第11章 三角形 同步练习（3份打包含解析） 2022-2023学年上学期贵州省各地八年级数学期末试题选编

第第页第11章三角形同步练习（3份打包，含解析）2022-2023学年上学期贵州省各地八年级数学期末试题选编11.1与三角形有关的线段

一、单选题

1．（2023秋·贵州黔西·八年级期末）已知中，AB=6，BC=4，那么边的长可能是下列哪个值（）

A．1B．3C．10D．12

2．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（）

A．5，6，10B．2，5，8C．5，6，11D．3，4，8

3．（2023秋·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则的面积是（）

A．B．1C．5D．

4．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列图形中具有稳定性的是（）

A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．梯形

5．（2023秋·贵州黔南·八年级统考期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定

6．（2023秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）

A．2B．4C．6D．8

二、填空题

7．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）三角形的三边长分别为2，5，，则x的取值范围是．

8．（2023秋·贵州黔东南·八年级统考期末）已知的两条边长分别为4和8，第三边的长为，则的取值范围．

9．（2023秋·贵州铜仁·八年级期末）一个三角形的两边长为3和6，若第三边取奇数，则此三角形的周长为．

10．（2023秋·贵州黔西·八年级期末）如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为cm．

11．（2023秋·贵州黔西·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF=2cm2，则S△ABC=．

12．（2023秋·贵州铜仁·八年级期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是．

13．（2023秋·贵州黔西·八年级期末）若a，b，c是的三边的长，则化简．

14．（2023春·贵州铜仁·八年级期末）如图，AD，DE分别是△ABC，△ABD的中线．若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是．

15．（2023秋·贵州黔南·八年级期末）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性．

16．（2023春·贵州贵阳·八年级期末）已知两边相等的三角形一边等于5cm,另一边等于11cm,则周长是.

17．（2023秋·贵州黔东南·八年级期末）若一个三角形的三条边长为分别是2，2x-3，6，则x的取值范围是.

三、解答题

18．（2023秋·贵州黔东南·八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积．

参考答案：

1．B

【分析】直接利用三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出答案．

【详解】解：根据三角形的三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，

∵AB=6，BC=4，

∴6-4＜AC＜6+4，

即2＜AC＜10，

观察四个选项，边AC的长可能是3．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．

2．A

【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可．

【详解】解：A、5+6＞10，能组成三角形；

B、2+5＜8，不能组成三角形；

C、5+6＝11，不能组成三角形；

D、3+4＜8，不能组成三角形．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

3．B

【分析】根据三角形面积公式由点为的中点得到，同理得到，则，然后再由点为的中点得到．

【详解】解：点为的中点，

，

点为的中点，

，

，

点为的中点，

．

故选：．

【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．

4．A

【分析】根据三角形具有稳定性即可解答．

【详解】解：三角形具有稳定性．

故选A．

5．C

【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．

【详解】A．锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A项错误；

B．钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故B项错误；

C．直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故C项正确；

D．能确定C正确，故D项错误．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键．

6．B

【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．

【详解】∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，

∵点E是AD的中点，

∴S△ABE=S△ADE=S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD，

∵S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC，

∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4；

∴阴影部分的面积为4，

故选B．

【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此题难度不大．

7．

【分析】根据三角形三边的关系即可列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．

【详解】根据题意可得不等式组，

∴，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查三角形三边的关系以及解不等式组．解题的关键在于利用三角形三边的关系列出一元一次不等式组．

8．4＜＜12

【分析】根据三角形三边关系定理可得8-4＜＜8＋4，进而求解即可．

【详解】由题意，得

8-4＜＜8＋4，

即4＜＜12．

故答案为：4＜＜12．

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

9．14或16

【详解】根据三角形的三边关系可得：3<第三边<9，

第三边为奇数可得：第三边长为5或7，

则三角形的周长为14或16．

故答案为：14或16．

考点：三角形的三边关系

10．2

【分析】将△ABD和△ADC的周长表示出来，可以得到周长差即为AB﹣AC的差，算出即可．

【详解】解：∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

∴△ABD和△ACD的周长差为：

（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，

∵AB＝7cm，AC＝5cm，

∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了三角形中线的定义、三角形的周长，掌握三角形中线的定义是解题关键．三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．

