工程流体水力学第六章习题答案

精品精品第六章量纲分析和相似原理答案6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q与堰上水头H、重力加速度g、堰口角度9以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m0(量纲一的量)有关。试用n定理导出三角形堰的流量公式。解：f(Q,H,g,9,m)=00选几何学的量H,运动学的量g作为相互独立的物理量，有3个n项。n=HaigAQ,p=Ha?gb2q,n=Ha§g%m230对兀J其量纲公式为L0T0M0=La1(LT-2)b1L3T-1L:0=a+B+3,T:0=—2p—11151解出«1=—，P1=—，则可得对n，其量纲公式为2L0T0M0=La2(LT-2)b2L:0=a+p，T:0=—2p22联立解上述方程组，可得a=0,p=0，丫=0，则可得22n=q2对兀，其量纲公式为3L0T0M0=La3(LT-2)b3L:0=a+p，T:0=—2p则可得33则可得联立解上述方程组，可得a=0,p=0，丫3=0，33330F(30F(n，兀，兀123)=0F(,q,m)=0或=F(q,m)50510gH2gH2Q=F(9,m)i：gH:0v

式中，0要视堰口的实际角度而定，量纲一的量m0要由实验来确定。第十章三角形薄壁堰的理论分析解Q=4mtan戶2与上式形状相同。6-2根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力to,与流体的密度P、动力粘度卩、断面平均流速v断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗糙凸出高度A有关。试用瑞利法求匕的表示式；若令沿程阻力系数九=8f（Re,彳）,解：T=kra1ma2va3da4Da5012345将上式写成量纲方程形式后得dimt=ML-iT-2=(ML-3)3(ML-iT-i)^(LT-1)込(L)%(L)迅0根据量纲和谐原理可得：M:1=a+ai2L:—1——3a—(X+a+a+a12345T:—2——X—X23选a、a为参变量，联立解上述方程组可得：a—a—1,a—2—a,TOC\o"1-5"\h\z51323a——2+a—a。35将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：T—k卩込-1卩2-込Va3d-2+込—a5Aa50333355v2QP—pv，又因va3=,故a5PV2〒丿a5PV2〒丿—k2—a3a5厂—f(Re,d)pv2Re2—a3d若令九-8f（Re,号），代入上式可得d九T=—PV2086-3试用n定理求习题6-2中的匕表示式。解：f(t,p，卩,V,d,A)—000选取d、V、P为基本物理量，因此有三个n项n—da1v卩］10n—da2v卩2pv2P2n—da3v卩3pv3A3先求ni，其量纲式为dimn—L^1(LT-1)P1(ML-3)Y1(ML-1T-2)1L:0—a+P—3丫一111T:0——P—21M:0—v+11

0PV2解上述方程组可得：卩=一2,丫=—l,a=0,所以有兀0PV2再求111再求n2其量纲式为dimn二(L)叫(LT-1)P2(ML-3)2(ML-1T-1)2L:0二a+B—3丫一122T:0=—B一12M:0=y+12解上述方程组可得：Y=-1,3=—1,a=—1，所以有222〒卩V1n===-dpvvdRe再求n3，其量纲式为dimn=La3(LT-1)B3(ML-3)y3L3L:0=a+3—3丫+133T:0=—33M:0=y3解上述方程组可得：y=0，3=0，a=—1，所以有333An=d由此可得量纲一的量所表达的关系式为f(匕,A)=0pv2Red或卷=f(宓A'或10=f叫即心若令九=8f(Re,A)，则可得九T=—PV2086-4文丘里管喉道处的流速v与文丘里管进口断面管径d、喉道直径d、流体密度P、动力粘度卩及两断面间压差Ap有关，试用n定理求文丘里管通过流量Q的表达式。题6-4图解：f(v,d,d,P,P,Ap)=0212选取d,v,P三个基本物理量，有三个n项。22n=dv3]pYjd1221n=da2v32Py2P22222

n=da3v卩3py3Ap22解上述方程组可得dd120=0,Y=0,解上述方程组可得dd120=0,Y=0,a=—1，所以有1再求n2L:T:M:0=a+0—3y—12220=—0—120=Y+12解上述方程组可得:Y=—1，2p=v=1

