分析法与综合法在解数学题中的应用 论文

PAGEPAGE1分析法与综合法在解数学题中的应用题时若能将分析法与综合法很好的结合起来运用，就可以使学生对知识的理解既深刻又全面。我们在解答数学题时，既需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法帮助我们准确、快速地解题。考方法。一、 分析与综合于未知的整体事物，要能深刻地认识它、理解它，首先就得恰当地分解它、简化它。综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段连结为整体进行系的规律性。程。在辩证思维中，系统分析方法的逻辑起点则是综合，其逻辑程序是综合分析综合双向的并存和反馈，它体现了矛盾分析的特点，要求从系统整体出发，以总体优的综合。二、分析法1、概述分析法是数学解题中经常用到的一种推理和证明的重要方法。数学分析法就是从需证明的数学结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据，正确性，这就是分析法的实质。在数学教学中必须十分重视分析能力的培养，特别注意突出启发性，把数学知识髓，逐步提高分析问题和解决问题的能力。2、例题例1. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9CM和15CM两部分,求这个三角形腰长和底边的长.解(设等腰三角形腰长为xcm,底边长为ycm,由题意得,x+x/2=9或x+x/2=15y+x/2=15y+x/2=9解得：x=6或x=10y=12y=4底边长为4cm。例2．证明(分析法)要证EB=EC，只要证△ABE≌△DCE，而已知AB=CD，EA=ED，因此只要证∠BAE=∠CDE因为在等腰梯形ABCD中，AB=CD，所以∠BAD=∠CDA，因为EA=ED，所以∠EAD=∠EDA所以∠BAE=∠CDE例1，例2用的分析法，从结论入手进行分析易于找到解题的突破口.例1借助方程作工具.表示逆推.3、注意事项中常见的有两种：（1）书写错误分析法。例若（z－x）2－4(x－y)(y－z)=0，求证x、y、z成等差数列。错误证明：因为x、y、z成等差数列，所以x+z=2y，即x+z-2y=0,两边平方得（x+z-2y）2=0,所以（x+z）2－2×2y(x+z)+4y2=0.变形整理得(z-x)2+4(zx-xy-yz+y2)=0,所以（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0.因此，x、y、z成等差数列。错误分析上面证法虽然也是从结论出发，最后推倒出已知条件，但实际上，命题成立，也不能说明原命题成立。正确解法上“等式（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0是已知的，且以上各式皆可逆，由此命题得证。”这样才是分析法。(2)推理过程不可逆例已知︱a︱<1,︱b︱<1,求证︱a+b︱/︱1+ab︱<1.错误证明欲证︱a+b︱/︱1+ab︱<1，①须证︱a+b︱<︱1+ab︱.②两边平方得（a+b）2<(1+ab)2.③展开并整理得a2+b2<1+a2b2.④因为2ab<a2+b2,⑤所以2ab<1+a2b2,⑥即须证0<(1－ab)2.⑦由已知︱a︱<1,︱b︱<1，所以1－ab≠0,因而上式成立，而上述每步皆可逆推，可得原不等式成立。错误分析在分析法证明问题时，要求推导过程必须可逆，即每步之间是充分必分条件。所以证明不可逆。正确解法所以a2－1<0,1－b2>0,从而（a2－1）(1－b2)<0成立。这样，每一步均可逆，故原不等式成立。貌似可逆而实际上并不可逆，这是证题中最常见的错误，因此，在使用分析法时，一定要注意推理过程的等效性，即各步之间互为充分必要条件。三、 综合法1、概述综合法也是数学中经常用来推理与证明的方法，它是一种从已知到未知的逻辑推理方法。综合法是从题设条件出发，以一系列已知定义、定理为依据，通过逐步推导从而得出由此可知，综合法是逻辑推理法，恰恰地同分析法相反，因而将前面例题中推理方法面性质的有机联结，往往会发现许多新的联系和性质，因此它并不排斥发现性的一面。2、例题例设a,b∈R+,且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.证法1用分析法要证a3+b3>a2b+ab2成立，只需证（a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2>ab成立.（因为a,b∈R+）只需证a2-2ab+b2>0成立.即需证（a-b）2>0成立.PAGEPAGE5而已知条件是a,b∈R+，a≠b，所以（a-b）2>0显然成立。由此命题得证。证法2用综合法依题设，a,b∈R+,且a≠b，有（a-b）2>0→a2-2ab+b2>0→a2-ab+b2>ab.因为a+b>0,所以（a+b）(a2-ab+b2)>ab.所以a3+b3>a2b+ab2.解题过程。四、 分析法与综合法的综合运用例1设a,b,c,d是互不相等的整数，则(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)－9=0①有整数根，试证：a+b+c+d能被4整除。证明设x0为方程①的整数根，则(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)=9.②由题设可知，x0－a,x0－b,x0－c,x0－d是互不相等的整数，且必为9的不同9这四个相异整数的积，则x0－a,x0－b,,x0－d只能分别等于这四个相异整数。于是(x0－a)+(x0－b)+(x0－c)+(x0－d)=(+1)+(－1)+(+3)+(－3)=0.所以a+b+c+d=4x0所以4∣(a+b+c+d).例1把方程和数的整除性结合起来，构思十分巧妙，不大容易入手。解题