山东省潍坊市2022-2023学年高二下学期期中数学试题

高二数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用函数的求导公式，导数的四则运算进行求解.【详解】根据求导公式和导数的加法，.故选：A2.已知等差数列的前n项和为则（）A.18 B.21 C.39 D.42【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质求解.【详解】解：因为等差数列的前n项和为所以，故选：C3.如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】伯努利试验中随机变量服从二项分布，根据方差的计算公式即可算出结果.【详解】解：伯努利试验中随机变量服从二项分布，即，因为出现“成功”的概率为，所以，因为次独立重复试验，所以，所以.故选：.4.已知函数的导函数为，若，则（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】求得，令，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，解得.故选：A.5.某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：喜欢阅读不喜欢阅读总计男学生302050女学生401050总计7030100根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（）P（x²≥k）k2072A.没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”B.有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”C.在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”【答案】D【解析】【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断.【详解】解：A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；D.因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确；故选：D6.若的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】根据题意可得，解得，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：D.7.已知数列{an}的前n项和为，，，则（）A.64 B.62 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】根据得到，，，，相加得到答案.【详解】，，则，，，.故.故选：B8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案.【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义，需满足，解得.因为，所以，即，设函数，则在定义域上单调递减.要求，则当，即时，，即，所以，解得或，所以；当，即时，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，当时，有，显然成立；综上，的解集为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.相关系数r越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱B.若P（B|A）=P（B），且P（B）>0，则事件A，B相互独立C.回归直线恒过样本中心点，且至少经过一个样本点D.残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好【答案】BD【解析】【分析】根据线性回归直线的相关知识可判断选项A，C，D；利用相互独立事件的概念即可判断选项B.【详解】线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故选项A错误；因为P（B|A）=P（B），且P（B）>0，所以事件A，B相互独立，故选项B正确；回归直线恒过样本中心点，当不一定经过样本点，故选项C错误；残差平方和越小的模型，线性回归模型的拟合效果越好，故选项D正确；故选：BD.10.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A.有且仅有两个极值点B.在区间上单调递增C.若在区间上单调递增，则m的取值范围为或D可能有四个零点【答案】AC【解析】【分析】根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调性，逐项判定.【详解】根据的图象，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确；而B错误；若在区间上单调递增，则，或，解得或，所以C正确；根据函数的单调性，可知函数的图象与轴最多有三个交点，所以D错误.故选：AC11.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（）A.乙连胜三场的概率是B.C.D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则；；故选项B正确；;故选项C错误；令，则，因为，所以当时，，当时，；当函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取最大值，所以的最大值是，故选项D正确；故选：BD.12.给定无穷数列，若无穷数列满足:对任意，都有，则称与“接近”，则（）A.设则数列与“接近”B.设，，则数列与“接近”C.设数列的前四项为，，，，是一个与接近的数列，记集合，则中元素的个数为3或4D.已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，则【答案】BCD【解析】【分析】计算，A错误，确定得到B正确，计算的范围，考虑相等的情况得到C正确，考虑，，和四种情况，计算得到答案.【详解】对选项A：，错误；对选项B：，，正确；对选项C：，故，故，，，，故可能和相等，和相等，但不能同时成立，与不相等，故中元素的个数为3或4，正确；对选项D：是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，可得，①若，取，，，则，，，中有200个正数，符合题意；②若，取，则，，可得，则，，，中有200个正数，符合题意；③若，可令，，满足，，则，，，中恰有100个正数，符合题意；④若，若存在数列满足：与接近，即为，，可得，，，，中无正数，不符合题意.综上所述：的范围是，正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将等差数列的公差讨论四种情况，可以简化运算，是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.要安排4位同学表演文艺节目的顺序，要求甲不能第一个出场，则不同的安排方法共有____________种.【答案】18【解析】【分析】根据题意，由特殊元素优先处理，先安排甲，然后其他同学顺序没有限制，即可得到结果.【详解】因为甲不能第一个出场，则甲可以排在第二，三，四的位置，共3种，剩下3名同学的排序为，所以不同的安排方法共有种.故答案为:14.已知函数在取得极值，则_____________【答案】0【解析】【分析】对函数求导，结合求参数a，注意验证是否取得极值.【详解】，由题意，此时，故，所以上，上，即上递减，上递增，则取得极小值，所以.故答案为：15.已知数列的前n项和为，且满足：①从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于;②当时，S取得最大值.则____________.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由题意可知，数列的公差，要使当时，数列的前n项和为取得最大值，则，则满足条件，故答案为：（答案不唯一）.16.将字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每个格子各放一个字母.①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为____________；②若表格中一行字母完全相同的行数为ξ，则ξ的均值为____________.【答案】①.②.【解析】【分析】运用排列中的倍缩法求出9个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论9个字母的排列情况，进而求出概率；行数可能取值为0,1,3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出行数为0的概率，最后求出均值.【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种，第三列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种,所以共有种排列方法，9个字母在的表格中进行排列，共有种排列方法，所以所求概率为．由题意知，行数的可能取值为0,1,3，，，，所以行数的均值为．故答案为：，.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知曲线在坐标原点处的切线方程为.（1）求实数的值;（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，切线经过的点列方程求解；（2）求导，研究函数的单调性，得到函数的极值然后求出端点处的函数值，和极值比较大小，从而得到函数的值域【小问1详解】，由题意得.，解得【小问2详解】由（1）知，令，即，解得或；令，即，解得.所以在单调递增，单调递减，单调递增，则的极大值为，极小值为又因为，即在上的最大值，最小值分别为.故在上的值域为18.已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列是等差数列；（2）设求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据前n项和与通项公式之间的关系可得，再结合等差数列定义证明；（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.【小问1详解】当时，则；当时，则；显然当时，也满足上式，所以.当n≥2时，则，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）可知，，则，可得，所以数列前n项和为.19.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.【答案】（1）（2）该球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【小问1详解】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则，由全概率公式得：.【小问2详解】该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率该球取自乙箱的概率因为所以该球取自乙箱的可能性更大.20.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）已知数列满足求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意求出公比和即可求数列的通项公式；（2）分别用累加法和错位相减法求.【小问1详解】解：因为是，的等差中项，所以，所以，解得，所以，所以，由可解得，所以，即数列的通项公式为.【小问2详解】由题意知，所以………累加得，设，所以整理得又，所以21.从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何?您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受?为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）.（1）本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如下频率分布表.成绩[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频率01按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列及期望；（2）该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y，如下表所示：x32415468748092y根据数据初步判断，可选用作为回归方程.（i）求该回归方程;（ii）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x~N（μ，400），其中μ近似为样本平均数a，估计该市景区“好评”率不低于的概率为多少?参考公式与数据：若，则，线性回归方程中，若随机变量，则【答案】（1）分布列见解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据分层抽样的性质可知X的取值范围是{1，2，3}，然后算出每一个值对应的概率，列出分布列，代入均值的计算公式即可求解；（2）（i）根据题中所给数据，利用最小二乘法即可求解方程；（ii）利用正态分布的性质即可求解.【小问1详解】按照分层抽样的方法，测评成绩在[0，20）的游客有2人，[80，10