甘肃省天水一中届高三上学期开学数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017—2018学年甘肃省天水一中高三（上）开学数学试卷（理科)一、选择题:本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分)已知A={x｜x2﹣4x﹣5=0}，B={x｜x2=1｝,则A∩B=()A．｛1} B．{1，﹣1，5} C．{﹣1} D．｛1，﹣1,﹣5｝【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x﹣5=0｝=｛﹣1，5},B=｛x｜x2=1｝=｛﹣1，1｝，则A∩B=｛﹣1}．故选:C．【点评】本题考查集合的交集的运算，是对基本知识的考查．2．（4分）sin75°sin15°+cos75°cos15°的值为（）A．1 B．0 C． D．【分析】直接利用两角和与差的余弦函数，通过特殊角的三角函数求解即可．【解答】解：sin75°sin15°+cos75°cos15°=cos(75°﹣15°）=cos60．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,特殊角是三角函数求值,考查计算能力．3．（4分）在△ABC中，已知b=40,c=20，C=60°,则此三角形的解的情况是（）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【分析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判断．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60°,∴由正弦定理=得：sinB===＞1，则此三角形无解．故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．(4分）设a=40.8，b=80。4，c=，则（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞d＞b D．a＞b＞c【分析】先将指数化成都以2为底，然后根据函数y=2x在R上单调性进行比较即可．【解答】解:a=40。8=21.6，b=80。4=21.2，c==21.5，根据函数y=2x在R上单调递增而1.2＜1。5＜1.6∴21.2＜21。5＜21.6，即b＜c＜a故选A．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性,解题的关键是将指数化成同底，属于基础题．5．（4分)定义在实数集R上的凼数f（x）图象连续不断，且f(x）满足xf′（x）＜0，则必有（）A．f（﹣2）+f(1）＞f（0） B．f（﹣1）+f（1）＞2f(0） C．f（﹣2)+f（1)＜f（0） D．f(﹣1）+f（1）＜2f（0）【分析】先由xf′（x)＜0便可得到，从而根据极大值的定义即可判断出f（0）是f(x）的极大值，并是最大值，从而f（﹣1）＜f（0）,f（1）＜f(0)，所以便得到f（﹣1）+f（1）＜2f（0)．【解答】解：由xf′(x）＜0得:x∈(﹣∞，0）时，f′(x)＞0；x∈（0,+∞)时，f′(x）＜0;∴f(0）是f（x）的极大值，也是最大值；所以对于任意x∈R，f（x）≤f（0);∴；所以必有f（﹣1）+f（1)＜2f(0）．故选：D．【点评】考查极大值的定义，以及利用导数判断极大值的过程,以及最大值的概念，及其求法．6．（4分）函数f（x）=lnx的图象与函数g(x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x与函数g（x）=x2﹣4x+4=(x﹣2）2的图象，数形结合可得结论．【解答】解:在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f(x)=㏑x的图象与函数g(x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,体现了数形结合的数学思想，属于中档题．7．（4分）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14％纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前）为（）A．2800元 B．3000元 C．3800元 D．3818元【分析】根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元,求出这个人应得稿费(扣税前）．【解答】解:设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得y=．如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴（x﹣800）×14％=420，∴x=3800．故选C．【点评】本题考查分段函数及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．8．（4分）已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，则m的取值范围（）A． B． C．1＜m＜2 D．2＜m＜3【分析】设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1,0)和(1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围．【解答】解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f(x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(﹣1,0)和（1，2）内,则，解得﹣＜m＜﹣,故m的范围是(﹣，﹣），故选:A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,函数零点判定定理的应用；体现了转化的数学思想,属于中档题．9．（4分）设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】由f（x)是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x)，再由x＜0时，f(x）=2x，求出g(x)的解析式,再求出g(2）的值．【解答】解：∵f（x）为奇函数,x＜0时，f（x)=2x，∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=，即，．故选A．【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值,注意利用负号对自变量进行范围的转化．10．（4分)函数y=x•2x的部分图象如下，其中正确的是(）A． B． C． D．【分析】判断四个选择项中哪三个图象反映的性质与函数y=x•2x的实际性质不符，即可排除之．【解答】解：当x=0时，y=0,所以A项不正确;当x＞0时，函数递增，所以D项不正确；又y′=2x•（1+xln2），显然x＜0时,导数符号可正可负，函数有增有减,所以B项不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的性质与识图能力，一般利用排除法求解．