正余弦定理知识点及题型归纳

解三角形.正弦定理:abcsinA=sinB=sinC=2R，其中r是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到(1) a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(1) sinA=a/2RsinB=b/2RsinC=c/2Ra：b：c=sinA：sinB:sinC余弦定理：TOC\o"1-5"\h\za"2 = b"2 + c"2 - 2, b •c • cosAb"2 = a"2 + c"2 - 2, a •c • cosBc"2 = a"2 + b"2 - 2, a •b • cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到cosC=(a"2+b"2-c”2)/(2,a•b)2. cosB=(a"2+c"2--b"2)/(2•a•c)3. cosA=(c"2+b"2-a”2)/(2,b•c)余弦定理和正弦定理的面积公式111Saabc=2absinC=2bcsinA=2acsinB(常用类型：已知三角形两边及其夹角)判断三角形的形状有两种途径：将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三.解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角已知两角及一边解三角形

例1已知在△ABC中，c=10,A=45°,。=30°,求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在AABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=2/3,b=/6,A=45°，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b=3,c=3'回B=30°,求角A,角C和边a.例四：在△ABC中，若ZB=30°,AB=2,AC=2,则^ABC的面积是?？？？？？？？?例五.判断三角形的形状（1） 正弦定理判断在^ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断^ABC的形状.（2） 余弦定理判断在^ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状.例六判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数：（1）a=5,b=4,A=120度(2)a=7,b=14,A=150度a=9,b=10,A=60度（4） c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.1、AABC中，A=；,BC=3,则AABC的周长为（）A.4A.4J3sinB+二+34j3sinB+-+3I6)(兀、D.6sinB+-+3I6)

2、在AABC中，已知AB==6,cosB= ,AC边上的中线BD=；，求sinA的值.3 63、 在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若ZC=120°,cf'2a,贝A.a>b B.aVb C.a=b D.a与b的大小关系不能确定4、 在^ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=43bc,sinC=2/'3sinB,则A=(A)300 (B)600 (C)1200 (D)1500<6D一35、 在AABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB<6D一32w'2TOC\o"1-5"\h\zA— -3.. . .. ，二—2兀 一.6、 在^ABC中，若b=1,c=、;3,ZC=―^，则a=。7、在^ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长..一一—一AC —8、在锐角AABC中，BC=1,B=2A,则一的值等于 ,AC的取值范围cosA9>AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=s'nA+sinB,sin(B-A)=cosC.cosA+cosB(1)求A,C； (2)若S =3+/3，求a,c.AABC二、 判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.1、 在AABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么AABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形2、 18.若^ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△ABC(A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形.(C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.1、在AABC中，若/A=120，AB=5，BC=7，则AABC的面积S=+0四、 求值问题1、在AABC中，/A、ZB、ZC所对的边长分别为a、b、c,c1设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和一=_+*3，求ZA和tanB的值.b2

2、 在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,—+?=6cosC,则abtanC taC + = 。tanA tafi3、 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC.（I）求A的大小;(II)求sinB+sinC的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下:（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得ZCAB=3GO，ZCBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题A2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，