苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)一、选择题1.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，则该扇形的面积为(

)A.18π B.27π C.36π D.54π2.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB的长是(

)A.π6 B.π4 C.π33.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为(

)A.2

B.2π

C.4

D.4π4.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为(

)A.4π3−23 B.8π3−45.如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为(

)A.2π

B.4π

C.6π

D.12π6.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则CD的长度为(

)A.π

B.2π

C.22π7.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为(

)A.π+3

B.π−3

C.8.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(

)

A.2π3 B.23−π39.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为(

)

A.3π−3 B.3π−6 C.6π−3 D.6π−610.如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得AB的长度是4π3，AB的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是(

)A.310 B.213 C.二、填空题11.若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是

．12.半径为6，圆心角为60°的扇形面积为

．13.如图，已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为

cm(结果保留π).

14.如图，在扇形OEF中，∠EOF=90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是EF的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为______．

15.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为______．

16.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为_________．

17.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____(结果保留根号和π)．

18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是_______________．

三、解答题19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE

(1)求证：OA=OB；

(2)已知AB=4320.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．

(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．21.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC/​/BD，交AD于点E，连结BC．

(1)求证：AE=ED；

(2)若AB=10，∠CBD=36°，求AC的长．22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

(1)求证：DE是⊙O的切线．

(2)若DE=3，∠C=30°，求AD的长．23.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分面积．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．

【解答】

解：设扇形的半径为r．

由题意：120πr180=6π，

∴r=9，

∴S扇形=2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了弧长的计算和垂径定理，此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．

先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．

【解答】

解：如图，作OC⊥AB，

则利用垂径定理可知BC=12，

∵弦AB=1，

∴sin∠COB=12，

∴∠COB=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AB的长3.【答案】B

【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，

∴BC=AB2+AC2=42，∠ACB=∠A′CB′=45°，

∴阴影部分的面积4.【答案】C

【解析】解：连接OD，

在Rt△OCD中，OC=12OD=2，

∴∠ODC=30°，CD=OD2−OC2=23，

∴∠COD=60°，

∴阴影部分的面积=60π×425.【答案】B

【解析】解：连接OB，OC，

∵∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∴BC=120π×6180=4π．

故选B．

连接OB，OC，根据圆周角定理求出6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．

连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．

【解答】

解：连接OC、OD，

∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．

∴OC⊥AC，OD⊥BD，

∵∠A=45°，

∴∠AOC=45°，

∴AC=OC=4，

∵AC=BD=4，OC=OD=4，

∴OD=BD，

∴∠BOD=45°，

∴∠COD=180°−45°−45°=90°，

∴CD的长度为：90π×4180=2π，

故选：7.【答案】D

【解析】【分析】

图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．

本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．

【解答】

解：过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD=1，AD=3BD=3，

∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×3=8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，在底角为30°的等腰△BB′O′中，求得BB′=23，O′到BB′的距离为1，则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)，即可求解．

【解答】

解：连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，

∴∠OAO′=60°，

∴△OAO′是等边三角形，

∴∠AOO′=60°，OO′=OA，

∴点O′在⊙O上，

∵∠AOB=120°，

∴∠O′OB=60°，

∴△OO′B是等边三角形，

∴∠AO′B=120°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠B′O′B=120°，

∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，

又BO′=O′B′=2，

在底角为30°的等腰△BB′O′中，BB′=23，O′到BB′的距离为19.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了扇形的面积、直角等腰三角形的面积、弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出16三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．一个小弓形的面积=扇形面积−三角形的面积．

解：如图，弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，

由题意知∠AMO=90∘，∵AO=2，∴AM=S扇形AMOS△AMO∴S∴S10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．

连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2，再利用垂径定理得到OP⊥AB，则∠OPB=90°，于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上，直线QO′交⊙O′于E、F，如图，根据切线的性质得到OB⊥BQ，则利用勾股定理可计算出O′Q=10，利用点与圆的位置关系得到m=10+1，n=10−1，然后计算mn即可．

