北京市2022-2023学年上学期高二期末数学试题汇编-10数列的概念与简单表示法（含解析）

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一、单选题

1．（2023春·北京房山·高二统考期末）设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．（2023春·北京怀柔·高二统考期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

3．（2023春·北京怀柔·高二统考期末）在数列中，若，，则（）

A．B．C．D．

4．（2023春·北京丰台·高二统考期末）如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（）

A．121B．122C．123D．124

5．（2023春·高二校考期末）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“数列为递增数列”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知数列，首项，，则（）

A．5B．8C．11D．15

7．（2023秋·北京东城·高二统考期末）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（）

A．若，则数列是无界的B．若，则数列是有界的

C．若，则数列是有界的D．若，则数列是有界的

8．（2023秋·北京东城·高二统考期末）设为数列的前项和，已知，，那么（）

A．B．C．D．

9．（2023秋·北京通州·高二统考期末）已知数列的前5项为1，，，，，则数列的一个通项公式为（）

A．B．

C．D．

10．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）记为等比数列的前n项和．已知，则数列（）

A．无最大项，有最小项B．有最大项，无最小项

C．无最大项，无最小项D．有最大项，有最小项

11．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）已知数列的前项和，则（）

A．1B．2C．3D．4

12．（2023秋·北京·高二校考期末）在等比数列中，，记（，2，…）.则数列（）

A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项

二、填空题

13．（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是．

14．（2023春·北京怀柔·高二统考期末）设随机变量的分布列如下：

12345678910

给出下列四个结论：

①当为等差数列时，；

②当为等差数列时，公差；

③当数列满足时，；

④当数列满足时，时，.

其中所有正确结论的序号是.

15．（2023春·北京海淀·高二统考期末）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．给出下列四个结论：

①；

②为递增数列；

③若，则的取值范围是；

④，使得当时，总有．

其中所有正确结论的序号是．

16．（2023春·北京丰台·高二统考期末）设是正整数，且，数列满足：，，，数列的前项和为.给出下列四个结论：①数列为单调递增数列，且各项均为正数；②数列为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，，；④对任意正整数，.其中，所有正确结论的序号是.

17．（2023春·北京西城·高二统考期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：

①可能为等差数列；

②中最大的项为；

③不存在最大值；

④的最小值为36．

其中所有正确结论的序号是．

18．（2023秋·北京·高二校考期末）设等比数列满足，，记为在区间中的项的个数，则数列的前50项和.

19．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列的通项公式可以是．

20．（2023春·北京石景山·高二统考期末）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；②为等比数列；

③为递减数列；④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

21．（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．

(1)计算，，，的值；

(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．

22．（2023春·北京顺义·高二统考期末）已知整数数列满足：①；②．

(1)若，求；

(2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项；

(3)若为中第一个等于1的项，求证：．

23．（2023春·北京海淀·高二统考期末）给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．

(1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；

(2)求证：若，则有；

(3)若，常数使得恒成立，求的最大值．

24．（2023春·北京怀柔·高二统考期末）定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.

(1)若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；

(2)若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.

四、双空题

25．（2023春·北京东城·高二统考期末）已知数列的首项，且，那么；数列的通项公式为.

26．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知数列的前项和，则，的最小值为.

参考答案：

1．C

【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.

【详解】由题设且，则，

若为递减数列，故，则，充分性成立；

若，则，易知为递减数列，必要性也成立；

所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.

故选：C

2．D

【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围

【详解】因为数列的通项公式为，且是递增数列，

所以对于都成立，

所以对于都成立，

即对于都成立，

所以对于都成立，

所以，即的取值范围是，

故选：D

3．A

【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果.

【详解】因为，，

所以，，

，，

所以数列是以3为周期的周期数列，

所以，

故选：A

4．A

【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解.

【详解】因为，所以，

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，

所以，所以，

对于A，当时，，解得，故A正确；

对于B，当时，，此时，故B错误；

对于C，当时，，此时，故C错误；

对于D，当时，，此时，故D错误.

故选：A.

5．D

【分析】通过举反例可以判断得结论.

【详解】当时，数列不一定是递增数列，

例如,,；

当数列为递增数列时，也不一定成立，例如，此时单调递增，

所以“”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

6．B

【分析】根据递推关系求得.

【详解】.

故选：B

7．C

【分析】根据可知A错误；由可知不存在最大值，即数列无界；分别在为偶数和为奇数的情况下得到，由此可确定，知C正确；采用放缩法可求得，由可知D错误.

【详解】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，

数列是有界的，A错误；

对于B，，

，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，

数列是无界的，B错误；

对于C，当为偶数时，；当为奇数时，；

，存在正数，使得恒成立，

数列是有界的，C正确；

对于D，，

；

在上单调递增，，

不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.

8．A

【分析】由可直接求得结果.

【详解】由得：，.

故选：A.

9．A

【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.

【详解】观察数列的各项，容易发现，

分子均为1，分母均与项数相同，

则数列的一个通项公式可以为.

经验证，其他选项均不能满足.

故选：A.