vdpvdRe2222Lia2=—1，所以有再求n3L:T:M:0=a+0—3y—13330=—0—230=Y+13先求n:L:0=a+0—3Y+1111T:0=—01M:10=Y1解上述方程组可得:Y=—1，3Apn=—3pv2由此可得1DpRerv2221221=：2gA,Re）PgT1d=0（〒，Re\.'2gHd1=1=vA224d（，Re）72gHd上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的0（〒,Re）,可由实验及理论分析d步确定。6-5根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有:孔口的作用水头H（由孔口中心到恒定自由液面处的水深）、孔口的直径d、液体的密度P、动力粘度卩、重力加速度g及表面张力系数0。试用n定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。Ififi-Sm解：f(v,H,p,d,g,RQ)=0选取H,v,P三个基本物理量，有四个nIfifi-Smn二Ha1v卩］py1d1n二Ha2v卩2pv2g2n二Ha3v卩3pv3卩3n=H«4v卩4pv4a4先求ni：L:0=a+P-3v+1111T:0=—01M:0二v1解上述方程组可得：a=—1,0=0,Y=0111dn=-iH再求n,2L:0二a+0—3y+122T:0=—0—22M:0=v2解上述方程组可得：a=1,0=—2,v=0222gH再求n,3L:0=a+0—3v—133T:0=—0—13M:0=v+13解上述方程组可得：a=—1,0=—1,v=—133〒卩vn==—3HvpHv再求n,4L:0=a+0—3v44T:0=—0—24M:0=v+14解上述方程组可得：a=—1,0=—2,v=—1444an=4Hv2p由此可得f（H罟,Hv,話）=0v2HHvHv2pgH二f(7V'WHvHv2p上式中的——及分别为雷诺数及韦伯数的形式，所以可以写成vCv=0(—,Re,We\.;2gHd因流量Q=vA，所以Q=f(H,Re,We)d4H如果令m=f(—,Re,We)为孔口流量系数，则可得dn4由上式可知，Q与T^gH成比例，且流量系数与—、雷诺数Re、韦伯数We有关，为深入d研究找到了途径。6-6圆球在实际流体中作匀速直线运动所受阻力F与流体的密度P、动力粘度卩、圆球与流体的相对速度u、圆球的直径d有关。试用n定理求阻力F的表示式。0D解：f(F,p,卩,u,d)=0D0选取d、叫、P为基本物理量，有二个n项。n=da1u卩］py1F10D兀二da2u直py2卩2202先求niL：0=a+p-3y+1111T:0=—0—21M:0=y+11解上述方程组可得：a=—2,卩=—2,丫=—1，所以有111Fn=d—d2u2p0再求n，2L:0=a+P—3y—1222T:0=—P—12M:0=y+12解上述方程组得：a=—1,卩=—1,y=—1，222pv1n===-dupduRe00F1由此可得F(D)=0d2u2pRe0或F=d2U2pf'(Re)=f(Re)型竺D042n令圆球在U0方向的投影面积A=4d2，而令绕流阻力系数CD=f(Re)，则有F=CA竺DD2上式中的绕流阻力系数CD与雷诺数Re有关，可以对此作进一步的研究。6-7用20°C的水作模型试验，确定管径为1.2m煤气管的压强损失。煤气的密度P为40kg/m3，动力粘度卩为0.0002Pa-s，流速v为25m/s。实验室供水能力是0.075m3/s。问模型该用多大比尺？实验结果如何转换成原型的压强损失？解：可考虑按雷诺准则设计模型，“=弋。n流量比尺入Q因受供水能力限制，需小于或等于0.075m3/s，所以应为九=Q=25仓册（1.2丿2=376.99QQ40.075mn粘度比尺九=亠，20C水的v=1.003x10-6m2/snnmm卩0.0002/煤气的v=7=m2/s=5x10-6m2/s，所以九pp40p.九376.99九二严==75.62i九4.985v所以，可选取模型长度比尺九广75.62。注：也可按自模区设计模型，在满足几何相似的条件下，选取模型尺寸，使其在现有供水情况下进入阻力平方区。实验结果转换成原型的压强损失为'九丫Appg口丿6-8有一官径d=15cm的输油官，官长l=5m，官中通过的原油流量Q=0.18m3/s。现ppp用水来作模型实验，设模型与原型管径相同，且两者流体温度皆为10C（水的运动粘度v=0.0131cm2/s，油的运动粘度v=0.13cm2/s）,试求模型中的通过流量Q。