第一章 概率论的基本概论

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E---E7E：S={H,T}E：S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E：S={0，1，2，3}E：S={1,2,3,4,5,6}E:S={0,1,2,3,…}E：S={t}E7：S={}（二）随机事件我们把试验E的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。集合论集合点子集概率论SA在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中的某一个基本事件发生。事件A发生也称为事件A出现。必然事件：S不可能事件：例1.(P4)在E2中事件A1:”第一次出现是的H”,即：(三)事件的关系与运算设E的S，A，B，1．2．3．4．5．7．。记。(常用的关系）补充1．2．3．吸收律若，则特别注意：德·莫根律（对偶公式）推广：，。例2：P6,在例1中….其它例子：例3：：设{甲中}，{乙中}，问与各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”；（2）“三发子弹都未打中目标”；（3）“三发子弹至少有一发打中目标”；（4）“三发子弹恰好有一发打中目标”；（5）“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习§1.3概率与频率事件的频率及其稳定性设某试验的样本空间为，为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在这n次试验中，A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n次试验中发生的频率，记作:。频率的基本性质对任意事件A，有；，；若是互不相容的，则，推论：对任一事件A，有。实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p8—9页例1，2.概率的频率定义定义1.1在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作p。补充：概率的几种度量方法事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。几何概率度量 表示”在区域中随机取一点，而该点落在区域g中”这一事件。例：这时，可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。例如：见朱手稿。。。现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A):即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。。。选择对的话，将10万元。。。红色区域如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。。。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。。。例2.假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二)概率的公理化定义概率的公理化定义定义1.2设试验E的样本空间为S，如果对每一个事件A都有一个实数与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A，有；公理2（规范性）：对必然事件S，有；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件互不相容，则，那么称为事件A的概率。概率的性质(1);(2)有限可加性:若互不相容，则;(3)对事件A,都有;若,则;‚；特别的，对任何事件A，都有;对任何两个事件A,B，都有;对任何n个事件,都有例10---12为第一版上的例子。例10：A,B是E中二个事件，已知，，求解：例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%；订购C报的占30%，同时订购A,B的占10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）（1）{只订购A报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。§1.4等可能概型（古典概型）一、古典概率1．古典概型与计算公式E满足：①S中基本事件ω个数是有限的n；②每个基本事件发生是等可能的.称E为古典概型。E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为P(A).2．古典概率的基本性质设E是古典概型，其样本空间为，A，A，A，…，A是E中事件：①．0≤P（A）≤1②．P（S）=1，P（）=0③．若A，A，…，A是互不相容的事件，则有P；推论：P（A）=1-P（）。P13，将一枚硬币掷三次，。。。。P14---17例2—7.照书上讲。。。以下例4---9为第一版上的例子：例4：E中求任取一球的号码为偶数的概率。解：设A={所取的球的号码为偶数}={w2，w4，w6}即A中基本事件数k=3，于是P（A）=.例5：（1.10）在一袋中有10个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。例6：(1.11)在一袋中有10个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。例7：盒中有a个红球，b个白球（a≥2,b≥1），每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：(1)“取出的三个球依次为红，白，红色球”A；(2)“取出的三个球有两个是红色球”B.例：(1.13)在一袋中有10个相同的球，分别标有号码。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。例8：（1.14）设一批同类型的产品共有件，其中次品有件。