11．8cm2

【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝2cm2，于是得到S△CEB＝4cm2，再求出S△BDE＝2cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝4cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．

【详解】解：∵F点为CE的中点，

∴S△CFB＝S△EFB＝2cm2，

∴S△CEB＝4cm2，

∵D点为BC的中点，

∴S△BDE＝S△BCE＝2cm2，

∵E点为AD的中点，

∴S△ABD＝2S△BDE＝4cm2，

∴S△ABC＝2S△ABD＝8cm2．

故答案为：8cm2．

【点睛】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．

12．三角形的稳定性

【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．

【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，

故答案为：三角形的稳定性．

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．

13．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．

【详解】∵a，b，c是的三边，

∴，，，

∴，，，

∴

．

故答案为：．

【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．

14．12

【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABC的面积．

【详解】解：∵AD是BC上的中线，

∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，

∵DE是△ABD中AB边上的中线，

∴S△ADE=S△BED=S△ABD，

∴S△ADE=S△ABC，

∴S△ABC=4S△ADE=4×3=12，

故答案为12．

【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．

15．稳定

【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．

【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性，

故答案为稳定．

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．

16．27cm

【详解】解：当5cm为底时，其它两边都为11cm，

5cm、11cm、11cm可以构成三角形，

周长为27cm；

当5cm为腰时，其它两边为5cm和11cm，

∵5+5=10＜11，所以不能构成三角形，故舍去，

∴答案只有27cm．

17．3.5＜x＜5.5．

【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．

【详解】解：三角形的两边长分别为2和6，

第三边长的取值范围是：，

即：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．

18．18

【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．

【详解】解：∵CF⊥BE于点F．BE＝9，CF＝8，

∴S△BCE＝＝＝36，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

∴S△EBD＝S△ECD＝S△EBC＝18，

∵点E是AD的中点，

∴S△ACE＝S△ECD＝18，

答：△ACE的面积18．

【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形中线的性质，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．11.2与三角形有关的角

一、单选题

1．（2022秋·贵州六盘水·八年级统考期末）如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则等于（）

A．B．C．D．

2．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，．则的度数为（）

A．68°B．67°C．77°D．78°

3．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）如图，，于点E，，则的度数为（）

A．B．C．D．

4．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（）

A．90°B．85°C．60°D．55°

5．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DEBC交AB于点E．若∠A＝70°，∠BDC＝100°，则∠BED的度数为（）

A．120°B．130°C．140°D．150°

6．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）三角形的内角和是()

A．60°B．90°C．180°D．360°

7．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）如图，已知ABCD，且∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数是（）

A．80°B．75°C．60°D．45°

8．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（）.

A．105°B．120°C．75°D．60°

9．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图所示，直线，则（）

A．B．C．D．

10．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在中，，AE是的外角的平分线，BF平分与AE的反向延长线相交于点F，则为（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

11．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（）

A．B．C．D．

二、填空题

12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示，，则°．

13．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在中，是高，平分，，，则．

14．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，,，则．

15．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在△中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则．

16．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图，已知中，，BD平分，AD平分外角，则度．

三、解答题

17．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在中，．

(1)求的取值范围；

(2)若，，，求的度数．

18．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，，与交于点O，，，求的度数．

19．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）已知在中，的对边分别为．

(1)化简代数式_______．

(2)若，，求的各内角度数；

20．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,

（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，

①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．

②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝°；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝°．

（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．

21．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2，试说明∠E＝∠F的理由．

22．（2022秋·贵州贵阳·八年级期末）如图（1），，猜想与、的关系，说出理由．

解：猜想

理由：过点作，

（两直线平行，同旁内角互补）

，，

，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）

（两直线平行，同旁内角互补）

(1)依照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由．

(2)观察图（3），已知,，求的度数．

(3)观察图（4），已知,，求的度数．（注；三角形内角和等于）

23．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，，AE平分∠BAC，，．

(1)∠BAE的度数是______．

(2)∠DAE的度数是______．

(3)探究：如果把条件，改成，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

24．（2022秋·贵州六盘水·八年级统考期末）已知：如图，点E是BA延长线上一点，∠EAC和∠ABC的角平分线交于点D，

（1）求证：AD∥BC．

（2）若∠BAC=76°，请直接写出∠D的度数_________．

25．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．

求证：AD∥BC．

参考答案：

1．B

【分析】如图，分别为正北和正南方向，则：，根据题意，确定相应角的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．

