第17讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

程桥高级中学2013届高三数学复习学案PAGEPAGE4第17讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、复习目标：1、理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义；了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化。2、理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切。二、基础梳理：1、任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、.②按终边位置不同分为和.(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成．(3)弧度制 ①1弧度的角：把的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为，|α|＝eq\f(l,r)，l是，r为．③叫做弧度制，比值与所取的的大小无关，仅与的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度．⑤弧长公式：，扇形面积公式：.2、任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以为自变量，以为函数值的函数．3、三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中cosα＝，sinα＝，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的.三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线4、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β))＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(kπ,2)，k∈Z)))).5、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．6、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．三、双基自测：1、与eq\f(9π,4)的终边相同的角的集合是.2、若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是象限角．3、若sinα＜0且tanα＞0，则α是象限角．4、已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为．5、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.四、考点探究：考点一、角的集合表示及象限角的判定例1、(1)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、eq\f(α,2)所在的象限．方法总结：练习1、角α与角β的终边互为反向延长线，则．考点二、三角函数的定义例2、已知角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．方法总结：练习2、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝．考点三、弧度制的应用例3、已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.方法总结：练习3、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考点四、三角函数线及其应用例4、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).方法总结：练习4、求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(2cosx－1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值示