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三角函数中的不等关系?.已知函数

f(x)=tanx,x(0,),若

x1,

x2(0,),且

x1

x2.证明:[f(x1)+f(x2)]>f().x1+x22122

2

证:tanx1+tanx2=+sinx1cosx1sinx2cosx2sinx1cosx2+cosx1sinx2cosx1cosx2=sin(x1+x2)cosx1cosx2=2sin(x1+x2)=cos(x1+x2)+cos(x1-x2)∵x1,

x2(0,),且

x1

x2,2

∴2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0

且

0<cos(x1-x2)<1.∴0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2).∴tanx1+tanx2>

.2sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)∴

(tanx1+tanx2)>tan

.12x1+x22∴

[f(x1)+f(x2)]>f().12x1+x22例3由已知

0<t1<1,0<t2<1,∴

[f(x1)+f(x2)]>f().12x1+x22另证:

令

tan

=t1,

tan

=t2,2x12x2则

(tanx1+tanx2)=,tan

=.12(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)x1+x22t1+t21-t1t2故要证不等式等价于(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)t1+t21-t1t2>.∴只需证明

(1-t1t2)2>(1-t12)(1-t22).即证

1-2t1t2+(t1t2)2>1-t12-t22+(t1t2)2.即证

(t1-t2)2>0.∵t1

t2,∴(t1-t2)2>0

成立..已知函数

f(x)=tanx,x(0,),若

x1,

x2(0,),且

x1

x2.证明:[f(x1)+f(x2)]>f().x1+x22122

2

探究：你针对y=sinx能得出类似结论吗？能证明吗?小结:三角函数中的不等式的证明或不等

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