浅述二阶电路的求解方法

目录TOC\o"1-5"\h\z【摘要】 2【关键字】 2【引言】 2\o"CurrentDocument"二阶电路定义 2\o"CurrentDocument"二阶电路应用 2\o"CurrentDocument"二阶电路响应状态 2零状态响应 2零输入响应 3\o"CurrentDocument"全响应 3\o"CurrentDocument"二阶电路的求解 3时域求解 4解题思路 4\o"CurrentDocument"解题过程 4\o"CurrentDocument"代入数值 6\o"CurrentDocument"运算结果 .6复频率求解 .7解题思路 7\o"CurrentDocument"解题过程 7.\o"CurrentDocument"代入数值 8\o"CurrentDocument"运算结果 8\o"CurrentDocument"4.3解法对比 8\o"CurrentDocument"结论 9【摘要】本文针对二阶电路的零状态响应，着重对比列举了时域求解和复频域求解。由于硬件限制，未应用Pspice等电路仿真软件对二阶电路的零状态响应进行仿真。在严谨分析的基础上，通过两种不同解法演绎了二阶电路的过渡过程，加深了对二阶电路的理解。【关键字】二阶电路零状态响应微分方程拉普拉斯变换【引言】二阶电路的暂态过程分析是电路课程中的重要内容，但不容易理解和掌握，是电路课程的难点和重点。传统的思路是在一阶电路的基础上，通过求解二阶常系数微分方程，分析二阶电路零状态响应的过渡过程。为了便于理解和学习，可以采用传统的时域方法和复频域方法，加深对其理解。二阶电路定义二阶电路(secondordercircuit)，即用二阶微分方程描述的动态电路。二阶电路中含有两个独立的储能元件。二阶电路应用对于很多一些随时间不成直线变化的变量，需要用曲线进行模拟运算后，才能得到要求之内误差值的地方就要用到二阶电路，对非直线误差的补偿，充放电的设计，电机的启动停止，显示屏的点亮与关闭，信号的处理等等。二阶电路响应状态在电路运算中，一般可将二阶电路电路分为三种情况，即3.1.零状态响应在零初始状态下，由初始时刻开始施加于线性系统或电路的输入信号所产生的响应。3・2.零输入响应换路后，电路中无独立的激励电源，仅由储能元件的初始储能维持的响应.也可以表述为,由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的响应称为零输入响应(Zero-inputresponse). 零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。3.3.全响应线性系统或电路在激励作用下产生的零状态响应与零输入响应之和。它是系统或电路在输入和初始条件共同作用下的响应。二阶电路的求解二阶电路的解法较多，常见的解法是时域求解复频率求解仿真软件求解本文以以1串联电路为例，以时域求解和复频率求解讨论二阶电路的零状态响应。RLS1如图1所示，为£.殄串联电路，电感L和电容C处于零初始状态，即妃〔-)=%, =0。设l=1H，U=100(t)V，C=mF。若电阻R=3kQ，求出电流i和电压Rc

时域求解解题思路首先由KVL列出关于uc的微分方程，再根据题设条件求解方程。解题过程图1所示选取各电压、电流的参考方向。开关S闭合后，根据KVL，可得：u+u+u=u

RLC再由电容转移特性可知：-C冬di di d2uuuL-d^uLC，dCu=i・R=RC'%RC dt，写描述电路的微分方程：RCduc+LC^c+u=0

dt dt2 c即：LCp2+RCp+1=0为线性常系数二阶齐次微分方程。求解二阶微分方程需要两个初始条件来确定积分常数。根据换路定则：u（0+）=u（0-）=0，i（0+）=七（0-）=0因为iL=iC所以吧_i（0+）_0

~dt —cC一t=0+设方程的解为u=u+u其中u「二U=100V为方程的一个特解，而七”为对应齐次方程的通解。特征方程为LCp2+RCp+1=0特征根为:Rn,R1

p=—±”（—）2—2L\2LLC特征根只与电路结构和参数有关。

R>2L代入可得R>2L代入可得征方程有两个不相等的负实根。通解uC的一般形式为:u（t）=A.eP]t+Aep2t电流:其中积分常数A1、A2由初始条件确定，对原电路取£=〔+时刻值可得:u（0+）=100=A+A=0iC（0+其中积分常数A1、A2由初始条件确定，对原电路取£=〔+时刻值可得:u（0+）=100=A+A=0iC（0+）=CAp+CAp=011 22联立求解上两式得结果4.1.3.代入数值当R=3kQ时，可得3x103,

p= 3x103,

p= ±2x1（忌+）2-九。（技土"罚x1031p11+A2=0+A2P2）=04.1.4.运算结果由上可得p1=-381.97,p2=-2618.03,A1=-117,A2=-17故t0时u(t)=(100-117e-381.97t+17e-2618.03t)Vi(t)=(44.69e-381.97t-44.51e-2618.03t)mA复频率求解4.2.1.解题思路应用拉普拉斯变化，由题可得t<0时，由于电路处于零状态，故'(0-)=0，u(0-)=01_则s域中电容、电感分别为sC和sL，根据VCR可求解此题4.2.2.解题过程在s域中，100 1电源为s ，电容为sC，电感为sL，可得(s)= 100s(—+sL+3000)sC4.2.3.代入数值由题可得".)_ 100 _ 100 _k]k1s，=s2+3000s+106=(s+381.97)x(s+2618.03)=s+381.97+s+26128.03解得k「((s+381.97)i(s)] =44.69s=-2618.03%=[(s+2618.03)i(s)] =44.51s=-2618.03又由电容转移特性可知:i=C虬

dt等效为Uc=J牛出4.2.4.运算结果由上，可得原函数为i(t)=(44.69e-381.97t-44.51e-2618.03t)mAu(t)=(100-117e-381.97t+17e-2618.03t)C4.3解法对比使用两种方法，计算结果完全一样。时域求解基础直观，复频率求解简