【详解】解：如图，分别为正北和正南方向，则：，

由题意得：，

∴，

∴，

∴；

故选B．

【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握方向角的定义：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角是解题的关键．

2．B

【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，可得，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴,，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求得是解题的关键．

3．B

【分析】根据题意和平行线的性质得，根据垂直得，运用三角形内角和定理求出，即可得．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．

4．D

【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．

【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，

∴∠A=∠ACD=40°，

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，

故选：D．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．

5．A

【分析】根据BD平分∠ABC，DEBC，可得∠ABD＝∠CBD＝∠BDE，设∠ABD＝∠CBD＝∠BDE＝α，由三角形内角和定理可得∠C＝80°﹣α，继而根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，解方程可得α＝30°，根据∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB即可求解．

【详解】解：∵BD平分∠ABC，DEBC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDE

设∠ABD＝∠CBD＝∠BDE＝α，

∴∠ABC＝2α，

∵∠BDC＝100°，

∴∠C＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝80°﹣α，

∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴70°+2α+80°﹣α＝180°，

解得α＝30°，

∴∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝120°，

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

6．C

【详解】∵三角形的内角和是180°

故选C.

7．A

【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形外角的性质求出∠3度数即可

【详解】解：∵，

∴∠C=∠1=45°，

∴∠3=∠C+∠2=80°，

故选A．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于其不相邻的两个内角的度数和是解题的关键．

8．A

【分析】根据三角形外角的性质，求解即可．

【详解】解：如图，根据三角板的性质可得，

根据三角形外角的性质可得，

故选A

【点睛】本题以学生常见的三角板为载体，主要考查了三角形的外角性质，属于应知应会题型，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．

9．C

【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出．

【详解】，，

，

直线，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．

10．C

【分析】设∠ABF=x，根据BF平分得到∠ABC=2x，求出∠DAB=90°+2x，利用AE是的平分线，得到∠EAB=45°+x，结合三角形外角性质得到答案．

【详解】解：设∠ABF=x，

∵BF平分，

∴∠ABC=2∠ABF=2x，

∵，

∴∠DAB=∠C+∠ABC=90°+2x，

∵AE是的平分线，

∴∠EAB=45°+x，

∵∠EAB=∠ABF+

∴=45°

故选：C．

【点睛】此题考查了角平分线计算，三角形的外角性质，综合考查了分析能力及推理论证能力，属于基础题型．

11．C

【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．

【详解】解：如图所示：

由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°

则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．

12．200

【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．

【详解】如图，

∴，．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴

故答案为200．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键．

13．15°

【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，进而利用角平分线的定义可求的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后利用即可求解．

【详解】∵，，

．

∵平分，

．

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义是解题的关键．

14．80

【分析】由三角形的外角的性质可得，代入数据即可得到答案．

【详解】解：由题意可知：

，

∵,，

∴．

故答案为：80

【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．

15．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得，再根据角平分线的性质得到，整理得，由此得到规律，据此解题．

【详解】解：平分，平分

故答案为：．

【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的性质、角平分线的性质，掌握相关知识是解题关键．

16．30

【分析】根据∠DAE是△ABD的外角，∠CAE是△ABC的外角，利用三角形外角的性质即可求解；

【详解】解：∵∠C＝60°，BD平分，AD平分外角，

∴∠DBA＝∠ABC，∠DAE＝∠CAE，

∵，

∴∠D＝∠CAE﹣∠ABD＝(∠CAE﹣∠ABD)=；

故答案为：30

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理，利用外角的性质得出角之间的关系是关键．

17．(1)2BC

(2)60°

【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可；

（2）先由平行线性质得∠BDE+∠AEC=180°，求得∠AEC=65°，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】（1）解：由题意，得BD-CD<BC<BD+CD，