二、填空题（每题4分，满分16分,将答案填在答题纸上）11．（4分）函数,则它的值域为．【分析】先整理函数的解析式，进而设t=2x，根据x的范围确定t的范围，进而求得函数是关于t的一元二次函数，根据其性质及t的范围求得函数的最大和最小值．【解答】解:=（2x）2﹣2x+1设t=2x，∵x∈[﹣3,2]∴≤t≤4∴y=t2﹣t+1=(t﹣)2+，开口向上，对称轴为x=，≤t≤4∴≤y≤13故函数的值域为故答案为．【点评】本题主要考查了函数的值域．解题的关键是利用了换元法，把函数解析式整理成一元二次函数．12．(4分）已知，则的值是．【分析】通过，利用两角和的正切函数，求出tanα,然后对表达式的分子、分母同除cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：可得tanα=，因为===；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值与化简，注意表达式的分子、分母同除cosα,是解题的关键．13．（4分)已知f（x）=xex，记f1(x）=f′（x），f2（x)=f1′（x），…fn+1（x）=fn′（x）（n∈N*），则fn（x)=nx+xex(用x表示）．【分析】由已知中f（x）=xex，记f1（x）=f′(x），f2（x）=f1′（x），…fn+1（x）=fn′(x)（n∈N＊）,分析出fn（x）解析式随n变化的规律，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xex,f1（x）=f′(x)=ex+xex，f2(x）=f1′（x)=2ex+xex,f3（x）=f2′（x）=3ex+xex,…由此归纳可得:fn（x）=fn﹣1′（x）=nx+xex，故答案为：nx+xex．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．（4分）给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f（x)在D上封闭．若定义域D=（0,1)，则函数①f1(x）=3x﹣1；②f2（x）=﹣x2﹣x+1;③f3（x)=1﹣x;④f4(x）=，其中在D上封闭的是②③④．（填序号即可)【分析】利用函数的单调性求出值域，即可判断出结论．【解答】解:定义域D=（0，1)，则函数①f1（x）=3x﹣1∈（0,2），不是封闭函数;②f2（x）=﹣x2﹣x+1=﹣+∈（0，1），属于封闭函数;③f3(x）=1﹣x∈（0，1）,是封闭函数；④f4（x）=∈（0，1）,是封闭函数．其中在D上封闭的是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了利用函数的单调性求函数值域、封闭函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（11分)设集合A={a，a2,b2﹣1｝，B={0,|a|，b｝，且A=B．（1）求a,b的值;（2）求函数的单调递增区间,并证明．【分析】（1）根据集合的相等关系求出a，b的值即可;（2）求出f（x）的解析式，根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．【解答】解：（1）两集合相等，观察发现a不能为0，故只有b2﹣1=0，得b=﹣1或b=1，当b=﹣1时，故b与a对应，所以a=﹣1，如果b=1，则必有｜a|=1，B不成立;故a=﹣1，b=﹣1．（2)由（1）得,因为x∈R，当x＞0时，，当x=1时取得最小值，函数的单调增区间为（﹣∞,﹣1],[1，+∞);函数是奇函数，单调减区间为（﹣1，0）,(0，1)，①在［1，+∞)上是增函数,任取x1，x2∈[1，+∞），令x1＜x2，=，∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又x1x2＞1,故,∴，∴f（x1)＜f（x2），故在[1，+∞）上是增函数．因为函数是奇函数，所以（﹣∞,﹣1]上也是增函数；②函数在x∈（0，1）时,任取x1，x2∈（0,1)，令x1＜x2，=，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，又1＞x1x2＞0，故,∴，∴f(x1）＞f(x2）故在(0，1）上是减函数，因为函数是奇函数,所以(﹣1，0）上也是减函数;综上：函数的单调增区间为（﹣∞,﹣1］，[1，+∞)；单调减区间为（﹣1,0)，（0,1）．【点评】本题考查了集合的相等,考查函数的单调性问题，考查单调性的定义，是一道中档题．16．（11分）已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x+．（1）当x∈［﹣,］时，求函数y=f（x）的值域；（2)已知ω＞0，函数g（x）=f(+）,若函数g（x）在区间[﹣，]上是增函数，求ω的最大值．【分析】(1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦的定义域和值域求得f（x）的值域．（2）利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得ω的范围，可得ω的最大值．【解答】解:(1）．∵,∴，∴．∴函数y=f（x）的值域为．（2),当，有,∵g(x）在上是增函数，且ω＞0，∴．即,化简得，∵ω＞0，∴,k∈Z，∴k=0,解得ω≤1，因此,ω的最大值为1，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．17．(11分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1,1），且同时满足下列条件：（1）f（x）是奇函数；（2)f（x）在定义域上单调递减；（3）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．求a的取值范围．【分析】利用函数是奇函数，将不等式f(1﹣a）+f（1﹣a2）＜0转化为f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2)=f（a2﹣1）,然后利用函数的单调性进行求解．【解答】解:（1)(3）由f（1﹣a）+f(1﹣a2)＜0得f（1﹣a）＜﹣f(1﹣a2)，∵函数y=f(x）是奇函数，∴﹣f(1﹣a2）=f（a2﹣1），即不等式等价为f（1﹣a）＜f(a2﹣1），∵y=f（x）在定义域(﹣1,1）上是减函数，∴有，即，∴，解得0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键,综合考查函数的性质．18．（11分）已知函数f（x）=[x］+｜sin｜,x∈[﹣1，1]．其中［x］表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5］=﹣4,［2。1］=2．(Ⅰ）试判断函数f(x）的奇偶性，并说明理由;（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ)根据函数奇偶性的定义即可试判断函数f(x）的奇偶性；（Ⅱ）求出