浙江省2022年普通高中数学1月学业水平考试试卷(教师版)

浙江省2022年普通高中数学1月学业水平考试试卷一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合P={0，1，2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）A．{0} B．{0，3}C．{1，2} D．{0，1，2，3}【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】∵P={0，1，2}，Q={1，2，3}，∴P∩Q={1，2}。故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，进而得出集合P合集合Q的交集。2．函数f(x)=1A．{x|x<2} B．{x|x>2} C．R D．{x|x≠2}【答案】D【知识点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】∵x−2≠0，∴x≠2，即函数f(x)=1x−2的定义域为故答案为：D

【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数f(x)=13．函数y=2A． B．C． D．【答案】D【知识点】指数函数的图象与性质【解析】【解答】由y=2−x=(1且函数为减函数，D选项符合题意。故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合指数函数的图像，进而找出函数y=24．已知α∈R，则cos（π-α）=（）A．sinα B．-sinα C．cosα D．-cosα【答案】D【知识点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】因为cos(π−α)=−故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合诱导公式得出cos(π−α)5．已知圆M的方程为(x+1)2A．（−1，2） B．（1，2）C．（1，−2） D．（−1，−2）【答案】A【知识点】圆的标准方程【解析】【解答】∵(x−a)2+∴(x+1)2+故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A．棱柱 B．圆柱 C．圆台 D．球【答案】C【知识点】由三视图还原实物图【解析】【解答】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合三视图还原立体几何图形的方法，进而找出正确的选项。7．已知函数y=2ax3（A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增【答案】D【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【解析】【解答】令y=f(x)=2ax3，则函数y=f(x)=2ax所以函数y=f(x)=2ax又因为a>0，所以函数y=f(x)=2ax故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而判断出函数的奇偶性和单调性。8．不等式x2A．(0，4) B．(−4，0)C．(−∞，4) D．(−∞，0)∪(4，+∞)【答案】A【知识点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】x2−4x<0⇒x(x−4)<0，解得0<x<4，所以解集为故答案为：A

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式x29．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【知识点】圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】因为||PA|−|PB||=3<4，所以P点的轨迹是双曲线。故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。10．不等式组x−2y+5≥0x+y+2<0A． B．C． D．【答案】B【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解答】画出直线x−2y+5=0，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入(0，0)可得5≥0成立，所以x−2y+5≥0表示的区域为直线x−2y+5=0及直线右下方；画出直线x+y+2=0，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入(0，0)可得2<0不成立，所以x+y+2<0表示的区域为直线x+y+2=0及直线左下方，所以对应的平面区域为B.故答案为：B

【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。11．已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a//b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】“直线a与b没有公共点”表示两条直线a//b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a//b”的必要不充分条件。故答案为：B

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“a与b没有公共点”是“a//b”的必要不充分条件。12．为了得到函数y=cos(x−1A．向左平移π3个单位长度 B．向右平移πC．向左平移13个单位长度 D．向右平移1【答案】D【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】函数y=cosx中的x替换为x−1因此对应的图象向右平移移13个单位长度，可以将函数y=cosx的图象变为函数y=故答案为：D

【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图像变换，进而找出正确的选项。13．已知函数f(x)=xA．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质【解析】【解答】f(x)=x2−2ax+b对称轴为x=a故答案为：A

【分析】利用已知条件结合二次函数的图像的对称轴和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，再结合二次函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。14．已知向量a，b满足|aA．2 B．210 C．8 D．【答案】B【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算【解析】【解答】∵|a又∵|∴|a−b|2+64=2×16+2×36=104，故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出|a15．如图，正方体ABCD−A1B1CA．12 B．105 C．155【答案】B【知识点】直线与平面所成的角【解析】【解答】连接AC、BD交于O，由正方形的性质可得CO⊥BD，又∵BB1⊥CO⊂平面ABCD，∴BB又∵BB1与BD在平面所以CO⊥平面DB∴∠CNO是CN与平面DBB设正方体的棱长为2，则CN=5，CO=∴sin故答案为：B.