即7-5<BC<7+5

∴2<BC<12，

（2）解：∵AEBD，

∴∠BDE+∠AEC=180°，

∵，

∴∠AEC=65°，

∵∠A+∠AEC+∠C=180°，

∴∠C=180°-∠A-∠AEC=180°-55°-65°=60°．

【点睛】本题考查三角形三边关系，三角形内角和，平行线的性质，熟练掌握三角形三边关系、三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．

18．

【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等求出的度数，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键．

19．(1)

(2)，，

【分析】(1)根据三角形三边关系，即可去掉绝对值符号，再进行整式的加减运算即可求得；

(2)首先把代入，可得，再根据三角形内角和定理，即可求得．

【详解】（1）解：在中，的对边分别为，

，，

，，

，

故答案为：；

（2）解：，，

，

，

，

解得，

故，，

故的各内角度数分别为，，．

【点睛】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键．

20．（1）①∠ACB的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO为60°或72°．

【分析】（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；

②由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；

（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分两种情况进行分类讨论．

【详解】解：（1）①∠ACB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠ABM=270°，

∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，

∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，

∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠ACB=45°；

②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，

∴∠CAB=∠BAQ，

∵AC平分∠PAB，

∴∠PAC=∠CAB，

∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，

∴∠ABC=∠ABN，

∵BC平分∠ABM，

∴∠ABC=∠MBC，

∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，

∴∠ABO=60°，

故答案为30°，60°；

（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有：

①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；

②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；

∴∠ABO为60°或72°．

【点睛】本题考查翻折变换-折叠问题，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

21．见解析

【分析】根据已知易得AB∥CD，则∠BAP=∠APC，再由∠1=∠2可得∠EAP=∠APF，从而得AE∥PF，即可证明．

【详解】证明：如图所示，∵∠BAP+∠APD=180°

∴AB∥CD

∴∠BAP=∠APC

又∵∠1=∠2

∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2

∴∠EAP=∠APF

∴AE∥PF，

∴∠E=∠F

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．

22．(1)，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）首先过点作，由，可得，根据两直线平行，内错角相等，即可得，，则可求得．

（2）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与、的关系，再求解；

（3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与、的关系，再求解．

【详解】（1）解：，理由如下：

如图2，

过点作，

，

，

，，

；

（2）解：如图（3）：

．

理由：，

，

，

，

即；

，

；

（3）解：如图（4）：

．

理由：，

，

，

，

即．

，

．

【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．

23．(1)50°

(2)20°

(3)能，过程见解析

【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠BAC，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC，即可；

(2)由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；

(3)根据三角形内角和定理得∠BAC，再根据角平分线定义得∠BAE，加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求得∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半，即可求解；（本题方法不唯一）；

【详解】（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-20°=100°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠BAC=50°

（2）∵AD⊥BC

∴∠ADE=90°，

而∠ADE=∠B+∠BAD，

∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=50°-30°=20°

（3）能得出∠DAE的度数．

（解法1）设，则，

∴．

∵AE平分∠BAC，

∴．

∵，，

∴，

∴．

（解法2）∵，

∴．

∵AE平分∠BAC，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，角的和差，三角形的外角的性质，解题的关键是理解并熟悉三角形的内角和定义，以及掌握角三角形的角平分线的定义．

24．（1）见解析；（2）26°

【分析】（1）欲证，可证．由平分以及平分，可得以及．根据三角形外角的性质，可得，进而推断出．

（2）由（1）可得，由三角形内角和定理得，进而求得，那么．

【详解】解：（1）平分，

．

平分，

．

又，

．

．

又，

．

．

．

（2）由（1）知：．

，

．

又，

．

．

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质以及平行线的判断，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质以及平行线的判断是解决本题的关键．

25．证明见解析

【分析】由角平分线的定义可知：∠EAD=∠EAC，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B，然后利用平行线的判定定理可证明出结论．

【详解】解：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠EAC，

又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，

∴∠B=∠EAC，

∴∠EAD=∠B，

∴AD∥BC．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定，三角形的外角性质是解题的关键．11.3多边形及其内角和

一、单选题

1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为（）

A．5B．6C．7D．8

2．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）下列命题：①当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加；②三角形的外角和小于四边形的外角和；③n边形共有条对角线；④四边形至少有一个内角不小于．其中是真命题的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