【解答】

解：连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，

设⊙O的半径为r，

根据题意得120⋅π⋅r180=43π，

解得r=2，

∵P点为AB的中点，

∴OP⊥AB，

∴∠OPB=90°，

∴点P在以OB为直径的圆上，

直线QO′交⊙O′于E、F，如图，

∴BQ为切线，

∴OB⊥BQ，

在Rt△O′BQ中，O′Q=12+32=11.【答案】2π

【解析】【分析】

根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．

本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，熟记弧长公式是解题的关键．

【解答】

解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，

∴此扇形的弧长=120π×318012.【答案】6π

【解析】解：扇形的面积=60×π×62360=6π，

故答案为6π．

13.【答案】8π

【解析】【分析】

本题主要考查的是正多边形的计算、弧长的计算，掌握正多边形的内角的计算公式、弧长公式是解题的关键，属于基础题．

解答此题，首先求出正六边形的内角的度数，然后根据弧长公式计算即可．

【解答】

解：正六边形的一个内角的度数为：

(6−2)×180°6=120°，

则所得到的三条弧的长度之和为：120π×4180×3=8π(cm)，14.【答案】12【解析】解：如图，连接OC．

∵在扇形AOB中∠EOF=90°，正方形ABCD的顶点C是EF的中点，

∴∠COF=45°，

∴OC=2CD=2，

∴OD=CD=2，

∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积

=45360×π×22−12×(2)2

=12π−1．15.【答案】4−π

【解析】解：如图，连接AD．

∵⊙A与BC相切于点D，

∴AD⊥BC．

∵∠EPF=45°，

∴∠BAC=2∠EPF=90°．

∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=12BC⋅AD−16.【答案】4π−16【解析】【分析】

本题考查的是折叠的性质，扇形的面积，三角形的面积有关知识，根据题意先求出扇形OAB的面积，再减去2个△BOD的面积即可解答．

【解答】

解：∵在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4，

∴扇形OAB的面积为90×π×42360=4π，

连接OC，

∵扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，

∴OD=DC，BC=BO，∠OBD=∠DBC，

∵OB=OC，

∴OB=OC=BC，

∴△BOC是等边三角形，

∴OD=OB·tan∠OBD=4×33=4317.【答案】3【解析】【分析】

本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．

【解答】

解：设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，

∠DOE=360°6=60°，

∴OD=OE=DE=1，

∴OH=32，

∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×32×6=332，

∠A=(6−2)×180°18.【答案】2π3【解析】【分析】

本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．

先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD．

【解答】

解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴AB=22，

∴S扇形ABD=19.【答案】解：(1)连接OC，

∵AB与⊙O相切于点C

∴∠ACO=90°，

由于CD=CE，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠A=∠B

∴OA=OB，

(2)由(1)可知：△OAB是等腰三角形，

∴BC=12AB=23，

∴sin∠COB=BCOB=32，

∴∠COB=60°，

∴∠B=30°，

∴OC=1【解析】(1)连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于CD=CE，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；

(2)由(1)可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=23，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积

本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC20.【答案】解：(1)MN是⊙O的切线．

理由：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，

∴∠BCM=∠BOC，

∵∠B=90°，

∴∠BOC+∠BCO=90°，

∴∠BCM+∠BCO=90°，

∴OC⊥MN，

又OC为⊙O的半径，

∴MN是⊙O的切线；

(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°，

∴∠AOC=120°，

在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，

∴BO=12OC=2，BC=23，【解析】本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，扇形的面积公式．

(1)要证MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可；

(2)求出∠AOC以及BC，根据S阴21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵OC/​/BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，

即OC⊥AD，

∴AE=ED；

(2)解：由(1)知OC⊥AD，

∴AC=CD，

∴∠ABC=∠CBD=36°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，

【解析】本题考查弧长的计算，垂径定理，以及圆周角定理．

(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；

(2)由(1)知OC⊥AD，则可求出∠AOC=72°，根据弧长公式解答即可．22.【答案】(1)证明：连接OD．

∵OD=OC，

∴∠C=∠ODC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠ODC，

∴OD/​/AB，

∴∠ODE=∠DEB；

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠ODE=90°，

即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

(2)解：连接AD，

∵AC是直径，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD，

∴∠OAD=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DE=3，∠B=30°，∠BED=90°，

∴CD=BD=2DE=23，

又∵∠C=30°，

∴AC=2AD，

∴在Rt△ADC中，

4AD²−AD²=12，

∴AD=2，

又∵△AOD是