对于被动悬挂的弹性车体模型,平稳性指标在125、225、315km/h等多个速度附近存在峰值点,这