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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精2016—2017学年甘肃省天水一中高二(下)第一次段考数学试卷(文科)一、选择题(共10小题,每题4分,共40分)1.复数的虚部是()A.i B.﹣i C.1 D.﹣12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为()A.45 B.55 C.65 D.663.若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A. B.﹣i C.i D.44.一算法的程序框图如图所示,若输出的,则输入的x可能为()A.﹣1 B.1 C.1或5 D.﹣1或15.在平面几何中,有“若△ABC的周长c,面积为S,则内切圆半径r=",类比上述结论,在立体几何中,有“若四面体ABCD的表面积为S,体积为V,则其内切球的半径r=()A. B. C. D.6.点M的直角坐标是,则点M的极坐标为()A. B. C. D.7.已知x>﹣2,则x+的最小值为()A.﹣ B.﹣1 C.2 D.08.化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1 B.x=1 C.x2+y2=0或x=1 D.y=19.直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心10.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为()A.1 B.2 C.4 D.9二、填空题(共4小题,每小题4分)11.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=.12.极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为.13.若2x+4y=4,则x+2y的最大值是.14.圆上的点到直线的最大距离为.三、解答题(共4小题)15.在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线C:(α为参数);直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4.(Ⅰ)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的最大距离.16.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+3|.(1)解不等式f(x)≥8;(2)若不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,求实数a的取值范围.17.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式;(Ⅱ)运用(Ⅰ)中的猜想,写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论.18.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A、B,求的最小值.

2016-2017学年甘肃省天水一中高二(下)第一次段考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每题4分,共40分)1.复数的虚部是()A.i B.﹣i C.1 D.﹣1【考点】A2:复数的基本概念.【分析】根据复数的基本运算化简复数即可.【解答】解:=,则复数的虚部是1,故选:C2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数,由以上规律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为()A.45 B.55 C.65 D.66【考点】F1:归纳推理.【分析】根据已知中第1个图中黑点有1个,第2个图中黑点有1+2个,第3个图中黑点有1+2+3个,第4个图中黑点有1+2+3+4个,…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+…+n个,可得结论.【解答】解:由已知中:第1个图中黑点有1个,第2个图中黑点有3=1+2个,第3个图中黑点有6=1+2+3个,第4个图中黑点有10=1+2+3+4个,…故第10个图中黑点有a10=1+2+3+…+10==55个,故选B.3.若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A. B.﹣i C.i D.4【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出..【解答】解:∵|4+3i|==5.∴(3﹣4i)z=|4+3i|,化为===,则z的虚部为.故选:A4.一算法的程序框图如图所示,若输出的,则输入的x可能为()A.﹣1 B.1 C.1或5 D.﹣1或1【考点】E6:选择结构;EF:程序框图.【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是求分段函数的函数值.利用输出的值,求出输入的x的值即可.【解答】解:这是一个用条件分支结构设计的算法,该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值,输出的结果为,当x≤2时,sin=,解得x=1+12k,或x=5+12k,k∈Z,即x=1,﹣7,﹣11,…当x>2时,2x=,解得x=﹣1(不合,舍去),则输入的x可能为1.故选B.5.在平面几何中,有“若△ABC的周长c,面积为S,则内切圆半径r=”,类比上述结论,在立体几何中,有“若四面体ABCD的表面积为S,体积为V,则其内切球的半径r=()A. B. C. D.【考点】F3:类比推理.【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【解答】解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体A﹣BCD=(S1+S2+S3+S4)R∴R=.故选:A.6.点M的直角坐标是,则点M的极坐标为()A. B. C. D.【考点】Q6:极坐标刻画点的位置.【分析】利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可.【解答】解:由于ρ2=x2+y2,得:ρ2=4,ρ=2,由ρcosθ=x得:cosθ=,结合点在第二象限得:θ=,则点M的极坐标为.故选C.7.已知x>﹣2,则x+的最小值为()A.﹣ B.﹣1 C.2 D.0【考点】7F:基本不等式.【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:∵x>﹣2,则x+=x+2+﹣2≥﹣2=0,当且仅当x=﹣1时取等号.∴x+的最小值为0.故选:D.8.化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1 B.x=1 C.x2+y2=0或x=1 D.y=1【考点】Q8:点的极坐标和直角坐标的互化.【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.