【分析】连接AC、BD交于O，由正方形的性质可得CO⊥BD，再利用BB1⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以BB1⊥CO，再利用BB1与BD在平面DBB1D1内相交，所以CO⊥平面DBB16．若log2(2x−1)−x<A．(19，+∞) B．(0，19)【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由log2(2x−1)−x<log2(λ⋅2x+3λ)，可得log2(2x−1)−log22x<log2(λ⋅2x+3λ)故答案为：A

【分析】由log2(2x−1)−x<log2(λ⋅2x+3λ)，可得log22x−12x<log2(λ⋅17．已知单位向量e1，e2不共线，且向量a满足|aA．π2 B．2π3 C．3π4【答案】B【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】设向量e1，e2夹角为θ，设向量a与[(λ−1)e由|aa2所以12所以|(λ−1)e所以|(λ−1)所以|(λ−1)e所以2λ即(2−2cos当2−2cosθ=0，即cosθ=1当2−2cosθ>0时，即cosθ<1(cos所以得−1因为θ∈[0，π]，所以0<θ≤综上所述，0≤θ≤2π所以向量e1，e故答案为：B

【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量e1，e18．通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{an}A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式【解析】【解答】设数列经过第n次拓展后的项数为bn，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第n+1次拓展后增加的项数为b所以bn+1即bn+1−1=2(b所以数列{bn−1}是以bn−1=2则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为210所以经过11次拓展后6所在的位置为第210所以a1025故答案为：A.

【分析】设数列经过第n次拓展后的项数为bn，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第n+1次拓展后增加的项数为bn−1，再利用已知条件得出bn+1=bn+bn−1=2二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．若数列{an}通项公式为an=2n，记前n项和为Sn，则【答案】4；20【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】因为an=2n，所以又因为an+1−an=2则S4故答案为：4；20。

【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列{a20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=.【答案】6【知识点】正弦定理【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°，asin所以b=a⋅故答案为：6。

【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。21．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F【答案】1【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】根据椭圆定义知|PF2|+|PF1由三角形MOF2为直角三角形可得点P是∵F2(c，0)，∴P(故答案为：12

【分析】根据椭圆定义知|PF2|+|PF1|=2a，再利用|PO|+|PF22．如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足EF=2xAV+yBC(x>0，y>0)【答案】1【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的共线定理；共线向量与共面向量【解析】【解答】因为EF=2x所以EF，作MF∕∕AV交AC于点M，连接ME，则ME∕∕BC，因为EF=所以EM=yBC，因为MF∕∕AV，所以MFAV=CM因为ME∕∕BC，所以EMBC=AM又CM+AM=AC，所以2xAC+yAC=AC，所以2x+y=1，则y=1−2x，0<x<1故x2所以当x=25时，x2故答案为：15

【分析】利用EF=2xAV+yBC(x>0，y>0)结合向量共面的判断方法，所以EF，AD，BC共面，作MF∕∕AV交AC于点M，连接ME，则ME∕∕BC，再利用三角形法则得出EF=EM+MF，所以EMBC=y，MFAV=2x，再利用三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．已知函数f(x)=3sin（1）求f(0)的值；（2）求f(x)的最小正周期.【答案】（1）∵f(x)=3sin∴f(0)=3（2）∵f(x)=3sin(2x+π6∴f(x)的最小正周期T=【知识点】函数的值；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。

（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。24．如图，已知抛物线C：y2（1）求p的值；（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当|FA||FB|=6S时，求直线l的方程.【答案】（1）抛物线C：y2=2px(p>0)焦点为F(p2，0)，准线为l：x=−p2∴p=2；（2）由（1）可得抛物线的方程为y2=4x，焦点显然直线l的斜率不可能为零，故可设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程整理得y2设A(x1S△AOB|FA||FB|=(=m由|FA||FB|=6S，得4m2+4=12∴直线l的方程为x−22y−1=0或【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。

（2）由（1）得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标，显然直线l的斜率不可能为零，故可设直线l的方程为x=my+1，设A(x1，y1)，B(x2，25．已知函数f(x)=|x−a|−1（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在两个不相等的正实数x1，x①2<x②x2【答案】（1）由f(1)=|1−a|−1+a=2，化简得：|1−a|=3−a，两边平方，解得：a=2.（2）不妨令x1①当x>a时，f(x)=x−a−1x+a=x−1x在(0，+∞)当x=a时，f(x)=a−1当x<a时，f(x)=2a−(x+1x)，由对勾函数知识可知：当a≤1时，f(x)