水平层分析中的极限平衡法变分法的合理性

水平层分析中的极限平衡法变分法的合理性

1水平层分析法的基本原理为了解决指控底板沿墙高度的非线性分布的问题，k.r.i（60）建立了一种分析指控土壤压力的水平分布的方法，也称为水平分布模式。此后,许多学者推广、简化和改进了Kаrан的研究成果。水平层分析法沿用了Coulomb土压力理论破坏面为平面的假定,不考虑土条间的切向作用力,得出了主动土压力作用点的位置。其结论与文献中对于主动土压力作用点位置的计算结果不同。文献以滑动体静力平衡的力的平衡方程为基础,引入Lagrange乘子,将土压力问题转化为确定含有两个函数自变量的泛函极值问题,在确定了主动土压力的大小后,利用滑动体静力平衡的力矩平衡方程计算力的作用点位置。在文献中,土体沿平面滑动破坏是由理论推导得出的结论,土压力大小的结果与库仑土压力理论完全一致,但土压力作用点作用在小于等于墙高的1/3位置处。为澄清认识,有必要结合文献中的研究成果进行分析。2滑动面法向应力如图1所示,文献利用极限平衡变分法,基于Euler方程得到了主动极限状态下土体滑动面的方程式(1)和沿滑动面的法向应力分布式(2)。式中:λ为Lagrange乘子,等于tan(α-ϕ);ϕ为土体内摩擦角;α为滑裂面与水平面的夹角,见图1;σ为滑动面上作用的法向应力;xB为滑动体右上角点B的X坐标;c为土体凝聚力;γs为土体的重度。λ和xB具体求解见文献。3各土条的静力平衡方程采用水平层分析法确定主动土压力沿墙高的分布。首先,需要将滑动体沿垂直方向化为多个水平土条;然后,以每个水平土条为研究对象,利用其静力平衡的条件求得作用在土条侧面的土压力。当划分的土条足够多时,就近似得出土压力沿墙高的分布。由前面的叙述可知,已经确定了滑动面方程式(1)和沿滑动面的法向应力式(2),进而可以求出裂面与水平面的夹角αe。现在要做的是,先将滑动体ABC沿Y方向等分为k个水平土条(见图2),土条的高度∆y=h/k;接下来根据滑动面BC的方程和∆y确定滑动面等分点处的x坐标xi(i=0,1,2,…,k);最后以每个土条为研究对象,利用其静力平衡方程求解作用在其上主动土压力。以第i个土条1~4为例(见图2)。由∑X=0可得由∑Y=0可得由∑M*=0可得式中:pai为作用在第i个土条上的主动土压力;iT、Ti-1分别为作用在第i个土条顶面和底面的切向力;iR、Ri-1分别为作用在第i个土条顶面和底面的法向力;K(R)为土条顶面和底面法向力作用点位置系数。例如,当法向力沿作用面均匀分布时,K(R)=1/2;而当法向力沿作用面三角形分布时,K(R)=2/3。iQ、Zi分别为作用在第i个土条滑动面上的切向力和法向力;∆iW为第i个土条的重量;﹡为土条靠墙面的中点,亦即pai的作用点;ix、xi-1分别为第i个土条右上角点和右下角点处的x坐标;M(iQ)、M(Zi)、M(∆iW)分别为力iQ、Zi、∆iW对﹡点的力矩。令联立求解式(3)、式(4)和式(5),可得其中:此外,由图2可知:代入式(16)、(17)和式(18),并令i=1,2,…,k–1,k,利用式(7)~(9)就可依次求出作用在每个土条上的主动土压力pni,也就相应得到了土压力沿墙高的分布。4土体滑动破裂面的计算水平层分析法有3个最基本的假定:(1)假定土条顶面和底面法向力作用点位置系数K(R)=0.5;(2)假定土条间的作用力T=0;(3)墙后土体的滑动破裂面为平面。下面通过具体的计算结果讨论上述前两个假定的合理性。4.1墙高、土压力分布当土体的凝聚力c=0时,代入式(16)~(18),并令i=1,2,…,k–1,k,利用式(7)~(9)就可以得到主动土压力沿墙高的分布。以ϕ=30o且δ=0为例,取土条顶面和底面法向力作用点位置系数K(R)=0.5,可以求出主动土压力强度沿墙高的方向成静水压力分布,如图3所示,这与本文前面求出的土压力的作用点在墙高的1/3处的结果相一致,并且此时求得的土条间的作用力T恒为0。当取土条顶面和底面法向力作用点位置系数K(R)=0.49时,发现主动土压力强度沿墙高的方向成锯齿形分布(图4),而此时求出的土条间的作用力T沿墙高的分布如图5所示,可以近似为0,这说明主动土压力强度分布对系数K(R)的取值相当敏感。当δ≠0时,取δ=ϕ/2,并令土条顶面和底面法向力作用点位置系数K(R)=0.5,求出的主动土压力强度及土条间的作用力T沿墙高的分布分别见图6和图7。土条间的作用力T沿墙高的分布不再恒为0,主动土压力强度在墙顶附近出现了负值,这显然是不合理的。再令K(R)=0.6,主动土压力强度沿墙高的分布见8所示,相应的计算结果显然不正确。4.2x方向力的平衡方程下面以图2(a)中的第1个及第k个土条为例,分析忽略土条间的作用力T对主动土压力强度沿墙高的分布有何影响。如图9所示,第1个土条在X方向力的平衡方程为如图10所示,第k个土条在X方向力的平衡方程为显然,忽略土条间的作用力T使pa1变大,pak变小。也就是说,不考虑土条间的切向作用力T将使墙顶部的主动土压力强度变大,墙底部附近的主动土压力强度变小。也就是说,水平层分析法改变了主动土压力强度沿墙高的分布,在总的主动土压力不变的前提下,求出的主动土压力作用点的位置偏高。5墙高/墙高模型的选取(1)利用水平层分析法确定土压力强度沿墙高的分布时,求出的结果对土条顶底面的法向力作用点位置系数K(R)的取值非常敏感。(2)系数K(R)为墙高