【解答】解:∵ρ2cosθ﹣ρ=0,∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0,∵,∴x2+y2=0或x=1,故选C.9.直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心【考点】QH:参数方程化成普通方程.【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.【解答】解:把圆的参数方程化为普通方程得:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4,∴圆心坐标为(2,1),半径r=2,把直线的参数方程化为普通方程得:x﹣y+1=0,∴圆心到直线的距离d=<r=2,又圆心(2,1)不在直线x﹣y+1=0上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.故选:D.10.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为()A.1 B.2 C.4 D.9【考点】7F:基本不等式.【分析】由基本不等式可得ax+y≥2,令t=,即为t2﹣2t﹣6≥0,由题意可得3为方程t2﹣2t﹣6=0的解,代入计算即可得到a的值.【解答】解:正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且ax+y≥2,即有xy≥6+2,令t=,即为t2﹣2t﹣6≥0,由xy的最小值为18,可得3为方程t2﹣2t﹣6=0的解,即有18﹣6﹣6=0,解得a=2.故选:B.二、填空题(共4小题,每小题4分)11.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=3﹣4i.【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a,b的值,则复数a+bi可求,然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.【解答】解:由a,b∈R,且a+i=2﹣bi,得,即a=2,b=﹣1.∴a+bi=2﹣i.∴(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i.故答案为:3﹣4i.12.极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程求出圆心距即可.【解答】解:将极坐标方程C1:ρ=2cosθ和C2:ρ=sinθ分别化为普通方程C1:ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2=2x⇒(x﹣1)2+y2=1,,然后就可解得两个圆的圆心距为:.故答案.13.若2x+4y=4,则x+2y的最大值是2.【考点】7F:基本不等式.【分析】利用基本不等式的运算性质、指数的运算性质即可得出.【解答】解:∵2x+4y=4,∴=2,化为2x+2y≤4=22,∴x+2y≤2,当且仅当x=2y=1时取等号.则x+2y的最大值是2.故答案为:2.14.圆上的点到直线的最大距离为.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【分析】首先不愿和直线的参数方程转化成直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离求出结果.【解答】解:圆的参数方程,转化成直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1直线的参数方程:,转化成直角坐标方程为:x﹣y+1=0则:(1,0)到直线x﹣y+1=0的距离为:d=则:圆上点到直线的最大距离为:故答案为:三、解答题(共4小题)15.在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线C:(α为参数);直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4.(Ⅰ)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的最大距离.【考点】QH:参数方程化成普通方程;IT:点到直线的距离公式.【分析】(Ⅰ)先根据sin2α+cos2α=1消去α将C转化普通方程,然后利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,将l转化为直角坐标方程即可;(Ⅱ)先在曲线C上任取一点,然后利用点到直线的距离公式建立函数关系,最后利用辅助角公式求出最值.【解答】解:(Ⅰ)根据sin2α+cos2α=1将C转化普通方程为:利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,将l转化为直角坐标方程为:x+y﹣4=0(Ⅱ)在上任取一点A(cosα,sinα),则点A到直线的距离为d==,它的最大值为3.16.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+3|.(1)解不等式f(x)≥8;(2)若不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,求实数a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法;R4:绝对值三角不等式.【分析】(1)求出函数f(x)的分段函数的形式,通过解各个区间上的x的范围去并集即可;(2)求出f(x)的最小值,得到关于a的不等式,解出即可.【解答】解:(1)f(x)=|x﹣1|+|x+3|=,当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣5;当﹣3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以不等式f(x)≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}.(2)因为f(x)=|x﹣1|+|x+3|≥4,又不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,所以,a2﹣3a>4,所以a>4或a<﹣1,即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞).17.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式;(Ⅱ)运用(Ⅰ)中的猜想,写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论.【考点】F7:进行简单的演绎推理;F1:归纳推理.【分析】(Ⅰ)由数列{an}的递推公式可得a2,a3,a4,进而可猜想通项公式;(Ⅱ)由三段论的模式和等差数列的定义可证.【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}中,a1=1,an+1=,a2=,a3=,a4=猜想:an=;(Ⅱ)∵通项公式为an的数列{an},若an+1﹣an=d,d是常数,则{an}是等差数列,…大前提又∵﹣=,为常数;…小前提∴数列{}是等差数列.…结论18.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的

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