mmmv=p=018m/s=10.191m/sA0.785x0.152pvd10.191x0.15=pp==117588>105v0.13x10-4p已进入自模区，只要使模型中的雷诺数Re2105,且原型和模型几何相似即可。mvdRe=—m―m三1。5，mvm、105x0.0131X10-40873/v三=0.873m/smAp=p=i.0O3：O一6=4.985解：原型中的流速原型中的雷诺数Rep0.15Q=vA=0.783x0.785x0.152m/s=0.0154m/smmm6-9在习题6-8情况下，测得模型输水管长l=5m的两端压强水头差h=汇=3cmommpgm试求原型输油管长l=100m两端的压差高度（以油柱高度表示）是多少？解：研究压差问题，须满足欧拉准则，即Dpprv2ppDpmrv2mmvQ因d=d，所以一pppmvQmmm=4.10m(油柱)ApApQ20.03x0.18m=4.10m(油柱)P=mi=PgPgQ20.0.1542pmm原型输油管长l=100m的两端压强差为p算x型=4.10x20m=82m（油柱）Pg5p6-10有一直径d=20cm的输油管，输送运动粘度v=40X10-em2/s的油，其流量pPQ=0.01m3/s。若在模型试验中采用直径d=5cm的圆管，试求：（1）模型中用20°C的水pmv=1.003X10-6m2/s）作实验时的流量；（2）模型中用运动粘度v=17X10-em2/s的空气mm作实验时的流量。lplplm0.01x1.003x10-6x5m3/s=6.27x10-5m3/sn,=-^,九=nnlQQQQ=p=旷=p7m九九九VlQVlppQVl0.01x17x10-6x5Q=pmm=m3/s=1.06x10-3m3/smVl40x10-6x2040xlO-40xlO-6x20pp6-11—长为3m的模型船以2m/s的速度在淡水中拖曳时，测得阻力为50N,试求：（1）若原型船长45m，以多大速度行驶才能与模型船动力相似；（2）当原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行时，所需要的拖曳力（海水密度为淡水的1.025倍）。该流动雷诺数很大，不需考虑粘滞力相似，仅考虑重力相似。解：按弗劳德准则设计模型试验。v=v九=v九1/2=2?I45主m/s7.75m/spmvml桫3■vP13fFMapptPl3vt九=—A=P——A=1=PPPmFFMap13vp13vt13~mmmmpmmtm九=X九3九1/2九-1/2=九九3=1.025x(兰Yx=1.025x(兰Yx50N=172.97kNI3丿拖曳力F=XF=XX3FpFmPlm6-12建筑物模型在风速为1Om/s时，迎风面压强为50N/m2，背风面压强为一30N/m2。若气温不变，风速增至15m/s时，试求建筑物迎风面与背风面压强（可用欧拉准则）。解：按欧拉准则计算pp——=m—rv2rv2ppmm由于温度不变r=r，所以pmpP=mv2pv2pm迎风面压强Pp]=50?桫桫0壬N/m2112.5N/m2背风面压强P=-30x'15'p22N/m2=-67.5N/m2110丿6-13水库以长度比尺入广100做底孔放空模型试验，在模型上测得的放空时间t=12lm小时，试求原型上放空水库所需时间t（可用斯特劳哈尔准则和弗劳德准则）。p解：按弗劳德准则和斯特劳哈尔准则计算。vtvt=mm//pm按斯特劳哈尔准则计算：lvt=t+—m=tpmlvmp=12丽小时=120小时=5天按弗劳德准则：九=丑=九=*100=10ttlmt=t?1012?10小时120小时=5天pm6-14在设计高为1.5m，最大行驶速度为30m/s的汽车时，需要确定其正面风阻力，现用风洞进行模型试验来测定。如果风洞中最大风速为45m/s,试求模型高度应为多少？若在此风速下测得模型的风阻力为1500N，试求汽车在最大行驶速度时，其正面风阻力应为多少？解：按雷诺准则计算，设温度相同，九=1,九=九-1,九=1，所以有vlF■九九-1=t九九-2=t九2mlvmllml30所以汽车模型高度h=h十=1.5m=1m,mpv45m其风阻力F=F=1500Npm6—15某废水稳定塘模型长10m，宽2m，深0.2m，模型的水力停留时间为1天，长度比尺入广10,试求原型的停留时间是多少天。塘中水的运动粘度v=v=1.003X10-6m2/solpm解：先求模型中的雷诺数以判别流态。l10模型流速v=十=mtm模型水力半径R=模型雷诺数Remnm/s=1.157?10-4m/s1x24x36002'0.2m=0.1667m2+2?0.2v仓％R1.15710-4仓％0.1667==76.