10．D

【分析】求出公比，求出，然后分析的性质即可．

【详解】设公比为，则，，

，

当为偶数时，，对应函数为减函数，即，

当为奇数时，，对应函数为增函数，即，

所以有最大项为，最小项为．

故选：D．

【点睛】本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得后按奇偶数分类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最值．

11．C

【分析】根据关系解决即可.

【详解】由题知，数列的前项和，

所以，

故选：C

12．A

【分析】根据题意易求得等比数列的公比，设数列为等比数列的奇数项（，2，…），则数列是以为首项，为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列的项，即可得出结论.

【详解】解：设等比数列的公比为，

则，所以，

设数列为等比数列的奇数项（，2，…），

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，

所以，

当时，，当时，，

当为奇数时，，因为，

所以，

当为偶数时，，因为，

所以，

综上所述，数列有最大项和最小项.

故选：A.

13．（答案不唯一）

【分析】分析数列前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.

【详解】依题意，，

所以前4项都满足的一个通项公式为.

故答案为：

14．①③④

【分析】根据题意可得，且,，，2，，10．对①②结合等差数列的性质分析运算；对③根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对④根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．

【详解】由题意可得：，且,，，2，，10，

对①：当为等差数列时，则，

可得，故，①正确；

对②：当为等差数列时,由①知，所以，

由于,，所以，解得：，故②错误；

对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，

则，

可得,，③正确；

对④：当数列满足，2，时，则，

可得，,3，时,所以，

由于，所以，

因此，

由于，所以，因此，

当也符合，故，④正确．

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了数列的递推公式，根据数列给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式．

15．①③④

【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解.

【详解】由得，相减可得，

由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，

对于①，，故正确；

对于②，由于，，无法确定的大小关系，所以无法确定为递增数列；故错误，

对于③，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，

若，则需要，则的取值范围是；故正确，

对于④，若，则，只要足够大，一定会有，此时时，

此时只需要,即，所以存在，当且比大的正整数时，

此时时，总有，故正确

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．

16．①③④

【分析】由和可确定①正确；由知②错误；根据已知等式可得及，推导得到，加和可得③正确；由已知等式可推导得到，累加得到，进而得到，知④正确.

【详解】对于①，，，，数列为单调递增数列，

，，即数列各项均为正数，①正确；

对于②，，

由①知：，，，数列单调递减数列，②错误；

对于③，由得：，

又，，

，③正确；

对于④，由得：，

，

，

，，即，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到、等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.

17．③④

【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答.

【详解】当时，由得，由得，

于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误；

令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），

若，则，

，而，，

因此，当且仅当数列为时取等号，

若，则，

，而，，

因此，当且仅当数列为时取等号，

从而的最小值为36，④正确；

当时，取，数列为：

，满足题意，

取，，中最大的项不为，②错误；

由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确，

所以所有正确结论的序号是③④.

故答案为：③④

【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.

18．

【分析】根据已知条件求出等比数列的首项和公比，得出，

讨论当时和时值，代入计算即可得出结果.

【详解】由题意得，，所以解得，，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，因为为在区间中的项的个数

所以当时，；当时，，

所以，

即.

故答案为:

19．（答案不唯一）

【分析】根据等比数列单调性可知，首项和公比共同决定了数列的单调性，即可写出符合题意的数列.

【详解】由题意可知，若“等比数列是递增数列”，

需满足当时，公比；或时，公比；

又因为命题为假命题，所以公比即可满足题意，

不妨取，首项时，公比，则满足

此时数列是摆动数列，通项公式为

故答案为：

20．①③④

【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

21．(1)，，，

(2)，证明见解析.

【分析】（1），从而可得出，

（2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】（1）因为，

所以，，

，

.

（2）猜想，

下面用数学归纳法进行证明：

当时，，猜想正确，

假设当时，猜想也正确，

则有，

当时，，

所以时，猜想也正确，

综上所述，.

22．(1)或

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求解；

（2）记为中第一个小于等于0的项，则或，得出矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，得到可知，即可得证；

（3）由，可得，得到，求得，再找出和的关系，结合和为偶数和奇数，分类讨论，求得，即可得证.

【详解】（1）解：因为整数数列满足，

若，可得或；

若，可得，此时不满足，，此时，

当时，不满足，所以，故或.

（2）证明：首先．

否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，

从而，与的最小性矛盾，

记为的最小值，则为奇数并且，

根据的最小性，可知，

根据可知，

注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，

从而数列中总包含无穷多等于1的项.

（3）此小问解析征解

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

3、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

23．(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列；

（2）由时，可得，当且仅当时等号成立，结合，即可得证；

（3）不妨设，当，得到取任意实数都满足条件；当时，转化为，假设，求得，结合，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，若数列为，

可得，即数列为：；

若数列为，

可得，即数列为：.

（2）证明：由题设条件知，若时，可得，

当且仅当时，等号成立，

所以，

所以当，则成立.

（3）解：不妨设，

若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件；

下面设，则的充分必要条件时，

假设，

因为，所以，

当时，由，