3．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）

A．4B．5C．6D．7

4．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）综合与实践课上，小红准备了四种正多边形的纸片，其中不能进行平面镶嵌的是（）

A．B．C．D．

5．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在正六边形ABCDEF中，O为CF的中点，若△ABO的面积为3，则正六边形ABCDEF的面积为（）

A．21B．18C．15D．9

6．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）

A．180°B．360°

C．540°D．不能确定

7．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（）

A．135°B．360°C．1080°D．1440°

8．（2022春·贵州遵义·八年级期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（）

A．B．C．D．

9．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

10．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）为了求n边形内角和，下面是老师与同学们从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式．这种数学的推理方式是（）

A．归纳推理B．数形结合C．公理化D．演绎推理

11．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（）

A．4B．5C．6D．7

二、填空题

12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，如果用这种相同的四边形木板进行镶嵌，则至少需要块才能完成镶嵌．

13．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是边形．共条对角线

14．（2022秋·贵州黔东南·八年级校联考期末）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=．

15．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2=度．

三、解答题

16．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在四边形中，，．

(1)当时，求的度数．

(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．

17．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？

（2）小明求得一个多边形的内角和为，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．

18．（2022秋·贵州遵义·八年级期末）动手操作，探究：

探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

(1)已知：如图，在中，分别平分和，试探究与的数量关系；

(2)探究二：若将改为任意四边形呢？已知：如图，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系；（写出说理过程）

(3)探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3））呢？请直接写出与的数量关系：.

19．（2022秋·贵州黔南·八年级期末）已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．

参考答案：

1．D

【分析】根据多边形的内角和定理：多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．

【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，

，

解得，

∴这个多边形的边数为8．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．

2．C

【分析】根据n边形内角和，外角和定理，n边形的对角线公式逐项判断．

【详解】解：由n边形内角和公式（n2）×180°知，当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°，故①是真命题；

三角形的外角和，四边形的外角和都是360°，故②是假命题；

n边形共有条对角线，故③是假命题；

若四边形每个内角都小于90°，则与四边形内角和为360°矛盾，故四边形至少有一个内角不小于90°，④是真命题；

∴真命题有①④，共2个，

故选：C．

【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握n边形的内角和公式（n2）×180°，外角和是360°以及n边形的对角线公式．

3．C

【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．

【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得

（n-2）×180°=2×360°，

解得：n=6．

即这个多边形为六边形．

故选：C．

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

4．C

【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．

【详解】解：选项，正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意；

B选项，正方形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意；

C选项，正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项符合题意；

D选项，正六边形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了平面镶嵌密铺，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．

5．B

【分析】先证明点O为正六边形ABCDEF的中心，根据正六边形的特点即可求解．

【详解】解：∵O为对角线CF的中点，

∴O为正六边形ABCDEF的中心，

∵△ABO的面积为3，

∴正六边形ABCDEF的面积为6×3=18，

故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．

6．B

【分析】设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，根据三角形的外角性质，可得，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．

【详解】解：设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，

∵，

∴，

∵，

∴．

故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．

7．C

【分析】先利用正多边形的每一个外角为求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.

【详解】解：正多边形的一个外角等于45°，

这个正多边形的边数为：

这个多边形的内角和为：

故选C

【点睛】本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.

8．C

【分析】根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．

【详解】正多边形的内角和是，

多边形的边数为

多边形的外角和都是，

多边形的每个外角

故选．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．

9．C

【分析】设这个多边形的边数为n,根据题目中的等量关系列出方程，解方程即可.

【详解】解：设这个多边形的边数为n,

由于多边形中n边形的内角和等于(n-2)×180°，且任意多边形的外角和都为360°

根据题意可知,(n-2)×180°=3×360°-180°

解得n=7

即这个多边形的边数是7,

故选C.

【点睛】题目主要考查多边形的内角和与外角和的公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

10．A

【分析】由个别到一般的推理是归纳推理,由一般到特殊的推理是演绎推理．

【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式，这一探究过程运用的数学思想是归纳推理．

故选：A．

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，数学思想，熟练掌握数学思想是解题的