今从中任取（假定）件，求次品恰有件的概率例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每次取一件，连取两次。求下列事件的概率：（1）“取到的两件产品的质量是相同的”A；（2）“取到的两件产品至少有一件是正品”B.§1.5条件概率条件概率例1将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为”到少有一次为H”，事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。解：样本空间为S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为：P(B/A)=1/3注意到：易知：定义：设A,B为E中的二个事件，且，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：.同样若，则。性质（定理）如果,则是概率.计算方法法一：公式计算法;法二：直接计算法.不难验证，条件概率P(·/A)符合概率定义中的三个条件：1.非负性2.完全性3.可加性P19例2P19，。下面的例11--13为第一版。例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在二个箱内，它们产品的情况如下：正品次品小计甲厂502070乙厂25530小计7525100从中任取一件产品，求下列事件的概率：（1）“取得的一件产品是甲厂产品”=A;(2)“取得的一件产品是次品”=B;(3)“取得的一件产品是甲厂生产的次品”;(4)已知取得的一件产品是甲厂生产的，求它是次品的概率。例12：在标号依此为的15个同类球中，任取一球。易算出下列事件的概率和条件概率。(1)取得“标号为偶数”（事件A）的概率；(2)取得“标号小于6”（事件B）的概率；(3)取得“标号既为偶数，又小于6”（事件AB）的概率；(4)若已知“所取球的标号小于6”（即在B已发生的条件下），则“球的标号为偶数”（即A再发生）的概率。例13：(书例1．20)设有100件同类型的产品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。从中任取一件，已知“取得的是非次品”（事件B），求“它是一等品”（事件A）的概率。(二)概率的乘法公式定义：设两个事件,且，由条件概率公式得,若,有称为概率的乘法公式（定理）.例3，4，P21---22;例14—16为第一版：例14：(书例1．21)10件同类型产品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取两次，每次取一件，求“两件均为正品”（事件A）的概率。推广：对n个事件，且,则有。例15：(书例1.22)一城市位于甲，乙两河的汇合处，当两河流至少有一泛滥时，该市就会被淹，已知在指定的时间内，甲,乙两河泛滥的概率均为0.01，又当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5。求在指定的时间内该市被淹的概率。例：已知，，，且，。求：；‚。例16：十个人抓一张电影票，问每个人抓到电影票的概率与抽签的次序是否有关？条件概率与有如下的一般关系(三)全概率公式例17（第一版）：口袋中有16个球，其中白球10个，红球6个。每次取一球，取后不放回，连取两次。求下列事件的概率：(1)“第一次,第二次取的都是白球”;(2)“第二次才取到白球”;(3)“第二次取到白球”.思考：三个事件有什么不同？‚第(3)个事件有何特点？难点在哪？怎么解决问题？定理1.1（全概率公式）若事件组满足：(1)互不相容且,,(2);则对任何事件A,均有。（1.19）称满足(1)、(2)的事件组为完备事件组。(1.19)式称为全概率公式。重点在于:什么情况下用全概率公式，如何用全概率公式解决实际问题。关键是找出且找出发生的“种可能原因”或“可能的前提条件”或“情况”将其视为。例18(第一版)：（书例1．23）市场出售的灯泡，甲厂占80%（其中合格率为95%），乙厂占20%（其中合格率为90%）。任买一灯泡，求它是合格品的概率。例19(第一版)：甲、乙、丙三厂生产一批同类产品。甲厂产量是乙厂、丙厂产量之和，而乙厂产量是丙厂产量的二倍。又知甲、乙、丙三厂产品的正品率分别为0.90,0.96,0.84。求从该批产品中任取一件是正品的概率；已知取得的一件是正品，问它是哪个厂产品的可能性最大（概率）？(四)贝叶斯公式定理1.2若是一完备事件组，则对任意的事件，均有。此式称为贝叶斯公式。例6，7，P24页。例20(第一版)：（书例1．26）某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为“合格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率。例21(第一版)：袋中有n个球，其中白球数未知，假设有i个白球的可能性对所有的i=0,1,…,n都相等。现从袋中任取一球，求在取得的球是白球的条件下，袋中原来有i个白球的概率？(i=0,1,…,n)§1.6事件的独立性.伯努利概型一.事件的独立性1.两个事件A,B的独立性定义1.3对任意的事件A,B,若,则称事件A,B是相互独立的。性质1:若A与B独立,则与B,A与,与相互独立。2.推广定义1.4对任意三个事件A,B,C，若则称事件A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。一般的，对任意n个事件，若，；‚，；…ƒ。则称事件相互独立，简称独立。性质2：若相互独立，则。例22（第一版）：(书例1．27)甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。求至少有一人射中目标的概率；恰有一人射中目标的概率。例23（第一版）：袋中装有编号为的n个球，有放回地抽r次，求：(1)1号球不被抽到的概率；(2)1号球和2号球均被抽到的概率。二．伯努利概型若试验E只有两个可能结果A和,且,,则称E为伯努利概型。称A为“成功”,为“失败”。n重伯努利试验将伯努利试验E，在相同条件下，独立地重复进行n次，作为一个试验，则这个试验为n重伯努利概型。记为En。注意两点：相同条件下，即每次相同。‚各次试验结果是独立的。3.定理1.3设E为伯努利试验，且，则在n重伯努利概型中，事件A恰好发生次的概率为：，。例2---