2021-2022学年河南省开封市五县部分校高一下学期3月月考数学试题

20212022学年河南省开封市五县部分校高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．复数，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的知识点解题【详解】由题，即，即，所以，故选：B2．已知A，B，C是平面内三点，向量，满足，且，则（

）A．2 B．16 C．4 D．【答案】C【分析】根据向量的减法运算及向量的数量积的运算律，再结合向量的摸公式即可求解.【详解】由，得，所以.故选：C.3．已知i虚数单位，若z=1+，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以；故选：C4．在中，“”是“”的（

）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】可以由反向推导得到A＞B﹒【详解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大边对大角的结论知．所以为充要条件．故选：A5．定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数对应的点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据定义运算及复数的四则运算及复数的几何意义即可求解.【详解】由题意可知，，得，即，复数对应的点为.所以复数对应的点所在象限为第三象限.故选：C.6．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形【答案】B【分析】由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状.【详解】∵

，∴

，∴

，∴四边形一定是梯形．故选：B.7．在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】由三角形内角和判断A，由正弦定理结合边角关系可判断BCD．【详解】解：对于A，根据三角形内角和关系可得，故只有一解；对于B，利用正弦定理可知，且，故B只有一解；对于C，利用正弦定理可知，无解；对于D，用正弦定理可知，因为大于，所以D有两个值，故选：D．8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．9．设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.【详解】，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.故选：B10．已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】根据，的几何意义及向量加法运算法则得到射线在角A的平分线所在射线上，从而得到答案.【详解】，分别表示的是方向上的单位向量，由向量加法运算法则可知：射线在角A的平分线所在射线上，故射线经过的内心.故选：A11．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．12．中，，，点为外接圆的圆心．且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据外接圆的性质、向量的线性运算及向量数量积的几何意义，得出,再结合的面积公式即可求解.【详解】由题意可知，过点作垂直分别为，如图所示由点为外接圆的圆心，所以分别是的中点，即，，在中，，同理，在中，.所以，又因为，所以，解得，所以的面积为.故选：D.二、填空题13．若向量，，且，则___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x.【详解】因为向量，，，所以，解得：x=13.故答案为：1314．在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为_________.【答案】【详解】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．下列说法正确的序号为______．①若复数，则；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数，，若，则，均为实数；④复数的虚部是1．【答案】①②③【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解.【详解】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，复数集实数集虚数集，故②正确；对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由，得，均为实数，故③正确；对于④，复数的虚部是，故④不正确.故答案为：①②③.16．在中，一个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为______．【答案】【分析】通过三角形的射影定理得到，利用余弦定理与面积公式得到面积与角C的关系，然后利用几何性质求解即可【详解】由题，根据射影定理可知，即由余弦定理，即由面积公式得令，因为，即m可看作单位圆上半圆与点连线斜率的范围，由下图知相切时m最小，根据勾股定理，，，m最小就是S最大，故故答案为：三、解答题17．已知m∈R，复数（i是虚数单位）．（1）若复数z是实数，求m的值；（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．【答案】（1）m＝3；（2）（﹣2，﹣1）．【分析】（1）直接由虚部为0求解；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【详解】解：（1）∵是实数，∴，解得m＝3；（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，∴，解得﹣2＜m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）．18．如图，在梯形中，，，，分别为，的中点，，，．（1）用，分别表示向量，，，．（2）求证：，，三点共线．【答案】（1），，，；（2）证明见解析.【分析】（1）利用平面向量线性运算求解即可；（2）利用及共点，证得结论.【详解】解：，，，；（2）证明：因为，，所以，又共点，故，，三点共线.的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，则，；（2），，则，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，当时，取到最大值.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．已知复数，，其中是实数．(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，是正实数，求．【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用为纯虚数求，从而得，然后通过复数的周期性进行求解即可【详解】(1)∵，，∴从而，解得a=2所以实数a的值为2．(2)依题意得：因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；又因为a是正实数，所以a=2．当a=2时，，因为，，，，……，，，，，（）所以所以21．在三角形中，是线段上一点，且为线段上一点．（1）已知，设，求；（2）若E为线段的中点，直线与相交于点F，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）运用向量的线性运算得，对比可求得，可得答案；（2）令，由B、D、F三点共线，求得，得出向量的线性表示，再由向量数量积的运算可得答案.【详解】解：（1），所以；（2），令，则，由B、D、F三点共线：，，.【点睛】关键点点睛：解决向量的线性运算和数量积运算时，关键在于转化法的运用，将待求的向量转化为已知向量得以求解.22．在△中，三个内角，，所对的边为，，，若．（1）求角的值；（2）如图所示，若，，，求长度．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据正弦定理，以及两角和与差的正余